第1章一元二次方程同步练习卷（含答案）-数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册苏科版
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 滨江区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．（3x﹣1）（x+2）＝1 B．3x+2＝0
C．3x+y＝0 D．
2．（2025春 岚山区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝2
3．（2024秋 道县校级期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
4．（2025春 莱芜区期末）若x＝1是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3
5．（2025春 历下区期末）若x＝m是关于x的一元二次方程x2+2025x+1＝0的一个根，则代数式m2+2025m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025
6．（2025春 莱芜区期末）用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（　　）
A．x（7+x）＝10 B．x（7﹣x）＝10
C．x（14﹣x）＝10 D．x（14﹣2x）＝10
7．（2025春 历下区期末）若关于x的一元二次方程x2+8x+c＝0配方后得到方程（x+4）2＝3c，则c的值为（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．16
8．（2025 鸡西一模）随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364
B．100（1+x）2＝364
C．1+1（1+x）+1（1+x）2＝364
D．100（1+x2）＝364
二．填空题（共7小题）
9．（2025春 浦东新区校级月考）方程的解是　 　 ．
10．（2025春 龙凤区校级期末）若关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有实数根，则m的取值范围为　 　 ．
11．（2025春 张店区期末）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是　 　 ．
12．（2025 中山市校级三模）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　 ．
13．（2024秋 大足区期末）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1056个红包，设群内共有x个人．根据题意可列方程　 　 ．
14．（2025春 南湖区校级期中）若关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解是　 　 ．
15．（2025春 资中县校级月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则（7m2﹣14m﹣9）（3n2﹣6n﹣7）＝　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2025春 龙凤区校级期末）解方程：
（1）3x（x﹣5）＝4（x﹣5）．
（2）2x2+x＝4．
（3）3（x﹣1）2＝15．
（4）（3t﹣1）（t+1）＝4．
17．（2025春 滨江区期末）用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设AB长x米．
（1）用含x的代数式表示BC的长．
（2）矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
18．（2025 莲池区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是方程2a2﹣8＝0的解．
19．（2025春 莱芜区期末）已知关于x的方程2x2﹣（k+4）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，它总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长．
20．（2025春 历下区期末）已知x2﹣2mx+m2+m﹣9＝0是关于x的一元二次方程．
（1）若m＝0，则该方程的两个实数根分别为 　 　 和 　 　 ；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，
①当两根之差为时，求m的值；
②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值．
21．（2025春 高新区校级月考）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为 　 　 件；
（2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
22．（2025春 雨花区校级期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣4x+3＝0是否是“3倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值．
第1章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C A B C A
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 滨江区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．（3x﹣1）（x+2）＝1 B．3x+2＝0
C．3x+y＝0 D．
【解答】解：（3x﹣1）（x+2）＝1，整理得3x2+5x﹣2＝1，符合一元二次方程的定义，则A符合题意，
3x+2＝0中未知数的次数是1，则B不符合题意，
3x+y＝0中含有2个未知数，则C不符合题意，
2x20不是整式方程，则D不符合题意，
故选：A．
