第21章一元二次方程同步练习卷（含答案）-数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 龙凤区校级期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x+5＝0 B．x3﹣x＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．xy＝1
2．（2025春 龙凤区校级期末）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（　　）人参加聚会．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025 桥东区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0（k＞1），则该方程根的情况是（　　）
A．方程无实根
B．两根之和为﹣2k
C．有两个负实数根
D．若两根之积为3，则k＝2
4．（2025春 张店区期末）如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　）
A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2
C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4
5．（2025春 张店区期末）已知四边形ABCD是菱形，其两边AB，BC的长是关于x的一元二次方程4x2﹣4mx+2m＝1的两个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
6．（2025 凌河区校级三模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．（40﹣x）（19﹣x）＝352 B．（40+x）（19+x）＝352
C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝352 D．（40+2x）（19+2x）＝352
7．（2025 扬州模拟）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
8．（2025 九龙坡区校级模拟）已知关于x的多项式：M＝2x2+x+2，N＝2x2﹣nx﹣2．
①若M＝4，则代数式的值为；
②若y＝M﹣N，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为n＜﹣1；
③当n＝3时，若M N＝0，则或x＝﹣2．
以上结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 云岩区校级月考）已知（k﹣2）x|k|+3x﹣1＝0是一元二次方程，则实数k＝　 　 ．
10．（2025春 桂阳县校级月考）写出一个二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为4的一元二次方程是 　 　 ．（用一般形式表示）
11．（2025 金山区校级三模）关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a取到最小整数是　 　 ．
12．（2025 锦江区模拟）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两个实数根，则代数式a2+5b的值为　 　 ．
13．（2025春 龙凤区校级期末）用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上　 　 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
14．（2025 通州区一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程　 　 ．
15．（2025春 南海区校级月考）已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x+5＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为　 　 ．
16．（2025 阳谷县三模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025春 张店区期末）解方程：
（1）x2﹣2x+1＝4；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
18．（2025春 珠海期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围．
（2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值．
19．（2025春 蚌埠月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是邻根方程．
（1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程：．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是邻根方程，求k的值．
20．（2025春 钱塘区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
（3）已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
21．（2025春 张店区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
22．（2025春 鼓楼区校级期末）苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：
“在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？”
课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．
（1）请你计算出上述方案中绿地的宽；
（2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答）
第21章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B D A A B
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 龙凤区校级期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x+5＝0 B．x3﹣x＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．xy＝1
【解答】解：A、该方程中未知数的次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（2025春 龙凤区校级期末）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（　　）人参加聚会．
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设有x个人参加聚会，根据题意得，
x（x﹣1）＝20，
解得：x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴共有5个人参加聚会．
故选：B．
3．（2025 桥东区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0（k＞1），则该方程根的情况是（　　）
A．方程无实根
B．两根之和为﹣2k
C．有两个负实数根
D．若两根之积为3，则k＝2
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝﹣k+1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＝4（k﹣1）
∵k＞1，
∴k﹣1＞0，
∴4（k﹣1）＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故A错误；
设关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0（k＞1）的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝2k，x1 x2＝k2﹣k+1，
∵k＞1，
∴方程的两个根为同号，
故B，C错误；
当x1 x2＝3时，即k2﹣k+1＝3，
解得k＝2或k＝﹣1，
∵k＞1，
∴k＝2，故D正确．
故选：D．
4．（2025春 张店区期末）如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　）
A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2
C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4
【解答】解：由表可知，当x＝1.1时，x2+12x﹣15＜0，当x＝1.2时，x2+12x﹣15＞0，
∴x2+12x﹣15＝0正根x1的范围是1.1＜x1＜1.2；
故选：B．
5．（2025春 张店区期末）已知四边形ABCD是菱形，其两边AB，BC的长是关于x的一元二次方程4x2﹣4mx+2m＝1的两个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×4×（2m﹣1）＝0，
解得m1＝m2＝1．
故选：D．
6．（2025 凌河区校级三模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．（40﹣x）（19﹣x）＝352 B．（40+x）（19+x）＝352
C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝352 D．（40+2x）（19+2x）＝352
【解答】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（19﹣x）米的长方形．
根据题意得：（40﹣x）（19﹣x）＝352．
故选：A．
7．（2025 扬州模拟）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣3，
∴，
故选：A．
8．（2025 九龙坡区校级模拟）已知关于x的多项式：M＝2x2+x+2，N＝2x2﹣nx﹣2．
