第1章 图形的相似
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023奎文模拟)形状相同的图形是相似形.下列哪组图形不一定是相似形( C )
A.关于直线对称的两个图形 B.两个正三角形
C.两个等腰三角形 D.两个半径不等的圆
2.有下列说法:①位似图形都相似;②两个等腰三角形一定相似;③若两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为16∶81;④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2 cm,则这两个三角形一定相似.其中正确的有( A )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C和点D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则( D )
A.BC∶DE=1∶2 B.BC∶DE=2∶3 C.BC·DE=8 D.BC·DE=6
4.(2024菏泽质检)如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,AD,AE三等分 ∠BAC,D,E在BC边上,则其中的相似三角形有(D)
A.1对 B.2对 C.3对 D.6对
5.(2022云南)如图,在△ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,设 △ABC的面积为S1,△EBD的面积为S2,则等于( B )
A. B. C. D.
6.(2024聊城模拟)如图的四边形与选项中的一个四边形相似,则这个四边形是(D)
A B
C D
7.(2022攀枝花)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别为BC,CD的中点,BF,DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交BF于点H,则线段GH的长度是( A )
A. B.1 C. D.
8.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在原点,边OA在x轴上,边OC在y轴上,如果△OA′B′与△OAB关于点O位似,且△OA′B′的面积等于△OAB面积的,那么点B的对应点B′的坐标为(D)
A. B.或
C.(3,2) D.(3,2)或(-3,-2)
9.如图的4个三角形中,相似三角形有(A)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
10.(2023聊城期中)如图,在△ABC中,点P在边AB上,有下列四个条件:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④CP·AB=AP·CB.其中能判定△APC与△ABC相似的是( D )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如果两个相似三角形的面积比是9∶4,其中较大的三角形的周长为12,那么较小的三角形的周长是 8 .
12. 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔4米有一棵树,在河的北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边12米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有两棵树,则河宽为 38 米.
13.如图,已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且=,点A(-1,0),点C(,1),则A′C′= .
14.(2023潍坊期末)已知两个矩形相似,第一个矩形的两边长分别是3和4,第二个矩形较短的一边长是4,那么第二个矩形较长的一边长是 .
15.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分 ∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 .
16.(2023广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的一边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为 15 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)(2024莘县质检)如图,点D在等边三角形ABC的BC边上,△ADE为等边三角形,DE与AC交于点F.求证:△ABD∽△DCF.
证明:∵△ABC,△ADE均为等边三角形,
∴∠B=∠C=∠ADE=60°,
∴∠BAD+∠ADB=∠CDF+∠ADB=120°,
∴∠BAD=∠CDF,
∴△ABD∽△DCF.
18.(8分)如图,在正方形网格中,四边形TABC的顶点坐标分别为T(1,1),A(2,3),B(3,3),C(4,2).
(1)以点T(1,1)为位似中心,在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍,放大后点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′,画出四边形TA′B′C′;
(2)求出点A′,B′,C′的坐标;
(3)在(1)中,若D(a,b)为线段BC上任一点,求变化后点D的对应点D′的坐标.
解:(1)如图,四边形TA′B′C′即为所求.
(2)点A′,B′,C′的坐标分别为A′(3,5),B′(5,5),C′(7,3).
(3)由题意,得A(2,3),B(3,3),C(4,2),由(2),知A′(3,5),B′(5,5), C′(7,3),
又D(a,b)为线段BC上任一点,
∴变化后点D的对应点D′的坐标为(2a-1,2b-1).
19.(8分)(2023历城月考)如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=4, AE=2,AC=8.
(1)求CD的长;
(2)求证:△ABE∽△ACB.
(1)解:∵AB∥CD,∴∠A=∠DCE,∠ABE=∠D,
∴△ABE∽△CDE,∴=,
即=,
∴CD=12.
(2)证明:∵AB=4,AE=2,AC=8,
∴==,==,
∴=.
又∵∠A=∠A,∴△ABE∽△ACB.
20.(9分)(2023青州期末)在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交BC于点F,且BF=CF,DC的延长线交AE于点E,AB=2,AD=5.
(1)求证:AB=BF;
(2)求S△EFC∶S△EAD的值.
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AFB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAE,
∴∠AFB=∠BAF,
∴AB=BF.
(2)解:由(1),知AB=BF,
又∵BF=CF,
∴AB=BF=CF=2.
∵AD∥BC,
∴△EFC∽△EAD,
∴S△EFC∶S△EAD==.
