4.5　一元二次方程根的判别式 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

4.5　一元二次方程根的判别式
课题 4.5　一元二次方程根的判别式 课时 1课时 授课人
教学目标 1.经历一元二次方程根的判别式的探索过程. 2.能用Δ的值判别一元二次方程是否有实数根和两个实数根是否相等. 3.培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力,感悟分类的数学思想.
教学重难点 教学重点:用根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 教学难点:根的判别式的探索过程和有关应用.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.一元二次方程的一般形式是什么 有哪些解法 ax2+bx+c=0(a≠0).直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法. 2.一元二次方程按照什么顺序来选择解法会更简便 如果方程有括号,先不要去括号,看能否用直接开平方法,不能用再看能否用因式分解法,再不能用就去掉括号整理成一般式,用公式法或配方法. 3.用你认为最简便的方法解方程:x2+21x-22=0. 解:(x+22)(x-1)=0. x+22=0或x-1=0. x1=-22,x2=1. 复习一元二次方程的解法,为后面的探索做好铺垫.
情境导入 用公式法解方程:2x2-6x-1=0. 解:∵a=2,b=-6,c=-1, ∴b2-4ac=(-6)2-4×2×(-1)=44>0, ∴x=. ∴x1==,x2==. 我们在运用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,总是要求b2-4ac≥0.这是为什么 由用公式法解一元二次方程引出本节的探讨内容.
合作探究 探究:一元二次方程根的判别式 问题1：解方程x2+2x+5=0. 方法一:因为a=1,b=2,c=5,b2-4ac=22-4×1×5<0,所以无法用公式法解这个方程. 方法二:把原方程配方,得(x+1)2=-4. 因为任何实数的平方都不可能是负数,所以任何实数都不会是原方程的根. 问题2：b2-4ac的值的正负与一元二次方程的根有什么关系呢 我们知道,任何一个一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 　　　配方法 x+2= 1.通过解方程发现:因为b2-4ac<0,所以无法往下继续进行.
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合作探究 因为a≠0,所以4a2>0, 所以(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根: x1=,x2=. (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根: x1=x2=-. (3)当b2-4ac<0时,<0,而x+2不可能是负数,所以方程没有实根. 归纳小结：一元二次方程ax2+bx+c=0. (1)当Δ>0时,有两个不相等的实根; (2)当Δ=0时,有两个相等的实根; (3)当Δ<0时,没有实根. 上面结论的逆命题也是正确的.你能说出它们的逆命题吗 典例分析: 【例1】 不解方程,判断下列方程根的情况: (1)2x2+x-4=0;(2)4y2+9=12y;(3)5(t2+1)-6t=0. 解:(1)这里a=2,b=1,c=-4. ∵Δ=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33>0, ∴方程有两个不相等的实根. (2)把原方程化为一般形式,得 4y2-12y+9=0. 这里a=4,b=-12,c=9. ∵Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0, ∴原方程有两个相等的实根. (3)把原方程化为一般形式,得 5t2-6t+5=0. 这里a=5,b=-6,c=5. ∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64<0, ∴原方程没有实根. 【例2】 已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根. (1)求k的取值范围; (2)选择一个k的正整数值,并求出方程的根. 解:(1)∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根, ∴Δ=(-3)2-4k>0,即9-4k>0. 解不等式,得k<. ∵kx2-3x+1=0是一元二次方程,∴k≠0. 故k的取值范围是k<且k≠0. (2)取不等式k<的一个正整数解k=2,则方程为2x2-3x+1=0. 解这个方程,得x1=1,x2=. 归纳小结：例2中k是一元二次方程kx2-3x+1=0的二次项系数,k的范围可以在数轴上表示出来,更加直观,范围内包含0,所以要强调不等于0. 2.通过分析,让学生体会代数式b2-4ac的作用,从而给出判别式的概念,归纳出命题,并说出它的逆命题. 3.例1是基础题,要先把所给的方程化为一般形式,再计算判别式的值. 4.例2是重点题型,也是中考必考题型,一定要关注二次项系数不为0.
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随堂检测 1.一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是(　B　 ) A.有两个相等的实根 B.有两个不相等的实根 C.只有一个实根 D.没有实根 2.下列一元二次方程没有实根的是(　B　 ) A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0 C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0 3.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等,则a的值是(　B　 ) A.0 B.2或-2 C.2 D.2或0
课堂小结 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的形式是怎样的 2.Δ=b2-4ac的值的正负与一元二次方程的根有什么关系 反过来也成立吗 及时总结,加深印象.
作业布置 请完成教材练习题P145T1-T2
板书设计
一元二次方程根的判别式 1.根的判别式:用Δ表示,Δ=b2-4ac. 2.Δ的正负与一元二次方程的根的关系 (1)当Δ>0时有两个不相等的实根; (2)当Δ=0时有两个相等的实根; (3)当Δ<0时没有实根. 【例2】
教学反思
在4.3节中已经知道当b2-4ac≥0时,方程有实根,本节课是该内容的延伸,引导学生发现存在没有实根的一元二次方程.由配方法提出,当b2-4ac<0时,无论x取任何实数,平方的结果都不是负数,因此b2-4ac的符号决定了一元二次方程根的情况,即有两个不相等的实根,有两个相等的实根和没有实根.例2是重点,学生很容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这个条件.