第4章 一元二次方程
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024菏泽期末)若方程x2+mx-3x=0不含x的一次项,则m的值为( )
A.0 B.1 C.3 D.-3
2.已知3是关于x的方程x2-2a+1=0的一个根,则2a的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
3.(2023河南)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.(2023肥城月考)已知m是方程x2-x+2=0的一个根,则代数式m2-m+2的值为( )
A.4 B.1 C.0 D.-1
5.根据表格中的对应值,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( )
x 5.31 5.32 5.33 5.34
ax2+bx+c -0.05 -0.03 0.01 0.07
A.5.31C.5.336.一元二次方程x2+2x-6=0的根是( )
A.x1=x2= B.x1=0,x2=-2
C.x1=,x2=-3 D.x1=-,x2=3
7.(2023无锡改编)2020年至2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元,设人均可支配收入的年平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.5.76(1+x)2=6.58 B.5.76(1+x2)=6.58
C.5.76(1+2x)=6.58 D.5.76x2=6.58
8.(2022遂宁)已知m为方程x2+3x-2 022=0的根,那么m3+2m2-2 025m+ 2 022的值为( )
A.-2 022 B.0 C.2 022 D.4 044
9.(2023寿光期末)关于x的一元二次方程x2-x+sin α=0有两个相等的实数根,则锐角α的余角等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
10.(2022泸州)已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为( )
A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.当x为 时,两个代数式x2+1,4x+1的值相等.
12.(2023衡阳)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4,则它的另一个根是 .
13.(2023本溪)若关于x的一元二次方程x2-x+k+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 .
14.(2023宜昌)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为 .
15.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,则当每件商品降价 元时,商场日盈利可达到2 100元.
16.(2023金华改编)如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a m,AD=b m,面积为s m2,现将边AB增加1 m,边AD增加2 m,若有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s m2,则s的值是 .
三、解答题(共52分)
17.(9分)解下列方程:
(1)2x2-5x+1=0;
(2)3x2+4x-7=0;(用配方法)
(3)(x-3)2=2x(3-x).
18.(8分)先阅读下面的解题过程,再解决问题.
解方程:x4-6x2+5=0.
这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法如下:
设y=x2,则原方程可化为y2-6y+5=0①,
解这个方程,得y1=1,y2=5.
当y=1时,x=±1;
当y=5时,x=±.
故原方程的四个根为x1=1,x2=-1,x3=,x4=-.
(1)填空:由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到降次的目的,体现了 的数学方法.
(2)参考上述方法解方程:(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
19.(8分)(2023仙桃)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.
(1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值.
20.(8分)(2023聊城期末)某商店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润率不得超过20%,商店计划要盈利 400元,需要进货多少件商品 每件商品应定价多少
21.(9分)(2023鄄城月考)某商店销售某种品牌的茶叶,购进时的价格是40元/千克.根据市场调查:在一段时间内,销售单价x(元/千克)与销售量y(千克)之间满足的关系如图.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若该商店销售这种茶叶获得8 000元的销售利润且让利于顾客,求该茶叶的销售单价.
22.(10分)(2023东昌府期末)阅读以下材料:
若x2-4x+y2-10y+29=0,求x,y的值.
思路分析:由一个方程求两个未知数显然不容易,考虑已知等式的特点,将其整理为两个完全平方式的和,利用其非负性转化成两个一元一次方程,进而求出x,y的值.
解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,
∴(x2-4x+4)+(y2-10y+25)=0,
∴(x-2)2+(y-5)2=0,
∴x=2,y=5.
请你根据上述材料解决下列问题:
(1)若m2+2m+n2-6n+10=0,求m+n的值;
(2)求证:无论x,y取何值,代数式x2-4xy+5y2+2y+5的值始终为正数.第4章 一元二次方程
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024菏泽期末)若方程x2+mx-3x=0不含x的一次项,则m的值为(C)
A.0 B.1 C.3 D.-3
2.已知3是关于x的方程x2-2a+1=0的一个根,则2a的值为( C )
A.11 B.12 C.13 D.14
3.(2023河南)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.(2023肥城月考)已知m是方程x2-x+2=0的一个根,则代数式m2-m+2的值为( C )
A.4 B.1 C.0 D.-1
5.根据表格中的对应值,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( B )
x 5.31 5.32 5.33 5.34
ax2+bx+c -0.05 -0.03 0.01 0.07
A.5.31C.5.336.一元二次方程x2+2x-6=0的根是(C)
A.x1=x2= B.x1=0,x2=-2
C.x1=,x2=-3 D.x1=-,x2=3
7.(2023无锡改编)2020年至2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元,设人均可支配收入的年平均增长率为x,则下列方程正确的是(A)
A.5.76(1+x)2=6.58 B.5.76(1+x2)=6.58
C.5.76(1+2x)=6.58 D.5.76x2=6.58
8.(2022遂宁)已知m为方程x2+3x-2 022=0的根,那么m3+2m2-2 025m+ 2 022的值为(B)
A.-2 022 B.0 C.2 022 D.4 044
9.(2023寿光期末)关于x的一元二次方程x2-x+sin α=0有两个相等的实数根,则锐角α的余角等于(D)
A.15° B.30° C.45° D.60°
10.(2022泸州)已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为( A )
A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.当x为 0或4 时,两个代数式x2+1,4x+1的值相等.