①若M＝4，则代数式的值为；
②若y＝M﹣N，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为n＜﹣1；
③当n＝3时，若M N＝0，则或x＝﹣2．
以上结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：当M＝4时，2x2+x+2＝4，
∴x2＝1x，
∴，所以①正确；
∵y＝M﹣N＝2x2+x+2﹣（2x2﹣nx﹣2）＝（n+1）x+4，
而y随着x的增加而增加，
∴n+1＞0，
解得n＞﹣1，所以②错误；
当n＝3时，N＝2x2﹣3x﹣2，
若M N＝0，则M＝0或N＝0，
即2x2+x+2＝0或2x2﹣3x﹣2＝0，
对于方程2x2+x+2＝0，
∵Δ＝12﹣4×2×2＝﹣15＜0，
∴此方程没有实数解；
对于方程2x2﹣3x﹣2＝0，
（2x+1）（x﹣2）＝0，
2x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x1，x2＝2，
综上所述，若M N＝0，则x或x＝2，所以③错误．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2025春 云岩区校级月考）已知（k﹣2）x|k|+3x﹣1＝0是一元二次方程，则实数k＝　﹣2　 ．
【解答】解：∵（k﹣2）x|k|+3x﹣1＝0是一元二次方程，
∴，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．（2025春 桂阳县校级月考）写出一个二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为4的一元二次方程是 　x2﹣3x+4＝0　 ．（用一般形式表示）
【解答】解：二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为4的一元二次方程为：x2﹣3x+4＝0；
故答案为：x2﹣3x+4＝0．
11．（2025 金山区校级三模）关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a取到最小整数是　10　 ．
【解答】解：由条件可得Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4a＜0，且a≠0，
解得：a＞9；
∴a的最小整数值为10；
故答案为：10．
12．（2025 锦江区模拟）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两个实数根，则代数式a2+5b的值为　28　 ．
【解答】解：由题意，∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝5，ab＝﹣3，a2﹣5a﹣3＝0．
∴a2+5b＝5a+3+5b
＝5（a+b）+3
＝5×5+3
＝28．
故答案为：28．
13．（2025春 龙凤区校级期末）用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上　9　 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x+32＝2+32，
（x﹣3）2＝11．
故答案为9．
14．（2025 通州区一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程　160（1﹣x）2＝40　 ．
【解答】解：根据题意可列出方程为：160（1﹣x）2＝40．
故答案为：160（1﹣x）2＝40．
15．（2025春 南海区校级月考）已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x+5＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为　﹣2　 ．
【解答】解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x+5＝0的两个根，
∴x1+x23，
x1x25．
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣5＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（2025 阳谷县三模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　3或1　 ．
【解答】解：解方程得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
∴x1＝2，x2＝m，
∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，
则m﹣2＝1或2﹣m＝1，
解得m＝3或m＝1．
故答案为：3或1．
三．解答题（共6小题）
17．（2025春 张店区期末）解方程：
（1）x2﹣2x+1＝4；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝4，
配方得，（x﹣1）2＝4，
解得，x﹣1＝±2，
所以，原方程的解为x1＝3，x2＝﹣1；
（2）2x2+3x﹣2＝0，
因式分解得，（x+2）（2x﹣1）＝0，
解得，x+2＝0或2x﹣1＝0，
所以，原方程的解为．
18．（2025春 珠海期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围．
（2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0，
解得：m≤3，
即m的取值范围是m≤3；
（2）∵方程的两个根为x1、x2，
∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5，
∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19，
∵x1x2+12，
∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0，
解得m＝1或m＝7，
∵m≤3，
∴m＝1，
故m的值为1．
19．（2025春 蚌埠月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是邻根方程．
（1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程：．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是邻根方程，求k的值．
【解答】解：（1）由条件可知，
∴，
∴，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
（2）x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0，
（x﹣k）（x+3）＝0，
x﹣k＝0或x+3＝0，
解得：x1＝k，x2＝﹣3，
由条件可知k+1＝﹣3或k﹣1＝﹣3，
解得：k＝﹣4或﹣2，
即k的值为﹣4或﹣2．
20．（2025春 钱塘区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
（3）已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k，
由b+c＝2+k＝2（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5；
（3）解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则，
两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1，
解得x1，
设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则，
两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b，
解得x2，
所以x1x2＝1，
又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根，
则ax2+1＝0．
又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1．
若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根，
所以a≠1，故x2＝1．
于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3，
解得b＝﹣3，c＝2．
21．（2025春 张店区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x
根据题意得：50（1﹣x）2＝32
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：每次下降20%
（2）设涨价y元（0＜y≤8）
6000＝（10+y）（500﹣20y）
解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元．
22．（2025春 鼓楼区校级期末）苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：
“在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？”
课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．
（1）请你计算出上述方案中绿地的宽；
（2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答）
【解答】解：（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32﹣2x）米，宽为（24﹣2x）米，
根据题意，列方程为：（24﹣2x）（32﹣2x），
解方程得x1＝4，x2＝24（舍去），
故绿地的宽为4米．
（2）方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32﹣3x）米，宽为（24﹣2x）米，则方程为．
方案2如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32﹣2x）米，宽为（24﹣3x）米，则方程为：．
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