第22章二次函数同步练习卷（含答案）-数学九年级上册人教版

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第22章二次函数同步练习卷-数学九年级上册人教版
一．选择题（共9小题）
1．（2025春 鼓楼区校级期末）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
2．（2024秋 钱塘区期末）关于二次函数y＝﹣（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝2时，函数有最小值3
B．当x＝2时，函数有最大值3
C．当x＝﹣2时，函数有最小值3
D．当x＝﹣2时，函数有最大值3
3．（2024秋 拱墅区期末）在直角坐标系中，设函数，．（　　）
A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点
B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1
C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等
D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点
4．（2025春 定远县校级月考）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒，已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y＝（20﹣x）（500﹣10x）
B．y＝（20﹣x）（500+10x）
C．y＝（20﹣x﹣10）（500﹣10x）
D．y＝（20﹣x﹣10）（500+10x）
5．（2025春 西湖区校级月考）下表中所列x、y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，根据表中所提供的信息，其中：①a＞0；②9＜m＜16；③k＜9；④b2＝4a（c﹣k），判断正确的是（　　）
x … x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 …
y … 16 m 9 k 9 m 16 …
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
6．（2025春 拱墅区校级月考）已知k，n均为非负实数，且2k+n﹣2＝0，则代数式2k2﹣n的最小值为（　　）
A．0 B．2 C． D．﹣2
7．（2025 孝义市三模）将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1
C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3
8．（2025春 莘县校级月考）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如（﹣1，19），（﹣2007，2025）…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　）
A．（2025，﹣2043）是“乾坤点”
B．函数y＝6x+18的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数y＝x2﹣2x+2025是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（2a+1≠0，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为（9，9）
9．（2025春 袁州区校级月考）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
二．填空题（共8小题）
10．（2025春 闵行区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ．
11．（2021秋 临江市期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　 　 ．
12．（2025 定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　 　 s．
13．（2025春 鼓楼区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+4，则该抛物线的顶点坐标是　 　 ．
14．（2025春 武威月考）将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　 　 ．
15．（2025春 静安区校级月考）如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线y＝ax2+4x﹣6（a≠0）的“顶线”是 　 　 ．
16．（2025春 南关区校级月考）已知关于x的二次函数y＝2x2﹣mx+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为　 　 ．
17．（2025春 江岸区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程a（x﹣1）（x﹣7）+c＝0有两个不相等的实数根；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是　 　 ．（填写序号）
三．解答题（共7小题）
18．（2025春 海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且2a+b+c＝0．
（1）当c＝0时，求t的值；
（2）若a＜c＜0，求t的取值范围；若点（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，判断y1，y2与y3的大小关系且说明理由．
19．（2025春 南海区校级月考）设二次函数表达式为y＝ax2+（a+c）x+c（a，c是常数）．
（1）若该二次函数的图象只经过M（0，3），N（1，4），P（﹣1，2）三个点中的两个点，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的前提下，当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
20．（2025春 龙凤区校级期末）某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出150个．若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个，但不能亏本销售．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为w元，求出w元与x元之间的函数关系式；
（3）若商户想获得5040元的利润，他应该将销售单价定为多少？
21．（2025 凌河区校级三模）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润y1（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y1＝ax2，饲养B种白鹅获得的利润y2（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y2＝﹣3ax2+bx．画出两函数的图象如图所示．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？
22．（2025春 凉州区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标．
