第4章 一元二次方程
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.x=2y-3
B.2(x+1)=3
C.x2+3x-1=x2+1
D.x2=9
2.若x2-4x+p=(x+q)2,则( )
A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2
C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2
3.把一元二次方程-2x2+4=3x化成一般形式后,若二次项系数为2,则一次项系数和常数项分别是( )
A.3,4 B.3,-4 C.-3,4 D.-3,-4
4.(2022临沂)方程x2-2x-24=0的根是( )
A.x1=6,x2=4
B.x1=6,x2=-4
C.x1=-6,x2=4
D.x1=-6,x2=-4
5.方程x2-2x-3=0的一个实数根为m,则2 024-m2+2m的值是( )
A.2 022 B.2 021 C.2 020 D.2 019
6.(2021广东)若|a-|+=0,则ab等于( )
A. B. C.4 D.9
7.根据表格中的信息,估计关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10(a,b,c为常数,a≠0)的一个解x的范围为( )
x 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c -15 -8.75 -2 5.25 13
A.0C.18.下列说法正确的是( )
A.解方程3x(x+2)=5(x+2)时,可以在方程两边同时除以(x+2),得到3x=5,故x=
B.解方程(x+2)(x+3)=3×4时,对比方程两边知x+2=3,x+3=4,故x=1
C.解方程(3y+2)2=4(y-3)2时,只要将两边开平方,方程就变形为3y+2=2(y-3),从而解得y=-8
D.若一元二次方程的常数项为0,则0必为它的一个根
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a= .
10.若实数x,y满足(x+y+2)(x+y-1)=0,则x+y的值为 .
11.(2024莘县质检)已知x2+y2+4x-6y+13=0,且x,y是实数,则xy= .
12.(2024曹县质检)如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,且点A对应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为 .
三、解答题(共52分)
13.(10分)(2024寒亭质检)已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-5=0,若该方程的一个根为x=3,求a的值并直接写出该方程的常数项.
14.(14分)(2023临清质检)解下列方程:
(1)2x2=8;
(2)x2-8x+1=0(配方法);
(3)2x2+3x-2=0(公式法);
(4)x(x-2)+x-2=0(因式分解法).
15.(14分)下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x-1=0的过程,请仔细阅读后,解答下面的问题.
解:移项,得2x2+4x=1,①
二次项系数化为1,得x2+2x=,②
配方,得x2+2x+12=,即(x+1)2=,③
由此可得x+1=±,④
x1=-1+,x2=-1-.⑤
(1)整个解答过程是否正确 若不正确,从第 步开始出现错误,产生错误的原因是 .请写出正确的解答过程.
(2)用这种方法解方程2x2-4x-3=0.
16.(14分)基本事实:若ab=0,则a=0或b=0.
(1)试利用上述基本事实解方程:
3x2-x=0;
(2)若实数m,n满足(m4+n4+2m2n2)-4=0,求m2+n2的值.第4章 一元二次方程
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列方程中是一元二次方程的是(D)
A.x=2y-3
B.2(x+1)=3
C.x2+3x-1=x2+1
D.x2=9
2.若x2-4x+p=(x+q)2,则( B )
A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2
C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2
3.把一元二次方程-2x2+4=3x化成一般形式后,若二次项系数为2,则一次项系数和常数项分别是(B)
A.3,4 B.3,-4 C.-3,4 D.-3,-4
4.(2022临沂)方程x2-2x-24=0的根是( B )
A.x1=6,x2=4
B.x1=6,x2=-4
C.x1=-6,x2=4
D.x1=-6,x2=-4
5.方程x2-2x-3=0的一个实数根为m,则2 024-m2+2m的值是(B)
A.2 022 B.2 021 C.2 020 D.2 019
6.(2021广东)若|a-|+=0,则ab等于( B )
A. B. C.4 D.9
7.根据表格中的信息,估计关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10(a,b,c为常数,a≠0)的一个解x的范围为( D )
x 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c -15 -8.75 -2 5.25 13
A.0C.18.下列说法正确的是(D)
A.解方程3x(x+2)=5(x+2)时,可以在方程两边同时除以(x+2),得到3x=5,故x=
B.解方程(x+2)(x+3)=3×4时,对比方程两边知x+2=3,x+3=4,故x=1
C.解方程(3y+2)2=4(y-3)2时,只要将两边开平方,方程就变形为3y+2=2(y-3),从而解得y=-8
D.若一元二次方程的常数项为0,则0必为它的一个根
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a= -1 .
10.若实数x,y满足(x+y+2)(x+y-1)=0,则x+y的值为 -2或1 .
11.(2024莘县质检)已知x2+y2+4x-6y+13=0,且x,y是实数,则xy= -8 .
12.(2024曹县质检)如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,且点A对应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为 .
三、解答题(共52分)
13.(10分)(2024寒亭质检)已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-5=0,若该方程的一个根为x=3,求a的值并直接写出该方程的常数项.
解:把x=3代入方程x2+ax+a-5=0,得
32+3a+a-5=0,解得a=-1,
则该方程为x2-x-6=0,
其常数项为-6.
14.(14分)(2023临清质检)解下列方程:
(1)2x2=8;
(2)x2-8x+1=0(配方法);
(3)2x2+3x-2=0(公式法);
(4)x(x-2)+x-2=0(因式分解法).
解:(1)2x2=8,x2=4,
x=±2,
∴x1=2,x2=-2.
(2)x2-8x+1=0,
x2-8x+16=15,
(x-4)2=15,x-4=±,
∴x1=4+,x2=4-.
(3)2x2+3x-2=0,
a=2,b=3,c=-2,
b2-4ac=32-4×2×(-2)=25>0,
x==,
∴x1=-2,x2=.
(4)x(x-2)+x-2=0,
(x-2)(x+1)=0,
x-2=0或x+1=0,
∴x1=2,x2=-1.
15.(14分)下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x-1=0的过程,请仔细阅读后,解答下面的问题.
解:移项,得2x2+4x=1,①
二次项系数化为1,得x2+2x=,②
配方,得x2+2x+12=,即(x+1)2=,③
由此可得x+1=±,④
x1=-1+,x2=-1-.⑤
(1)整个解答过程是否正确 若不正确,从第 步开始出现错误,产生错误的原因是 .请写出正确的解答过程.
(2)用这种方法解方程2x2-4x-3=0.
解:(1)整个解答过程不正确,从第③步开始出现错误,产生错误的原因是等号右边没有加上1.
正确的解答过程如下:
移项,得2x2+4x=1,
二次项系数化为1,得x2+2x=,
配方,得x2+2x+12=+1,
即(x+1)2=,由此可得x+1=±,
x1=-1+,x2=-1-.
(2)∵2x2-4x-3=0,∴2x2-4x=3,
则x2-2x=,
∴x2-2x+1=+1,即(x-1)2=,
∴x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-.
16.(14分)基本事实:若ab=0,则a=0或b=0.
(1)试利用上述基本事实解方程:
3x2-x=0;
(2)若实数m,n满足(m4+n4+2m2n2)-4=0,求m2+n2的值.
解:(1)方程变形,得x(3x-1)=0,
∴x=0或3x-1=0,
解得x1=0,x2=.
(2)设t=m2+n2(t≥0),
则原方程变为t2-4=0,
∴t=2或t=-2(舍去).
即m2+n2的值是2.
