、2.4 解直角三角形--2.5 解直角三角形的应用
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023南充)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x m到达B处,再向正北方向走到C处.已知∠BAC=α,则A,C两处相距( )
A. m B. m
C.x·sin α m D.x·cos α m
2.如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上.若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是( )
A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m
3.(2024聊城模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,AD⊥BC交BC于点D.若AB=4,tan∠CAD=,则BC等于( )
A.6 B.6 C.7 D.7
4.如图,在△ABC中,∠B=45°,sin C=,过点A作AD⊥BC于点D,AB= 2.若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为( )
A.2 B. C. D.4
5.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点D到OB的距离等于( )
A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x
6.一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是( )
A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,点P(-a,a) (a>0),连接AP交y轴于点B.若AB∶BP=2∶1,则sin∠PAO的值是( )
A. B. C. D.
8.(2022黑龙江)如图,小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则山高为( )
A.(600-250)米 B.(600-250)米
C.(350+350)米 D.500 米
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在某滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角为31°,缆车速度为50 m/min,从山脚A到达山顶B乘缆车需要14 min,则山的高度BC可以表示为 m.
10.(2022岳阳)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 米.(结果保留整数.参考数据:≈1.732)
11.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB= 150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC=10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A′OB=108°时(点A′是A的对应点),用眼舒适度较为理想,此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D≈ cm.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
12.如图,在△ABC中,AB=4,∠ABC=90°,tan∠ACB=,点D,E分别在边AC,BC上,且BC=DC.若DE把△ABC的面积平分,则DE= .
13.某篮球架的侧面示意图如图,现测得如下数据:底部支架AB的长为1.74 m,后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°,篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74 m,在篮板MN另一侧,与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐.已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为 3.05 m,则篮球架横伸臂DG的长约为 m.(结果保留一位小数.参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈ )
14.(2023枣庄)桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处.如图,已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时,∠AOM= 45°,此时点B到水平地面EF的距离为 米.(结果保留
根号)
三、解答题(共44分)
15.(14分)(2022湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.
16.(14分)(2022聊城)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔,塔旁有一棵唐代古槐,称为“宋塔唐槐”(如图①).数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度,如图②,当无人机从位于塔基B点与古槐底D之间的地面点H处,竖直起飞到正上方45米的点E处时,测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76° (B,H,D三点在同一直线上).已知塔高为39米,塔基B与古槐底D的水平距离为20米,求古槐的高度(结果精确到1米).
(参考数据:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50,sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01)
① ②
17.(16分)(2023本溪)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山,需要登顶600 m高的山峰,由山底A处先步行300 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.如图,已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53° (换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE;
(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.(结果精确到0.1 min.参考数据: sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)、2.4 解直角三角形--2.5 解直角三角形的应用
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023南充)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x m到达B处,再向正北方向走到C处.已知∠BAC=α,则A,C两处相距(B)
A. m B. m
C.x·sin α m D.x·cos α m
2.如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上.若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是( C )
A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m
3.(2024聊城模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,AD⊥BC交BC于点D.若AB=4,tan∠CAD=,则BC等于( C )
A.6 B.6 C.7 D.7
4.如图,在△ABC中,∠B=45°,sin C=,过点A作AD⊥BC于点D,AB= 2.若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为(A)
A.2 B. C. D.4
5.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点D到OB的距离等于( C )
A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x
6.一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是( C )
A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴正半轴上,点P(-a,a) (a>0),连接AP交y轴于点B.若AB∶BP=2∶1,则sin∠PAO的值是(C)
A. B. C. D.
8.(2022黑龙江)如图,小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则山高为( B )
A.(600-250)米 B.(600-250)米
C.(350+350)米 D.500 米
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在某滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角为31°,缆车速度为50 m/min,从山脚A到达山顶B乘缆车需要14 min,则山的高度BC可以表示为 700sin 31° m.
10.(2022岳阳)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为 87 米.(结果保留整数.参考数据:≈1.732)
11.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB= 150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC=10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A′OB=108°时(点A′是A的对应点),用眼舒适度较为理想,此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D≈ 19 cm.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
12.如图,在△ABC中,AB=4,∠ABC=90°,tan∠ACB=,点D,E分别在边AC,BC上,且BC=DC.若DE把△ABC的面积平分,则DE= .
13.某篮球架的侧面示意图如图,现测得如下数据:底部支架AB的长为1.74 m,后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°,篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74 m,在篮板MN另一侧,与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐.已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为 3.05 m,则篮球架横伸臂DG的长约为 1.2 m.(结果保留一位小数.参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈ )
14.(2023枣庄)桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处.如图,已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时,∠AOM= 45°,此时点B到水平地面EF的距离为 (3+) 米.(结果保留
根号)
三、解答题(共44分)
15.(14分)(2022湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.
解:∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC===4,
sin A==,
∴AC的长为4,sin A的值为.
16.(14分)(2022聊城)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔,塔旁有一棵唐代古槐,称为“宋塔唐槐”(如图①).数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度,如图②,当无人机从位于塔基B点与古槐底D之间的地面点H处,竖直起飞到正上方45米的点E处时,测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76° (B,H,D三点在同一直线上).已知塔高为39米,塔基B与古槐底D的水平距离为20米,求古槐的高度(结果精确到1米).
(参考数据:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50,sin 76°≈0.97,cos 76°≈0.24,tan 76°≈4.01)
① ②
解:如图,过点A作AM⊥EH于点M,过点C作CN⊥EH于点N.由题意,知AM=BH,CN=DH,AB=MH.
在Rt△AME中,∠EAM=26.6°,
tan∠EAM=,
∴AM==≈=12(米),∴BH=AM≈12米.
∵BD=20米,∴DH=BD-BH≈8米,
∴CN≈8米.
在Rt△ENC中,∠ECN=76°,tan∠ECN=,∴EN=CN·tan∠ECN≈8×4.01=32.08(米),
∴CD=NH=EH-EN≈12.92≈13(米),
即古槐的高度约为13米.
17.(16分)(2023本溪)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山,需要登顶600 m高的山峰,由山底A处先步行300 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.如图,已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53° (换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE;
(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.(结果精确到0.1 min.参考数据: sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
解:(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M.由题意可知∠A=30°,∠DBE= 53°,DF=600 m,AB=300 m.
在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300 m,
∴BM=AB=150 m=EF,
∴DE=DF-EF=600-150=450(m).
答:登山缆车上升的高度DE为450 m.
(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450 m,
∴BD=≈=562.5(m),
∴需要的时间
t=t步行+t缆车≈+≈19.4(min).
答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min.