21.(9分)小言家窗外有一个路灯,每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里,小言一直想知道这个路灯的高度,当学了相似三角形的知识后,他意识到自己可以解决这个问题了!如图,路灯顶部A处发光,光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE,小言测得窗户距离地面的高度BF=0.7 m,窗高BC=1.4 m,某一时刻,FD=0.7 m,DE=2.1 m,请你根据小言测得的数据,求出路灯的高度OA.
解:∵OA⊥OE,BF⊥OE,
∴BF∥OA,
∴△DFB∽△DOA,△ECF∽△EAO,
∴=,=,
∴=,=,
∴OA=OD=6.3 m.
故路灯的高度OA为6.3 m.
22.(12分)已知:如图,在正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是E,F.
(1)求证:EF=AE-BE;
(2)连接BF,如果=,求证:EF=EP.
证明:(1)如图,∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE-AF=AE-BE.
(2)如图,∵=,而AF=BE,
∴=,∴=,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3.
∵∠1=∠3,∴∠4=∠1.
易得∠5=∠1,∴∠4=∠5,即BE平分∠FBP.
又∵BE⊥EP,
∴EF=EP.第1章 图形的相似
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023奎文模拟)形状相同的图形是相似形.下列哪组图形不一定是相似形( )
A.关于直线对称的两个图形 B.两个正三角形
C.两个等腰三角形 D.两个半径不等的圆
2.有下列说法:①位似图形都相似;②两个等腰三角形一定相似;③若两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为16∶81;④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2 cm,则这两个三角形一定相似.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,直线l1∥l2∥l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C和点D,E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则( )
A.BC∶DE=1∶2 B.BC∶DE=2∶3 C.BC·DE=8 D.BC·DE=6
4.(2024菏泽质检)如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,AD,AE三等分 ∠BAC,D,E在BC边上,则其中的相似三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.6对
5.(2022云南)如图,在△ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,设 △ABC的面积为S1,△EBD的面积为S2,则等于( )
A. B. C. D.
6.(2024聊城模拟)如图的四边形与选项中的一个四边形相似,则这个四边形是( )
A B
C D
7.(2022攀枝花)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别为BC,CD的中点,BF,DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交BF于点H,则线段GH的长度是( )
A. B.1 C. D.
8.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在原点,边OA在x轴上,边OC在y轴上,如果△OA′B′与△OAB关于点O位似,且△OA′B′的面积等于△OAB面积的,那么点B的对应点B′的坐标为( )
A. B.或
C.(3,2) D.(3,2)或(-3,-2)
9.如图的4个三角形中,相似三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
10.(2023聊城期中)如图,在△ABC中,点P在边AB上,有下列四个条件:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④CP·AB=AP·CB.其中能判定△APC与△ABC相似的是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如果两个相似三角形的面积比是9∶4,其中较大的三角形的周长为12,那么较小的三角形的周长是 .
12. 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔4米有一棵树,在河的北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边12米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有两棵树,则河宽为 米.
13.如图,已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且=,点A(-1,0),点C(,1),则A′C′= .
14.(2023潍坊期末)已知两个矩形相似,第一个矩形的两边长分别是3和4,第二个矩形较短的一边长是4,那么第二个矩形较长的一边长是 .
15.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分 ∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 .
16.(2023广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的一边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)(2024莘县质检)如图,点D在等边三角形ABC的BC边上,△ADE为等边三角形,DE与AC交于点F.求证:△ABD∽△DCF.
18.(8分)如图,在正方形网格中,四边形TABC的顶点坐标分别为T(1,1),A(2,3),B(3,3),C(4,2).
(1)以点T(1,1)为位似中心,在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍,放大后点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′,画出四边形TA′B′C′;
(2)求出点A′,B′,C′的坐标;
(3)在(1)中,若D(a,b)为线段BC上任一点,求变化后点D的对应点D′的坐标.
19.(8分)(2023历城月考)如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=4, AE=2,AC=8.
(1)求CD的长;
(2)求证:△ABE∽△ACB.
20.(9分)(2023青州期末)在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交BC于点F,且BF=CF,DC的延长线交AE于点E,AB=2,AD=5.
(1)求证:AB=BF;
(2)求S△EFC∶S△EAD的值.
21.(9分)小言家窗外有一个路灯,每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里,小言一直想知道这个路灯的高度,当学了相似三角形的知识后,他意识到自己可以解决这个问题了!如图,路灯顶部A处发光,光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE,小言测得窗户距离地面的高度BF=0.7 m,窗高BC=1.4 m,某一时刻,FD=0.7 m,DE=2.1 m,请你根据小言测得的数据,求出路灯的高度OA.
22.(12分)已知:如图,在正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是E,F.
(1)求证:EF=AE-BE;
(2)连接BF,如果=,求证:EF=EP.