23．（2025春 乌当区月考）某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）已知球网MN离发球处距离为9米，且球网高2.4米．通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1米．若排球沿L′下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的范围．
24．（2025春 阳新县校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过O（0，0），A（4，0）两点，点B（0，3）在y轴上，P是抛物线y＝﹣x2+bx+c上位于直线AB上方的一个动点．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P作直线PC⊥AB于点C，交x轴于点D，过点P作直线PE⊥x轴于点E，交AB于点F，若PD＝3AF，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，动点M从点O出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，同时动点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，其中一个点到达终点时另一个点随之停止，将线段MN绕点N逆时针旋转90°得到线段NG，连接MG，设运动时间为t秒，直接写出当△MNG一边与OP平行时t的值．
第22章二次函数同步练习卷-数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D A D A D A D A
一．选择题（共9小题）
1．（2025春 鼓楼区校级期末）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
2．（2024秋 钱塘区期末）关于二次函数y＝﹣（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝2时，函数有最小值3
B．当x＝2时，函数有最大值3
C．当x＝﹣2时，函数有最小值3
D．当x＝﹣2时，函数有最大值3
【解答】解：由二次函数y＝﹣（x+2）2+3中a＝﹣1＜0，
得当x＝﹣2时，函数有最大值3．
故选：D．
3．（2024秋 拱墅区期末）在直角坐标系中，设函数，．（　　）
A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点
B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1
C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等
D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点
【解答】解：由题意，对于A，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
∴Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a）
＝（a﹣b）2+8（a﹣b）．
∵a＞b，
∴Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0．
∴若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点，故A正确．
对于B，∵函数y1和y2的值互为相反数，
∴x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0．
∴（a+b）x+（a+b）＝0．
∴（a+b）（x+1）＝0．
∴a+b＝0或x+1＝0，故B错误．
对于C，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
又∵当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0，
∴当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故C错误．
对于D，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
∴结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故D错误．
故选：A．
4．（2025春 定远县校级月考）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒，已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y＝（20﹣x）（500﹣10x）
B．y＝（20﹣x）（500+10x）
C．y＝（20﹣x﹣10）（500﹣10x）
D．y＝（20﹣x﹣10）（500+10x）
【解答】解：由题知：y与x之间的函数关系式为y＝（20﹣x﹣10）（500+10x）．
故选：D．
5．（2025春 西湖区校级月考）下表中所列x、y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，根据表中所提供的信息，其中：①a＞0；②9＜m＜16；③k＜9；④b2＝4a（c﹣k），判断正确的是（　　）
x … x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 …
y … 16 m 9 k 9 m 16 …
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【解答】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先减小后增加，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，①正确；
∴k＜9＜m＜16，
∴9＜m＜16，②正确；
∴k＜9，③正确；
∵k，a＞0，
∴4ac﹣b2≤4ak，
∴b2≥4a（c﹣k），④错误．
综上，可得判断正确的是：①②③．
故选：A．
6．（2025春 拱墅区校级月考）已知k，n均为非负实数，且2k+n﹣2＝0，则代数式2k2﹣n的最小值为（　　）
A．0 B．2 C． D．﹣2
【解答】解：∵k，n均为非负实数，2k+n﹣2＝0，
∴n＝2﹣2k，
∴2﹣2k≥0，
∴0≤k≤1．
∴2k2﹣n＝2k2﹣（2﹣2k）＝2（k）2
∴当k＝0时，代数式有最小值，
∴代数式2k2﹣n的最小值为﹣2．
故选：D．
7．（2025 孝义市三模）将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1
C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣2+3）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1．
故选：A．
8．（2025春 莘县校级月考）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如（﹣1，19），（﹣2007，2025）…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　）
A．（2025，﹣2043）是“乾坤点”
B．函数y＝6x+18的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数y＝x2﹣2x+2025是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（2a+1≠0，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为（9，9）
【解答】解：A．∵2025+（﹣2043）＝﹣18≠18，
∴（2025，﹣2043）不是“乾坤点”，故选项A错误；
B．∵函数y＝6x+18的图象上存在“乾坤点”，
∴x+6x+18＝18，
解得x＝0，
