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第4课时 相似三角形的判定定理3
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1.定理:三边 的两个三角形相似.
2.书写:如图,在△ABC和△A1B1C1中,
∵ ,
∴△ABC∽△A1B1C1.
成比例
考点梳理
判定定理3的应用
[典例1](2023曹县月考)如图,已知一个等腰三角形和一条线段,以这条线段为边画三角形,使之与已知等腰三角形相似,则所画三角形的腰长为 .
[变式1](2023莱西期末)如图,网格中相似的两个三角形是( )
A.①与② B.①与③
C.③与④ D.②与③
B
[变式2]如图,AD是△ABC的高,E,F分别是AB,AC的中点.求证:△DEF
∽△ABC.
判定定理的综合应用
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
[变式3](2023雁塔月考)如图,点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,不能判定△ABC与△BDC相似的是( )
B
相似三角形的判定方法
(1)平行线法:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(2)三边法:三边成比例的两个三角形相似;
(3)两边及其夹角法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(4)两角法:两角分别相等的两个三角形相似.
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1.2 怎样判定三角形相似
第1课时 平行线分线段成比例
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1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 .
2.平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应 .
成比例
成比例
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平行线分线段成比例定理
[典例1](2023莘县质检)如图,已知AB∥CD∥EF且AC∶CE=3∶4,BD=9,则BF的长为( )
A.12 B.13 C.18 D.21
D
[变式1](2023潍坊质检)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F,已知OA=1,OB=2,BC=4,EF=5.
(1)求OE的长度;
(2)求DE的长度.
平行线分线段成比例定理的推论
[典例2](2023垦利期末)如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD∶DB=2∶3,BC=20 cm,求BF的长.
解:∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形BDEF是平行四边形,∴BF=DE.
∵AD∶DB=2∶3,∴AD∶AB=2∶5.
∵DE∥BC,∴DE∶BC=AD∶AB=2∶5,
即DE∶20=2∶5,∴DE=8 cm,
∴BF=8 cm.
故BF的长为8 cm.
[变式2]如图,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,DE=3.
(1)求BC的长;
(2)求证:AD·AG=AF·AB.
平行线分线段成比例定理及其推论
(1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例;
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例;
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
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第3课时 相似三角形的判定定理2
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1.定理:两边 ,且夹角 的两个三角形相似.
2.书写:如图,在△ABC和△A1B1C1中,
∵ ,∠A=∠A1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
成比例
相等
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利用判定定理2分类讨论
[典例1](2023泰安期末)如图,在△ABC中,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD=8,在AC上取一点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE等于( )
C
[变式1](2023郓城期中)如图,∠A=∠B=90°,AB=7,BC=3,AD=2,在边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相似,则满足条件的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
C
忘记分类讨论导致漏解.
判定定理2的应用
[典例2](2023单县月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点E,D是底边所在直线上的两点,连接AE,AD.若AD2=DC·DE,求证:∠ABC=∠DAE.
[变式3](2022高密质检)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,DE⊥AB于点E,BD·DE=BE·CD.
(1)求证:△BCD∽△BDE;
(2)若BC=10,AD=6,求AE的长.
相似三角形判定定理2的应用
(1)利用判定定理2证明两个三角形相似时,应满足两边成比例且夹角相等;
(2)判定两个三角形相似时,要注意图形中的公共角、公共边等隐含条件.
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第2课时 位似图形的坐标变化
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平面直角坐标系中的位似变换
(1)如果多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x轴上,那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大(或缩小)相同的倍数,所得到的图形与原图形是 , 是它们的位似中心.
(2)在平面直角坐标系中,当图形中各点的横坐标与纵坐标都乘k时,变化后的图形与原图形是以 为位似中心的位似图形,并且相似比为|k|,当|k|>1时,变化后的图形比原图形 ;当0<|k|<1时,变化后的图形比原图形 .
位似图形
坐标原点
坐标原点
大
小
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位似图形的坐标变化
[典例1](2023成武月考)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-6,
-4),以原点O为位似中心,相似比为2∶1,把△ABO放大,则点B的对应点B′的坐标是( )
A.(-3,-2) B.(-3,-2)或(3,2)
C.(-12,-8) D.(-12,-8)或(12,8)
D
B
当位似变换是以原点为位似中心,相似比为k时,求位似图形对应点的坐标只乘k,漏乘-k,从而使求解出错.
[变式2](2023寿光模拟)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2∶1,则点B的对应点B1的坐标是 .