2．（2025春 岚山区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝2
【解答】解：原方程配方得：x2﹣6x+9＝7+9，
（x﹣3）2＝16．
故选：A．
3．（2024秋 道县校级期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
【解答】解：（x﹣1）2＝6，
x2﹣2x+1﹣6＝0，
x2﹣2x﹣5＝0，
即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，
故选：B．
4．（2025春 莱芜区期末）若x＝1是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3
【解答】解：由条件可知：12﹣2×1﹣m＝0，
解得m＝﹣1．
故选：C．
5．（2025春 历下区期末）若x＝m是关于x的一元二次方程x2+2025x+1＝0的一个根，则代数式m2+2025m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025
【解答】解：∵x＝m是关于x的一元二次方程x2+2025x+1＝0的一个根，
∴m2+2025m+1＝0，
∴m2+2025m＝﹣1，
故选：A．
6．（2025春 莱芜区期末）用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（　　）
A．x（7+x）＝10 B．x（7﹣x）＝10
C．x（14﹣x）＝10 D．x（14﹣2x）＝10
【解答】解：∵铝材的总长为14米，且制成的矩形窗框的一条边长为x米，
∴制成的矩形窗框与长为x米的边相邻的一条边长为x＝（7﹣x）米，
又∵制成的矩形窗框的面积为10平方米，
∴可列出方程x（7﹣x）＝10．
故选：B．
7．（2025春 历下区期末）若关于x的一元二次方程x2+8x+c＝0配方后得到方程（x+4）2＝3c，则c的值为（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．16
【解答】解：关于x的一元二次方程x2+8x+c＝0，
移项得：x2+8x＝﹣c，
配方得：x2+8x+16＝16﹣c，即（x+4）2＝16﹣c，
∵配方后得到方程（x+4）2＝3c，
∴3c＝16﹣c，
解得：c＝4．
故选：C．
8．（2025 鸡西一模）随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364
B．100（1+x）2＝364
C．1+1（1+x）+1（1+x）2＝364
D．100（1+x2）＝364
【解答】解：根据题意得，100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
故选：A．
二．填空题（共7小题）
9．（2025春 浦东新区校级月考）方程的解是　x＝1　 ．
【解答】解：原方程两边平方得：x2＝2x﹣1，
∴x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1，
经检验：x＝1是原方程的解，
故答案为：x＝1．
10．（2025春 龙凤区校级期末）若关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有实数根，则m的取值范围为　m≤2　 ．
【解答】解：这里a＝1，b＝﹣2，c＝m﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m+4＝8﹣4m．
∵方程x2﹣2x+m﹣1＝0有实数根，
∴8﹣4m≥0．
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
11．（2025春 张店区期末）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是　3　 ．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣1）＝3．
故答案为：3．
12．（2025 中山市校级三模）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　1　 ．
【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×m＝0，
解得：m＝1，
∴m的值为1．
故答案为：1．
13．（2024秋 大足区期末）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1056个红包，设群内共有x个人．根据题意可列方程　x（x﹣1）＝1056　 ．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝1056，
故答案为：x（x﹣1）＝1056．
14．（2025春 南湖区校级期中）若关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解是　y1＝0，y2＝5　 ．
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x1＝2，x2＝﹣3，
所以关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解满足﹣y+2＝2或﹣3，
解得y1＝0，y2＝5．
故答案为：y1＝0，y2＝5．
15．（2025春 资中县校级月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则（7m2﹣14m﹣9）（3n2﹣6n﹣7）＝　8　 ．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，
∴7m2﹣14m﹣9＝7（m2﹣2m）﹣9＝7﹣9＝﹣2，
3n2﹣6n﹣7＝3（n2﹣2n）﹣7＝3﹣7＝﹣4∵（7m2﹣14m﹣9）（3n2﹣6n﹣7）＝（﹣2）×（﹣4）＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共7小题）
16．（2025春 龙凤区校级期末）解方程：
（1）3x（x﹣5）＝4（x﹣5）．
（2）2x2+x＝4．
（3）3（x﹣1）2＝15．
（4）（3t﹣1）（t+1）＝4．
【解答】解：（1）3x（x﹣5）＝4（x﹣5），
∴3x（x﹣5）﹣4（x﹣5）＝0，
