3.1 圆的对称性--3.3 圆周角
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC =35°,则∠AOB等于( )
A.140° B.120° C.110° D.70°
2.如图,AB为☉O直径,CD为☉O的弦,∠ACD=25°,则∠BAD的度数为( )
A.25° B.55°
C.65° D.75°
3.(2023聊城期末)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10,最短弦的长为6,则OP的长为( )
A.8 B.2 C.5 D.4
4.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A. B.2 C.2 D.8
6.(2023吉林)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( )
A.70° B.105° C.125° D.155°
7.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么所对的圆心角的大小是( )
A.60° B.75° C.80° D.90°
8.(2022泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是( )
A.1 B. C.2 D.4
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023临清月考)如图,☉O的半径长为5,弦AB=8,C为AB中点,则OC= .
10.如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为 .
11.(2022雅安)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角.若
∠DCE=72°,则∠BOD的度数为 .
12.如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°.若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN长度的最大值是 .
13.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上.若∠ADC=120°,则劣弧BC的度数为 .
14.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
三、解答题(共44分)
15.(10分)(2023潍坊模拟)如图,已知圆O的弦AB与直径CD交于点E,且CD平分AB.如果DE=3EC,求弦AB所对的圆心角的度数.
16.(16分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F,连接EF,AF,CF.求证:
(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
17.(18分)如图,点A在y轴正半轴上,点B是第一象限内的一点,以AB为直径的圆交x轴于D,C两点.
(1)OA与OD满足什么条件时,AC=BC 写出满足的条件,并证明AC=BC.
(2)在(1)的条件下,若OA=1,BD=3,求CD的长.3.1 圆的对称性--3.3 圆周角
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC =35°,则∠AOB等于(A)
A.140° B.120° C.110° D.70°
2.如图,AB为☉O直径,CD为☉O的弦,∠ACD=25°,则∠BAD的度数为( C )
A.25° B.55°
C.65° D.75°
3.(2023聊城期末)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10,最短弦的长为6,则OP的长为(D)
A.8 B.2 C.5 D.4
4.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的度数为( B )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( C )
A. B.2 C.2 D.8
6.(2023吉林)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是(D)
A.70° B.105° C.125° D.155°
7.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么所对的圆心角的大小是(D)
A.60° B.75° C.80° D.90°
8.(2022泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是( C )
A.1 B. C.2 D.4
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023临清月考)如图,☉O的半径长为5,弦AB=8,C为AB中点,则OC= 3 .
10.如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为 30° .
11.(2022雅安)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角.若
∠DCE=72°,则∠BOD的度数为 144° .
12.如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°.若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN长度的最大值是 .
13.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上.若∠ADC=120°,则劣弧BC的度数为 60° .
14.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台.
三、解答题(共44分)
15.(10分)(2023潍坊模拟)如图,已知圆O的弦AB与直径CD交于点E,且CD平分AB.如果DE=3EC,求弦AB所对的圆心角的度数.
解:如图,连接OB,OA.
∵DE=3EC,
∴OC+OE=3EC,
即OE+CE+OE=3CE,
∴OE=CE,∴OE=OC=OA.
∵CD为☉O的直径,E为AB中点,
∴CD⊥AB.
在Rt△OAE中,∵sin A==,
∴∠A=30°.
∵OA=OB,∴∠B=∠A=30°,
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=120°,
即弦AB所对的圆心角的度数为120°.
16.(16分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F,连接EF,AF,CF.求证:
(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
证明:(1)∵AC=BC,∴∠BAC=∠B.
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠B,∴∠BAC=∠ADF.
∵∠BAC=∠CFD,∴∠ADF=∠CFD,
∴BD∥CF.
又∵DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形.
(2)如图,连接AE.
∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴∠AEF=∠B.
∵四边形AECF是☉O的内接四边形,∴∠ECF+∠EAF=180°.
∵BD∥CF,∴∠ECF+∠B=180°,
∴∠EAF=∠B,
∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.
17.(18分)如图,点A在y轴正半轴上,点B是第一象限内的一点,以AB为直径的圆交x轴于D,C两点.
(1)OA与OD满足什么条件时,AC=BC 写出满足的条件,并证明AC=BC.
(2)在(1)的条件下,若OA=1,BD=3,求CD的长.
解:(1)当OA=OD时,AC=BC.
证明如下:连接AD(图略),
∵∠AOD=90°,∴△AOD是等腰直角三角形,
∴∠ODA=45°,∴∠ABC=∠ODA=45°.
∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=45°,∴∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC.
(2)∵AB是圆的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠AOC=∠ADB=90°.
∵∠ACO=∠ABD,∴△AOC∽△ADB,
∴OC∶DB=OA∶AD.
∵AD=OA=,∴OC∶3=1∶,
∴OC=3,∴CD=OC-OD=3-1=2.
