4.6　一元二次方程根与系数的关系 教案（表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

4.6　一元二次方程根与系数的关系
课题 *4.6　一元二次方程根与系数的关系 课时 1课时 授课人
教学目标 1.了解一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数之间的关系. 2.经历实验、观察、猜想、交流、证明等推导根与系数关系的活动过程,丰富学生的数学活动经验,发展推理能力,进一步培养学生的符号意识与创新意识.
教学重难点 教学重点:一元二次方程根与系数的关系. 教学难点:一元二次方程根与系数的关系的应用.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.一元二次方程的一般形式是什么 ax2+bx+c=0. 2.一元二次方程的求根公式是什么 x=. 3.一元二次方程的根的情况怎样确定 一元二次方程ax2+bx+c=0. (1)当Δ>0时,有两个不相等的实根; (2)当Δ=0时,有两个相等的实根; (3)当Δ<0时,没有实根. 复习回忆公式法解一元二次方程的相关知识,有利于学生衔接前后知识,为后面的学习做好铺垫.
情境导入 问题:你能迅速求出下列方程的根吗 不用写步骤. ①x2+3x+2=0.x1=-1,x2=-2. ②x2-5x+6=0.x1=2,x2=3. ③3x2+x-2=0.x1=-1,x2=. ④2x2-4x+1=0.x1=,x2=. 为引出本节要探究的结论做准备.
合作探究 探究:一元二次方程根与系数的关系 问题1：根据情境导入中所求出的每个方程的根,分别计算两根之和与两根之积,并把结果填入下表: 一元二次方程x1x2x1+x2x1x2①x2+3x+2=0②x2-5x+6=0③3x2+x-2=0④2x2-4x+1=0
问题2：观察上表,你发现在上面的四个方程中,两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系 发现方程①②的二次项系数为1时,一元二次方程的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项. 方程③④的二次项系数不是1时,化成二次项系数是1的情况后,可把上面的发现进一步推广. 1.让学生完成表格,为解决后面的问题做好了准备.让学生合作解决,在探究的过程中体现了从特殊到一般,从实践到理论的认知规律.
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合作探究 问题3：由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与方程的系数a,b,c之间有什么关系 能证明你的猜想是正确的吗 与同学交流. 当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根是 x1=;x2=. 于是,两个根的和为 x1+x2=+=-, 两个根的积为 x1x2=×==. 归纳小结： 一元二次方程的根与系数有以下的关系: 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=. 典例分析: 【例1】 关于x的方程3x2+mx-4=0有一个根是2,求另一个根及m的值. 解:设方程的另一个根为x1,则由一元二次方程根与系数的关系,得 由②,得x1=-. 代入①,得-+2=-,解得m=-4. 所以,方程的另一个根是-,m的值是-4. 对于例1,你还有其他的解法吗 分析:可以把已知的根代入原方程先求出m,再把m代入原方程,解方程求根. 【例2】 设x1,x2是方程2x2+5x+1=0的两个根,求下列各式的值: (1)(x1+1)(x2+1);(2)+. 解:由一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=-,x1x2=. (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+1=-1. (2)+==-÷=-5. 2.例1充分体现了一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷性. 3.例2是重点问题,有助于对刚刚学习的根与系数的关系加深理解.
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合作探究 归纳小结： 如果要求与一元二次方程的两个根有关系的代数式的值,可以先把要求的代数式转化成含有x1+x2和x1x2的形式,再利用x1+x2=-和x1x2=求出值,代入计算即可. 拓展： 对于例2,能求出+,(x1-x2)2的值吗 解:x1+x2=-,x1x2=. ∴+=(x1+x2)2-2x1x2=-2-2×=5.25. (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-2-4×=4.25.
随堂检测 1.下列一元二次方程两实根的和为-4的是(　D　 ) A.x2+2x-4=0 B.x2+4x+10=0 C.x2-4x+4=0 D.x2+4x-5=0 2.不解方程,说出下列一元二次方程两个根的和与积: (1)x2-3x+1=0,x1+x2=　3　,x1·x2=　1　. (2)2x2+3x=0,x1+x2=　-　,x1·x2=　0　. 3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,它的另一个根是　　,m的值是　16　.
课堂小结 1.一元二次方程的根与系数有怎样的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2, 那么x1+x2=-,x1x2=. 2.利用根与系数的关系解与字母系数有关的问题的前提是什么 对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解,便于学生梳理知识之间的内在联系.
作业布置 请完成教材习题P149T1-T4
板书设计
一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=. 【例1】 【例2】
教学反思
本节课通过几个问题观察表格,发现规律,抽象出一般结论,问题3证明发现的规律,经历合情推理与演绎推理活动,由特殊到一般地探索出一元二次方程根与系数的关系.例1是根与系数关系的直接应用,在给出一种解法后再让学生思考其他解法.例2是重点,也是难点,让学生记住常见的几个代数式的推导结论.在利用根与系数的关系求字母系数的值时,一定要保证a≠0和Δ≥0.