∴（3x﹣4）（x﹣5）＝0，
∴3x﹣4＝0或x﹣5＝0，
∴，x2＝5；
（2）∵2x2+x＝4，
∴2x2+x﹣4＝0，
∴Δ＝12﹣4×2×（﹣4）＝33，
∴，
∴，；
（3）∵3（x﹣1）2＝15，
∴（x﹣1）2＝5，
∴，
∴，；
（4）原方程化简为3t2+2t﹣5＝0，
∴（3t+5）（t﹣1）＝0，
解得，t2＝1．
17．（2025春 滨江区期末）用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设AB长x米．
（1）用含x的代数式表示BC的长．
（2）矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设AB长x米，则BC＝（60﹣3x）米；
（2）矩形ABCD这块菜地的面积能为225平方米，理由如下：
由题意得：x（60﹣3x）＝225，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝15，x2＝5，
当x＝15时，60﹣3x＝60﹣45＝15＜40，符合题意；
当x＝5时，60﹣3x＝60﹣15＝45＞40，不符合题意，舍去；
答：矩形ABCD这块菜地的面积能为225平方米，x的值为15．
18．（2025 莲池区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是方程2a2﹣8＝0的解．
【解答】解：
（）
[]

．
∵a是方程2a2﹣8＝0的解，
∴a＝±2．
又∵a﹣2≠0即a≠2，
∴a＝﹣2，
则原式．
19．（2025春 莱芜区期末）已知关于x的方程2x2﹣（k+4）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，它总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长．
【解答】解：（1）Δ＝（k+4）2﹣4×2×2k＝（k﹣4）2，
∵（k﹣4）2≥0，
∴无论k取何值，它总有实数根；
（2）①当3是等腰三角形的底时，
则Δ＝0，即（k﹣4）2＝0，解得：k＝4，
则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，
∴2，2，3能构成三角形，
∴此时等腰三角形的周长为7；
②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根，
∴将x＝3代入2x2﹣（k+4）x+2k＝0得：18﹣3（k+4）+2k＝0，解得 k＝6，
此时方程为：x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2x2＝3则3、3能构成三角形，此时等腰三角形的周长为8．
综上所述，k＝4或6；三角形的周长为7或8．
20．（2025春 历下区期末）已知x2﹣2mx+m2+m﹣9＝0是关于x的一元二次方程．
（1）若m＝0，则该方程的两个实数根分别为 　x1＝3　 和 　x2＝﹣3　 ；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，
①当两根之差为时，求m的值；
②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值．
【解答】解：（1）m＝0时，原方程变形为x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3；
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣9）＞0．
解得m＜9，
①设方程的两个为α，β，
根据根与系数的关系得α+β＝2m，αβ＝m2+m﹣9，
∵|α﹣β|＝2，
∴（α﹣β）2＝12，
∴（α+β）2﹣4αβ＝12，
即（2m）2﹣4（m2+m﹣9）＝12，
解得m＝6，
即m的值为6；
②∵Δ＝4（9﹣m），
∴xm±，
∵0＜m＜9且m为整数，
∴当9﹣m＝1或9﹣m＝4时，方程的两根均为整数，
解得m＝8或m＝5，
即m的值为5或8．
21．（2025春 高新区校级月考）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为 　230　 件；
（2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）280﹣（45﹣40）×10＝230（件）．
（2）设该吉祥物公仔的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，依题意，得：
（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝2610，
整理，得x2﹣98x+2301＝0，
解得x1＝39（不合题意，舍去），x2＝59．
答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）不能，理由如下：
设该吉祥物公仔的销售单价为y元（y＞40），当天的销售量为[280﹣（y﹣40）×10]件，
∴（y﹣30）[280﹣（y﹣40）×10]＝3700，
∴y2﹣98y+2410＝0．
∵Δ＝﹣36＜0，
∴该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元．
22．（2025春 雨花区校级期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣4x+3＝0是否是“3倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∵3x1＝x2，
∴x2﹣4x+3＝0是“3倍根方程”；
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，
分情况讨论：
①m＝2×3＝6，m2+2m+2＝50；
②；
（3）∵x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”
∴不妨设x2是x1的三倍，由韦达定理：，解得x1＝±4．
①x1＝4，x2＝12，x1+x2＝16＝m﹣1，m＝17．
②x1＝﹣4，x2＝﹣12，x1+x2＝﹣16＝m﹣1，m＝﹣15．
综上所述，m的值为17或﹣15．
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