∴函数y＝6x+18的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误；
C．若函数y＝x2﹣2x+2025是“乾坤函数”，
则x2﹣x+2007＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2007＝﹣8027＜0，
∴方程无解，
∴函数的图象上不存在“乾坤点”，
∴函数y＝x2﹣2x+2025不是“乾坤函数”，故选项C错误；
D．∵是“乾坤函数”，
∴，
化简得x2﹣18x+2a+1＝0，
∵“乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”，
∴x2﹣18x+2a+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣18）2﹣4（2a+1）＝0，
∴a＝40，
∴方程为x2﹣18x+81＝0，
解得x1＝x2＝9，
∴y＝18﹣9＝9，
∴“乾坤点”的坐标为（9，9），故选项D正确，
故选：D．
9．（2025春 袁州区校级月考）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
【解答】解：由题意得：
把x＝8代入为中得：y82＝﹣4，
∴B（8，﹣4），
∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
10．（2025春 闵行区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　 ．
【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（2021秋 临江市期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　﹣2　 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．（2025 定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　3　 s．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
小球到达最大高度的时间是3．
故答案为：3．
13．（2025春 鼓楼区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+4，则该抛物线的顶点坐标是　（0，4）　 ．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（0，4）
故答案为：（0，4）．
14．（2025春 武威月考）将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　y＝2（x+1）2﹣2　 ．
【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式为y＝2（x﹣1+2）2﹣3+1＝2（x+1）2﹣2，即y＝2（x+1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
15．（2025春 静安区校级月考）如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线y＝ax2+4x﹣6（a≠0）的“顶线”是 　y＝2x﹣6（x≠0）　 ．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝ax2+4x﹣6（a≠0），
∴顶点为（，）．
设x，y6，
∵由x，则2x，
∴y＝﹣6+2x．
∵a≠0，
∴x≠0．
∴抛物线y＝ax2+4x﹣6（a≠0）的“顶线”是y＝2x﹣6（x≠0）．
故答案为：y＝2x﹣6（x≠0）．
16．（2025春 南关区校级月考）已知关于x的二次函数y＝2x2﹣mx+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为　m　 ．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝2x2﹣mx+1，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x．
∴当x时，y随x的增大而减小．
又∵当时，y的值随x的增大而减小，
∴．
∴m．
故答案为：m．
17．（2025春 江岸区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程a（x﹣1）（x﹣7）+c＝0有两个不相等的实数根；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是　①②③　 ．（填写序号）
【解答】解：∵抛物线过（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴对称轴是直线x2．
又∵a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵抛物线过点（﹣2，y1），（3，y2），且|﹣2﹣2|＝4＞|3﹣2|＝1，
∴y1＞y2，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x2，
∴b＝﹣4a．
又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，则a+4a+c＝0，即5a+c＝0，故②正确．
∵a（x﹣1）（x﹣7）+c＝0，且c＝﹣5a，
∴a（x﹣1）（x﹣7）﹣5a＝0（a＞0）．
∴（x﹣1）（x﹣7）﹣5＝0．
∴x2﹣8x+2＝0，故Δ＝64﹣8＝56＞0．
∴方程a（x﹣1）（x﹣7）+c＝0有两个不相等的实数根，故③正确．
由题意，∵二次函数开口向上，当x＝2时，y取最小值为4a+2b+c，且b＝﹣4a、c＝﹣5a，
∴4a+2b+c＝﹣﹣9a，即最小值为﹣9a．
∴对于对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a，但是﹣9a＜﹣3a，故④错误．
故答案为：①②③．
三．解答题（共7小题）
18．（2025春 海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且2a+b+c＝0．
（1）当c＝0时，求t的值；
（2）若a＜c＜0，求t的取值范围；若点（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，判断y1，y2与y3的大小关系且说明理由．
【解答】解：（1）∵当c＝0时，
又2a+b+c＝0，
∴2a+b＝0．
∴b＝﹣2a．
又y＝ax2+bx，且对称轴为直线x＝t，
∴t1．
（2）由题意可得，对称轴是直线，
∴b＝﹣2at．
又∵2a+b+c＝0，
∴2a+（﹣2at）+c＝0．
∴c＝2a（t﹣1）．
∵a＜c＜0，
∴a＜2a（t﹣1）＜0．
∴1＞2（t﹣1）．
∴t．
又∵c＜0，a＜0，
∴c＝2a（t﹣1）＜0．
∴t＞1．
综上，t的取值范围为：；
y2＞y3＞y1，理由如下：
∵a＜0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∵点（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，对称轴是直线x＝t，
∴各点离对称轴的距离分别为t+1，t﹣1，3﹣t．
∵，
∴2＜t+1，0＜t﹣1，3﹣t＜2．
∴t﹣1＜3﹣t＜t+1．
∴y2＞y3＞y1．
19．（2025春 南海区校级月考）设二次函数表达式为y＝ax2+（a+c）x+c（a，c是常数）．
（1）若该二次函数的图象只经过M（0，3），N（1，4），P（﹣1，2）三个点中的两个点，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的前提下，当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【解答】解：（1）由题意，∵当x＝﹣1时，y＝ax2+（a+c）x+c＝a﹣a﹣c+c＝0≠2，
