第2章 解直角三角形
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B等于( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A.sin 60°-sin 30°=sin 30° B.sin245°+cos245°=1
C.cos 60°= D.tan 30°=
3.(2023陕西)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则sin B的值为( )
A. B. C. D.
4.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,EC=4,sin B=,则菱形的周长是( )
A.10 B.20 C.40 D.28
5.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AD与AB的长度之比为( )
A. B. C. D.
6.(2022青州实验质检)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,BD=2,tan C=,则线段AC的长为( )
A.10 B.8 C.8 D.4
7.(2022随州)如图,已知点B,D,C在水平地面上的同一直线上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为( )
A. B. C. D.
8.(重庆中考)如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边点B处.某测量员从山脚点C出发沿水平方向前行78米到点D(点A,B,C在同一直线上),再沿斜坡DE方向前行78米到点E(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=1∶2.4,则信号塔AB的高度约为( )
(参考数据:sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93)
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
9.(2023扬州)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是( )
A.1 B.2
C.6 D.8
10.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n的值为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2022成武模拟)在△ABC中,AB=AC,sin B=,则∠A= .
12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=5,cos A=,那么△ABC的面积是 .
13.(2023牡丹江)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm,若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm.
14.(2022黄石)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动:如图,已知无人机的飞行高度为30 m,当无人机飞行至A处时,观测旗杆顶部的俯角为30°,继续飞行20 m到达B处,测得旗杆顶部的俯角为60°,则旗杆的高度约为 m.(参考数据:≈1.732,结果按四舍五入保留一位小数)
15.(2023济宁)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,tan∠EAC=,则BD= .
16.(2023广元)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A的右侧,连接AB,BC,若 tan∠ABC=,则点C的坐标为 .
三、解答题(共52分)
17. (8分)计算:
(1)2sin 30°-3tan 45°·sin 45°+4cos 60°; (2)+cos 45°·sin 60°.
18.(6分)(2023菏泽期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC= 9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,BC=18,AD=6.
(1)求sin B的值;
(2)点E在AB上,且BE=2AE,过点E作EF⊥BC,垂足为点F,求DE的长.
20.(8分)如图,某海岸线AM的方向为北偏东75°,甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资.甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行,乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行,其中乙船的平均速度为v.若两船同时到达C处海岛,求甲船的平均速度.(结果用v表示.参考数据:≈1.4,≈1.7)
21.(10分)(2023烟台)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机,如图①.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图②为测量示意图.已知斜坡CD长16 m,在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为45°,利用无人机在点A的正上方53 m的点B处测得点P的俯角为18°,求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据:sin 18°≈0.309,cos 18°≈0.951,tan 18°≈0.325)
① ②
22.(12分)(2023衡阳)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产生活,如代替人们在高空测量距离和高度,圆圆要测量教学楼AB的高度,借助无人机设计了如下测量方案:如图,圆圆在离教学楼底部24 m的C处,遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处,测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°,CD长为49.6 m.已知目高CE为1.6 m.
(1)求教学楼AB的高度;
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向,以4 m/s的速度继续向前匀速飞行,求经过多少秒时,无人机刚好离开圆圆的视线EB.第2章 解直角三角形
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B等于( A )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( B )
A.sin 60°-sin 30°=sin 30° B.sin245°+cos245°=1
C.cos 60°= D.tan 30°=
3.(2023陕西)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则sin B的值为(A)
A. B. C. D.
4.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,EC=4,sin B=,则菱形的周长是( C )
A.10 B.20 C.40 D.28
5.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AD与AB的长度之比为( C )
A. B. C. D.
6.(2022青州实验质检)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,BD=2,tan C=,则线段AC的长为( D )
A.10 B.8 C.8 D.4
7.(2022随州)如图,已知点B,D,C在水平地面上的同一直线上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为( D )
A. B. C. D.
8.(重庆中考)如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边点B处.某测量员从山脚点C出发沿水平方向前行78米到点D(点A,B,C在同一直线上),再沿斜坡DE方向前行78米到点E(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=1∶2.4,则信号塔AB的高度约为( D )
(参考数据:sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93)
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
9.(2023扬州)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是(C)
A.1 B.2
C.6 D.8
10.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n的值为(C)
A.5 B.4
C.3 D.2
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2022成武模拟)在△ABC中,AB=AC,sin B=,则∠A= 90° .
12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=5,cos A=,那么△ABC的面积是 12 .
13.(2023牡丹江)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm,若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 (2+2) cm.