12.(2023衡阳)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4,则它的另一个根是 5 .
13.(2023本溪)若关于x的一元二次方程x2-x+k+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 k≤- .
14.(2023宜昌)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为 1 .
15.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,则当每件商品降价 20 元时,商场日盈利可达到2 100元.
16.(2023金华改编)如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a m,AD=b m,面积为s m2,现将边AB增加1 m,边AD增加2 m,若有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s m2,则s的值是 6+4 .
三、解答题(共52分)
17.(9分)解下列方程:
(1)2x2-5x+1=0;
(2)3x2+4x-7=0;(用配方法)
(3)(x-3)2=2x(3-x).
解:(1)这里a=2,b=-5,c=1.
∵Δ=(-5)2-4×2×1=17,
∴x=,
∴x1=,x2=.
(2)移项,得3x2+4x=7,
方程两边同除以3,得x2+x=,
配方,得x2+x+=+,
∴(x+)2=.
由平方根的意义,得x+=±,
∴x1=1,x2=-.
(3)移项,得(x-3)2-2x(3-x)=0,
把方程的左边因式分解,得(3x-3)(x-3)=0,
从而3x-3=0或x-3=0,
∴x1=1,x2=3.
18.(8分)先阅读下面的解题过程,再解决问题.
解方程:x4-6x2+5=0.
这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法如下:
设y=x2,则原方程可化为y2-6y+5=0①,
解这个方程,得y1=1,y2=5.
当y=1时,x=±1;
当y=5时,x=±.
故原方程的四个根为x1=1,x2=-1,x3=,x4=-.
(1)填空:由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到降次的目的,体现了 的数学方法.
(2)参考上述方法解方程:(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
解:(1)换元 转化
(2)设n=x2-x,则原方程可化为n2-4n-12=0,
解这个方程,得n1=6,n2=-2.
当n=6时,x2-x=6,
即x2-x-6=0,
解得x1=3,x2=-2;
当n=-2时,x2-x=-2,
即x2-x+2=0,
此时方程无实数根.
故原方程的解为x1=3,x2=-2.
19.(8分)(2023仙桃)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.
(1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值.
(1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)
=4m2+4m+1-4m2-4m
=1>0,
∴无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:∵该方程的两个实数根为a,b,
∴a+b=-=2m+1,ab==m2+m.
∵(2a+b)(a+2b)
=2a2+4ab+ab+2b2
=2(a2+2ab+b2)+ab
=2(a+b)2+ab,
∴2(a+b)2+ab=20,
∴2(2m+1)2+m2+m=20,
整理,得m2+m-2=0,解得m1=-2,m2=1,
∴m的值为-2或1.
20.(8分)(2023聊城期末)某商店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润率不得超过20%,商店计划要盈利 400元,需要进货多少件商品 每件商品应定价多少
解:依题意,得(a-21)(350-10a)=400,
整理,得a2-56a+775=0,
解得a1=25,a2=31.
∵21×(1+20%)=25.2,
∴a2=31>25.2,不合题意,舍去,
∴350-10a=350-10×25=100.
答:该商店需要进货100件商品,每件商品应定价25元.
21.(9分)(2023鄄城月考)某商店销售某种品牌的茶叶,购进时的价格是40元/千克.根据市场调查:在一段时间内,销售单价x(元/千克)与销售量y(千克)之间满足的关系如图.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若该商店销售这种茶叶获得8 000元的销售利润且让利于顾客,求该茶叶的销售单价.
解:(1)设y关于x的函数关系式是y=kx+b,
把(50,500),(60,400)代入y=kx+b,得
解得
∴y关于x的函数关系式是y=-10x+1 000.
(2)根据题意,得(x-40)(-10x+1 000)=8 000,
解得x=60或x=80.
∵该商店让利于顾客,∴x=60,
∴茶叶的销售单价应定为60元/千克.
22.(10分)(2023东昌府期末)阅读以下材料:
若x2-4x+y2-10y+29=0,求x,y的值.
思路分析:由一个方程求两个未知数显然不容易,考虑已知等式的特点,将其整理为两个完全平方式的和,利用其非负性转化成两个一元一次方程,进而求出x,y的值.
解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,
∴(x2-4x+4)+(y2-10y+25)=0,
∴(x-2)2+(y-5)2=0,
∴x=2,y=5.
请你根据上述材料解决下列问题:
(1)若m2+2m+n2-6n+10=0,求m+n的值;
(2)求证:无论x,y取何值,代数式x2-4xy+5y2+2y+5的值始终为正数.
(1)解:∵m2+2m+n2-6n+10=0,
∴(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,
∴(m+1)2+(n-3)2=0,
∴m=-1,n=3,
∴m+n=2.
(2)证明:x2-4xy+5y2+2y+5
=(x2-4xy+4y2)+(y2+2y+1)+4
=(x-2y)2+(y+1)2+4,
∵(x-2y)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2y)2+(y+1)2+4>0,
∴无论x,y取何值,代数式x2-4xy+5y2+2y+5的值始终为正数.
