北京市西城区2015- 2016学年高一下学期期末考试数学试卷

北京市西城区2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知数列满足，且，那么＝（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 下图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（ ）
A. 30 B. 25 C. 22 D. 20
5. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的i值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 在不等式组表示的平面区域内任取一个点，使得的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x的不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：
体积（升/件）
重量（公斤/件）
利润（元/件）
甲
20
10
8
乙
10
20
10
在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（ ）
A. 65元 B. 62元 C. 60元 D. 56元
10. 设，给出下列判断：
①若，则；
②若，则；
③若均为正数，且，则；
④若均为正数，且，则。
则所有正确判断的序号是（ ）
A. ①② B. ③ C. ③④ D. ②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
11. 不等式的解集为___________。
12. 下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为___________，方差为__________。
13. 某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：
成绩等级
A
B
C
D
E
成绩（分）
100
85
70
60
50以下
人数（名）
1
a
b
8
c
已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝___________；b＝__________。
14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是_________。
15. 某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为__________。
16. 已知数列中，，.
①若，则a＝__________；
②设是数列的前n项和，则＝__________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分13分）
等差数列的首项，其前n项和为，且。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式的n的值。
18. （本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且。
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求c的值。
19. （本小题满分13分）
某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表。
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.050
第2组
[165，170）
①
0.350
第3组
[170，175）
30
②
第4组
[175，180）
20
0.200
第5组
[180，185]
10
0.100
合计
100
1.00
（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；
（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6
名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率。
20.（本小题满分13分）
已知函数。
（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解关于x的不等式；
（Ⅲ）当时，若存在，使得，求m的取值范围。
21.（本小题满分14分）
已知是递增的等差数列，为的前n项和，且成等比数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求的取值范围。
22.（本小题满分14分）
已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足。
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若对于正整数这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示和；
（Ⅲ）已知数列满足，数列的前100项和分别为，且，试问：是否对于任意的正整数均有成立，请说明理由。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1. C； 2. D； 3. C； 4. B； 5. C； 6. C； 7. B； 8. A； 9. B； 10. C。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. ； 12. 92，2.8； 13. 5，10；
14. ； 15. ； 16. 。
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，
因为，所以。 3分
因为，所以，即， 5分
所以。 6分
（Ⅱ）因为，所以， 8分
由不等式，
得， 10分
所以，
解得， 12分
因为,
所以n的值为2，3，4。 13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，， 3分
所以，
所以。 5分
（Ⅱ）因为， 7分
所以，
解得。 9分
又因为， 11分
所以，
所以。 13分
19. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人， ……………2分
第3组的频率为。 4分
所以①处的数据为35，②处的数据为0.300。 ……………5分
（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：
第3组：人；第4组：人；第5组：人。
所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人。 ……………8分
（注：第（Ⅰ）（Ⅱ）问仅写出正确答案，没有过程，各扣掉1分）
（Ⅲ）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，
则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）。
共有15种可能。 ……………10分
其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）。
共有9种可能。 ……………12分
所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为。
答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为。 ……………13分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，
函数在（－2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数。 2分
又，
所以，在区间上的最大值和最小值分别为4和－5。 4分
（Ⅱ）不等式，即，
当时，解得。 5分
当时，的两根为3和， 6分
当时，，不等式的解集为。 7分
当时，，
所以，当时，，不等式的解集为。 8分
当时，不等式的解集为。 9分
当时，，不等式的解集为。 10分
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。
（Ⅲ）因为，所以是开口向下的抛物线，
抛物线的对称轴为， 11分
若存在，使得，则， 12分
即，解得或，
综上，m的取值范围是。 13分
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d。
由，可得， 1分
由成等比数列，可得， 2分
所以
解得（舍）或 3分
所以数列的通项公式为。 4分
（Ⅱ）解可得，
所以数列中，其余各项均大于零。 6分
所以 7分
。 9分
（Ⅲ）设，
， 10分
令，得，
所以 11分
又由，知，其余各项均大于零。 12分
在中，，且 13分
计算得，
所以，的取值范围是。 14分
22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，，
所以，当时，， 2分
整理得，
又，所以＝2，数列是公比为2的等比数列， 3分
所以数列的通项公式。 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是公比为2的等比数列。
①若为的等差中项，则， 5分
所以，所以，
又，，所以，
所以。 7分
②若为的等差中项，则，
所以，所以，
所以，
等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立。 8分
③若为的等差中项，则，同理也不成立。
综上，。 9分
（Ⅲ）由，得，
所以或， 10分
若，不妨设，
则
。 11分
则
。 12分
由已知，所以，与已知不符，所以， 13分
所以，同上可得，
如此下去，，
即对于任意的正整数，均有。 14分