(4,2)或(-4,-2)
[典例2]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C.若点A的对应点A′的坐标为(2,-3),点B的对应点B′的坐标为(1,0),则点A的坐标为( )
C
[变式3]如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别是A(4,6),B(4,2),C(10,2),△A′B′C′与△ABC关于原点O位似,点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′,其中点B′的坐标是(2,1).
(1)求△A′B′C′与△ABC的相似比;
(2)请在图中画出△A′B′C′;
(3)若边AC上有一点M(a,b),求在边A′C′上与点M对应的点的坐标.
解:(2)如图,△A′B′C′即为所求.
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第2课时 相似三角形的判定定理1
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1.定理: 分别相等的两个三角形相似.
2.书写:如图,∵∠A=∠A1,∠B=∠B1,
∴△ABC∽ .
两角
△A1B1C1
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利用判定定理1证明三角形相似
[典例1]如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.求证△ADF∽△EAB.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠DAF=∠AEB.
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=90°=∠B,
∴△ADF∽△EAB.
[变式1](2023天桥月考)如图,在△ABP和△CDP中,∠B=∠C=90°,点P在BC上,且∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD.
证明:∵∠APD=90°,∠B=90°,
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=90°,
∴∠BAP=∠CPD.
又∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCD.
相似三角形判定定理1的应用
[典例2]如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点M,连接CM交DB于点N.求证:BD2=AD·CD.
[变式2](2023临清质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC,边AB上,且∠ADE=∠B,求证:△ADC∽△DEB.
证明:∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠DEB,
∠ADE=∠B,∴∠DEB=∠ADC.
在△ADC和△DEB中,
∠ADC=∠DEB,∠C=∠B,
∴△ADC∽△DEB.
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1.4 图形的位似
第1课时 位似图形
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1.位似图形
对应边 (或 )且每对对应点所在的直线都经过
的两个相似多边形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
2.位似图形的性质
如果两个多边形是位似图形,那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 .
特别提醒:(1)位似图形必须同时满足两个条件:两个图形是相似形;每对对应点所在的直线都经过同一点.
(2)位似图形是相似形,但相似形不一定是位似图形.
互相平行
共线
同一点
相似比
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位似图形及其性质
∴△ACB∽△DFE,∴∠BAC=∠EDF,
∴∠OAC-∠BAC=∠ODF-∠EDF,
即∠OAB=∠ODE,∴AB∥DE.
又△ABC与△DEF的对应点所在的直线都经过同一点O,
∴△ABC与△DEF是位似图形.
(2)求△ABC与△DEF的相似比.
[变式](2023牡丹三模)如图,以点O为位似中心,把△ABC放大2倍得到△A′B′C′,有下列说法:
①AB∥A′B′;
②△ABC∽△A′B′C′;
③AO∶AA′=1∶2;
④点C,O,C′在同一直线上.
其中正确的是 .(填序号)
①②④
位似图形的特征
(1)两个图形必须是相似形;
(2)对应点所在的直线都经过同一点;
(3)对应边平行或在同一条直线上.
位似作图
[典例2](2023瑞安质检)如图,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,请按要求在方格纸内作图.
(1)在图①中以点O为位似中心,在△ABC同侧作△ABC的位似图形,使其各边长为△ABC相应边长的2倍.
①
解:(1)如图①,△A′B′C′为所作.
①
(2)在图②中作△DEF,使得△DEF∽△ABC,且其面积是△ABC面积的2倍.
②
解:(2)如图②,△DEF为所作(答案不唯一).
②
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1.3 相似三角形的性质
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相似三角形的性质
(1)相似三角形对应线段的比等于 ;面积的比等于 .
.
(2)相似三角形的周长比等于 .
特别提醒:①在应用相似三角形的性质时,前提是这两个三角形相似;
②要注意“对应”二字,必须是对应边上的高,对应边上的中线,对应角的平分线.
相似比
相似比
的平方
相似比
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利用相似三角形的性质求周长或线段长
[典例1](2023东明月考)已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm和14 cm,且它们的周长相差60 cm,则这两个三角形的周长分别为 .
[变式1](2023肥城期末)已知△ABC∽△DEF,AM,DN分别是△ABC,△DEF的一条中线,且AM=6 cm,AB=8 cm,DE=4 cm,则DN的长是 .
100 cm,40 cm
3 cm
忘记分类讨论导致漏解.
[变式2](2023巨野一模)两个相似三角形的相似比为2∶3,其中一个三角形的周长为12 cm,则另一个三角形的周长是 .