∴点P（﹣1，2）不在二次函数y＝ax2+（a+c）x+c的图象上．
又∵二次函数的图象只经过M（0，3），N（1，4），P（﹣1，2）三个点中的两个点，
∴二次函数的图象经过M（0，3），N（1，4）．
∴．
∴．
∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y取最大值，最大值为4．
又∵m≤x≤0＜1，
∴此时y随x的增大而增大．
∴当x＝m时，y取最小值为﹣（m﹣1）2+4；当x＝0时，y取最大值为3．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴3﹣（m﹣1）2+4＝2．
∴m＝1（不合题意，舍去）或m＝1．
20．（2025春 龙凤区校级期末）某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出150个．若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个，但不能亏本销售．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为w元，求出w元与x元之间的函数关系式；
（3）若商户想获得5040元的利润，他应该将销售单价定为多少？
【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+150；
（2）依题意有：
w＝（80﹣50﹣x）（10x+150）＝﹣10x2+150x+4500，
∴w元与x元之间的函数关系式为：w＝﹣10x2+150x+4500；
（3）依题意有：
﹣10x2+150x+4500＝5040，
解得x＝6或9，
∵x为偶数，
∴x＝6，
∴想获得5040元的利润，他应该将销售单价定为74元．
21．（2025 凌河区校级三模）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润y1（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y1＝ax2，饲养B种白鹅获得的利润y2（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y2＝﹣3ax2+bx．画出两函数的图象如图所示．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？
【解答】解：（1）由条件可得，5＝100a，5＝﹣300a+10b，
解得：，b＝2，
∴；
（2）设投资m（0≤m≤10）万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资为（10﹣m）万元，由题意得：
，
整理得：，
∴当m＝5时，y1+y2有最大值，最大值为7.5；
答：当投资5万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资也为5万元时，可使得利润最大，最大利润为7.5万元．
22．（2025春 凉州区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标．
【解答】解：（1）将C（0，3），B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵△POC沿y轴翻折，得到菱形POP′C，
∴OC为对角线，
∴PC＝PO，
设P（t，﹣t2+2t+3），
∴t2+（﹣t2+2t）2＝t2+（﹣t2+2t+3）2，
解得t或t（舍），
∴P（，）；
（3）连接CP、BP，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，
∴S四边形CABP＝S△ACB+S△BCP（﹣m2+3m）（m）2，
当m时，四边形CABP的面积有最大值，此时P（，）．
23．（2025春 乌当区月考）某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）已知球网MN离发球处距离为9米，且球网高2.4米．通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1米．若排球沿L′下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的范围．
【解答】解：（1）由题意可得：抛物线L的顶点坐标为（6，3），
设：y＝a（x﹣6）2+3，
∵过点P（0，2），
∴2＝36a+3，
解得：，
∴；
（2）∵当x＝9时，y＝2.75＞2.4，
∴发出后的排球能越过球网．
∵当y＝0时，，（在x轴负半轴，舍去），
∴不会出界，
答：发出后的排球能越过球网，不会出界；
（3）设抛物线L′的解析式为：，
∵过（18，0），
∴，
解得：k1＝12（不合题意，舍去），k2＝24，
∴，
由题意可得：护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到，
∴m＝24，
∵排球落地时，砸到点A，
∴，
解得：x1＝18（不合题意，舍去），x2＝30，
∴m＝30，
故m的范围为24≤m≤30．
24．（2025春 阳新县校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过O（0，0），A（4，0）两点，点B（0，3）在y轴上，P是抛物线y＝﹣x2+bx+c上位于直线AB上方的一个动点．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P作直线PC⊥AB于点C，交x轴于点D，过点P作直线PE⊥x轴于点E，交AB于点F，若PD＝3AF，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，动点M从点O出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，同时动点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，其中一个点到达终点时另一个点随之停止，将线段MN绕点N逆时针旋转90°得到线段NG，连接MG，设运动时间为t秒，直接写出当△MNG一边与OP平行时t的值．
【解答】解：（1）将O（0，0），A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x；
设直线AB的解析式为y＝kx+3，
∴4k+3＝0，
解得k，
∴直线AB的解析式：；
（2）∵PC⊥AB，PE⊥x轴，
∴∠PED＝∠ACD＝∠AEF＝90°，
∵∠PDE+∠DPE＝∠PDE+∠CAD＝90°，
∴∠DPE＝∠CAD，即∠DPE＝∠FAE，
∵∠PED＝∠AEF＝90°，
∴△PDE∽△AFE，
∴，
设点P（m，﹣m2+4m）（0＜m＜4），
∴PE＝﹣m2+4m，AE＝4﹣m，
∴﹣m2+4m＝3（4﹣m），
解得m1＝3，m2＝4，
∵m2＝4不满足0＜m＜4，舍去，
∴m＝3，
∴P（3，3）；
（3）∵点M从点O出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，
∴M（2t，0），
∵点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，
∴AN＝3t，
∴N（4t，t），
∵P（3，3），
∴直线PO的解析式为y＝x，
当MN∥OP时，kMN＝1，
∴1，解得t；
当MG∥OP时，∠POA＝∠GMA＝45 °，
∵∠NMG＝45°，
∴MN⊥x轴，
∴2t＝4t，解得t；
当MG∥OP时，
∵MN⊥NG，
∴OP⊥MN，
∴kMN＝﹣1，
∴1，解得t；
综上所述：t的值为或或．
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