14.(2022黄石)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动:如图,已知无人机的飞行高度为30 m,当无人机飞行至A处时,观测旗杆顶部的俯角为30°,继续飞行20 m到达B处,测得旗杆顶部的俯角为60°,则旗杆的高度约为 12.7 m.(参考数据:≈1.732,结果按四舍五入保留一位小数)
15.(2023济宁)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,tan∠EAC=,则BD= 3- .
16.(2023广元)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A的右侧,连接AB,BC,若 tan∠ABC=,则点C的坐标为 .
三、解答题(共52分)
17. (8分)计算:
(1)2sin 30°-3tan 45°·sin 45°+4cos 60°; (2)+cos 45°·sin 60°.
解:(1)2sin 30°-3tan 45°·sin 45°+4cos 60°
=2×-3×1×+4×
=1-+2
=3-.
(2)+cos 45°·sin 60°
=+×
=+
=-+
=-.
18.(6分)(2023菏泽期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC= 9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.
解:如图,过点A作AH⊥BC于点H.
∵S△ABC=27 cm2,
∴×9AH=27,
∴AH=6 cm.
∵在Rt△ABH中,AB=10 cm,AH=6 cm,
∴BH===8(cm),
∴tan B===.
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,BC=18,AD=6.
(1)求sin B的值;
(2)点E在AB上,且BE=2AE,过点E作EF⊥BC,垂足为点F,求DE的长.
解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,BC=18,
∴BD=DC=BC=9,
∴在Rt△ABD中,AB===3,
∴sin B===.
(2)∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴EF∥AD,
∴===,
∴EF=AD=×6=4,BF=BD=×9=6,
∴DF=BD-BF=9-6=3,
∴在Rt△DEF中,DE===5.
20.(8分)如图,某海岸线AM的方向为北偏东75°,甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资.甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行,乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行,其中乙船的平均速度为v.若两船同时到达C处海岛,求甲船的平均速度.(结果用v表示.参考数据:≈1.4,≈1.7)
解:过点C作CD⊥AM,垂足为D,如图.
由题意,得∠CAD=75°-45°=30°,∠CBD=75°-30°=45°.
设CD=a,则BD=a,BC=a,AC=2CD=2a.
∵两船同时到达C处海岛,
∴t甲=t乙,即=,
∴=,
∴v甲==v≈1.4v.
21.(10分)(2023烟台)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机,如图①.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图②为测量示意图.已知斜坡CD长16 m,在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为45°,利用无人机在点A的正上方53 m的点B处测得点P的俯角为18°,求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据:sin 18°≈0.309,cos 18°≈0.951,tan 18°≈0.325)
① ②
解:如图,延长PD交AC于点F,延长DP交BE于点G.
由题意,得PF⊥AF,DG⊥BE,AB=FG=53 m,AF=BG.
设AF=BG=x m.
∵在Rt△CDF中,∠DCF=30°,CD=16 m,
∴DF=CD=8 m.
∵在Rt△PAF中,∠PAF=45°,
∴PF=AF·tan 45°=x m.
∵在Rt△BPG中,∠GBP=18°,
∴GP=BG·tan 18°≈0.325x m,
∴FG=PF+PG≈x+0.325x=1.325x(m),
∴1.325x≈53,解得x≈40,
∴PF≈40 m,∴PD=PF-DF≈40-8=32(m),
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32 m.
22.(12分)(2023衡阳)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产生活,如代替人们在高空测量距离和高度,圆圆要测量教学楼AB的高度,借助无人机设计了如下测量方案:如图,圆圆在离教学楼底部24 m的C处,遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处,测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°,CD长为49.6 m.已知目高CE为1.6 m.
(1)求教学楼AB的高度;
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向,以4 m/s的速度继续向前匀速飞行,求经过多少秒时,无人机刚好离开圆圆的视线EB.
解:(1)如图,过点B作BM⊥CD于点M,则∠DBM=∠BDN=30°.
在Rt△BDM中,BM=AC=24 m,∠DBM=30°,
∴DM=BM·tan∠DBM=24×=24(m),
∴AB=CM=CD-DM=49.6-24=25.6(m).
答:教学楼AB的高度为25.6 m.
(2)如图,延长EB交DN于点G,则∠DGE=∠MBE.
在Rt△EMB中,BM=AC=24 m,EM=CM-CE=24 m,
∴tan∠MBE===,
∴∠MBE=30°=∠DGE.
∵∠EDG=90°,∴∠DEG=90°-30°=60°.
在Rt△EDG中,ED=CD-CE=48 m,
∴DG=ED·tan 60°=48 m,
∴48÷4=12(s),
∴经过12 s时,无人机刚好离开圆圆的视线EB.