18 cm或8 cm
利用相似三角形的性质求面积
[典例2](2023莱州期末)已知两个相似三角形的周长比为2∶3,若较大三角形的面积等于18 cm2,则较小三角形的面积等于( )
A.8 cm2 B.12 cm2
C.27 cm2 D.40.5 cm2
A
[变式3](2023坊子月考)两个相似三角形对应边的比是2∶3,它们的面积和为65,求较小三角形的面积.
解:∵两个相似三角形对应边的比是2∶3,∴这两个三角形的面积比为4∶9.
设这两个三角形的面积分别为4x,9x,
则有4x+9x=65,解得x=5,
∴4x=20,即较小三角形的面积为20.
(2)若S△DCE=2,求△ABC的面积.
相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;
(2)相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比;
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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第5课时 相似三角形的实际应用
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利用相似三角形测量物体的高度
(1)我们可以把太阳光线近似看成平行线,借助太阳光线下的影子测量旗杆的高度,基本思路是利用太阳光是平行光线以及 、 .
与 垂直构造相似三角形,通过相似三角形对应边成比例列式计算.
(2)利用镜子反射测量旗杆的高度,思路是根据反射角等于入射角,通过 、 与 垂直构造相似三角形,根据相似三角形对应边成比例列式计算.
人
旗杆
地面
人
旗杆
地面
(3)借助标杆测量旗杆的高度,思路是从人眼所在的位置向旗杆作垂
线,通过 、 、 与 垂直构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例列式计算.
人
标杆
旗杆
地面
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测物体的高度
[典例1](2023莘县期中)如图,小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.C,E,A三点在同一直线上,B,C相距20米,D,C相距40米,乙楼的高BE为15米,小明的身高忽略不计,则甲楼的高AD为( )
A.40米 B.20米 C.15米 D.30米
D
[变式1]小益利用标杆EF测量旗杆AB的高度,示意图如图,已知小益的身高CD=1.6 m,标杆EF=2.4 m,DF=1 m,BF=9 m,则旗杆AB的高度是
m.
9.6
[典例2](2023寒亭期末)如图是某数学兴趣小组用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,CD⊥BD,且测得AB=4 m,BP=
6 m,PD=12 m,那么该古城墙CD的高度是( )
A.8 m B.9 m C.16 m D.18 m
A
[变式2]如图,身高1.5米的人站在两棵树之间,距较高的树5米,距较矮的树3米,若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°,
且较矮的树高4米,那么较高的树有多少米
利用相似三角形测物体高度的步骤
(1)以杆(或直尺)为三角形的边,构建相似三角形.
(2)利用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
测物体的宽度
[典例3](2023临清模拟)为了测量河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,然后在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交点R.已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,则河宽PQ=
m.
90
[变式3](2023牡丹期末)为了测量河宽AB,某同学采用以下方法:如图,放一根标尺CD,使CD∥AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线
上,量得CD=10米,OC=15米,OA=45米,则河宽AB= 米.
30
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1.1 相似多边形
第1章 图形的相似
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1.相似形
的平面图形叫做相似形.
特别提醒:两个全等形也是相似形,但两个相似形未必是全等形.
2.相似多边形
(1)两个 的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应 ,各边对应 ,那么这两个多边形叫做相似多边形.两个多边形相似用符号“ ”表示,读作“ ”.
形状相同
边数相同
相等
成比例
∽
相似于
(2)相似多边形 的比叫做相似比.
(3)当两个多边形全等时,其相似比为 ;反之,如果两个相似多边形的相似比为 ,那么这两个多边形全等.
对应边
1
1
考点梳理
相似形的判定
[典例1](2023郓城期中)如图,有一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板ABCD,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm,那么矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗 为什么
相似多边形的判定
(1)多边形的边数相同;
(2)多边形的对应角相等;
(3)多边形的对应边成比例.
相似多边形的性质
[典例2](2023诸城月考)如图,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α, β的大小和x的值.
解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,
∴α=∠C=83°,∠F=∠B=78°,EH∶AD=EF∶AB,
∴x∶21=24∶18,解得x=28.
在四边形EFGH中,β=360°-83°-78°-118°=81°.故α=83°,β= 81°,x=28.
[变式1]如图是两片形状相同的枫叶图案,则x的值为 .
11
忽视相似多边形的对应关系,导致计算出错.
[变式2]两个相似多边形的最大边长分别是10 cm和20 cm,如果其中
一个多边形的最短边长为6 cm,那么另一个多边形的最短边长为
cm.
12或3
谢谢观赏！
