第二章直线与圆的方程检测卷（含解析）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章直线与圆的方程检测卷（含解析）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 264.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-14 20:40:01 | ||
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文档简介
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第二章直线与圆的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 双清区校级期末）圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与直线l：的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
2．（2024秋 河北期末）已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣10＝0被直线x﹣y+2＝0所截，则截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
3．（2025春 句容市期中）直线的倾斜角α为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 榆次区校级学业考试）若直线l：x+my+1＝0的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025春 望城区校级期末）已知点A是圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝5上一点，点B在直线l：3x﹣4y﹣8＝0上，则|AB|的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
6．（2025春 海南期末）已知点M是直线y＝x+1上一点，A（1，0），B（2，1），则|AM|+|BM|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025春 东坡区期末）已知点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣2），直线l过点P（1，2）且与线段AB有公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025春 广东期末）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间一定点，并且点A到l1的距离为2，到l2的距离为1，B为直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 宁城县期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限
C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
（多选）10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
（多选）11．（2025春 汨罗市校级期末）下列命题错误的是（ ）
A．两平行直线5x+12y+3＝0与10x+24y+5＝0之间的距离是
B．若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或
C．若点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，则直线与圆相离
D．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为1
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 东坡区校级期末）若直线x+ay+2＝0与直线ax+y+a﹣1＝0平行，则实数a＝ ．
13．（2025春 长沙校级期末）平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣1），B（0，3），P（1，a），N（1，a+1），当四边形PABN的周长最小时，△APN的外接圆的方程为 ．
14．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东坡区校级期末）已知圆C经过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A与圆C相切的直线方程．
16．（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
17．（2025春 东坡区期末）已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）．
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
18．（2025春 长沙校级期末）在△ABC中，点C的坐标为（4，﹣1），BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y﹣1＝0，直线AC的倾斜角为．
（1）求点A的坐标；
（2）过点A的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．
19．（2024秋 海门区期末）已知圆C经过点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A且与圆C相切的直线的方程；
（3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若|BD|＝8，求l的斜率．
第二章直线与圆的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C C D D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BD BC
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 双清区校级期末）圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与直线l：的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，可得圆的圆心C（1，1），半径为1，
圆心C到直线l：的距离d1，
所以圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与直线l：相切．
故选：A．
2．（2024秋 河北期末）已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣10＝0被直线x﹣y+2＝0所截，则截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：圆方程整理得：（x﹣1）2+（y+1）2＝12，
所以圆心为（1，﹣1），半径，
则圆心到直线x﹣y+2＝0的距离为，
所以弦长为．
故选：D．
3．（2025春 句容市期中）直线的倾斜角α为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：直线的斜率为，
则tanα，
直线的倾斜角α∈[0，π），
则α．
故选：D．
4．（2025 榆次区校级学业考试）若直线l：x+my+1＝0的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，，
解得．
故选：C．
5．（2025春 望城区校级期末）已知点A是圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝5上一点，点B在直线l：3x﹣4y﹣8＝0上，则|AB|的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
【解答】解：如图，
圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝5的圆心到直线l：3x﹣4y﹣8＝0的距离d．
∴|AB|的最小值为3．
故选：C．
6．（2025春 海南期末）已知点M是直线y＝x+1上一点，A（1，0），B（2，1），则|AM|+|BM|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A（1，0），B（2，1），
M为直线l：y＝x+1上的动点，
设点A关于直线y＝x+1的对称点A′（m，n），
则，
解得点A′（﹣1，2），
连接A′B，交直线l于点M，
则|AM|+|BM|的最小值为A′B．
故选：D．
7．（2025春 东坡区期末）已知点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣2），直线l过点P（1，2）且与线段AB有公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，
当直线l的倾斜角小于90°时，有k≥kPA，
当直线l的倾斜角大于90°时，有k≤kPB，
而kPA，kPB2，
∴直线l的斜率k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
故选：D．
8．（2025春 广东期末）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间一定点，并且点A到l1的距离为2，到l2的距离为1，B为直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
直线AC的斜率存在，设方程为：y＝kx，k≠0．
则直线AB的方程为：yx，
∴C（2，2k），B．
∴△ABC的面积S|AC| |AB|2，
当且仅当k＝±1时取等号．
∴△ABC的面积最小值为2．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 宁城县期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限
C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【解答】解：对于选项A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，
令得，，
所以直线恒过（1，﹣2），故A正确；
对于选项B，由AB＜0，BC＜0，则，
而直线可化为，所以直线不经过第四象限，故B正确；
对于选项C，若直线过原点时，直线l为，即l：3x﹣2y＝0，故C错误；
对于选项D，令原直线为ax+by+c＝0，根据平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，
所以ax+by+3a﹣2b+c＝0与ax+by+c＝0为同一直线，
所以3a﹣2b+c＝c，即，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：根据题意，可得圆的圆心C1（m，0），半径r1＝1．
圆的圆心C2（2，m），半径r2＝3，
因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝|r1﹣r2|，即，解得m＝0或2．
故选：BD．
（多选）11．（2025春 汨罗市校级期末）下列命题错误的是（ ）
A．两平行直线5x+12y+3＝0与10x+24y+5＝0之间的距离是
B．若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或
C．若点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，则直线与圆相离
D．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为1
【解答】解：对于A，直线5x+12y+3＝0即为10x+24y+6＝0，
由平行直线距离公式得两直线间距离为，故选项A正确；
对于B，如上图，直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，
∵，，
∴l的斜率k的取值范围是，故选项B错误；
对于C，∵点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，
∴R2，则R．
又∵圆x2+y2＝R2的圆心（0，0）到直线的距离为dR，
∴直线与圆相交，故选项C错误；
对于D，由题意，圆x2+y2＝1的半径r＝1，圆心为（0，0），
圆心到直线ax+by+c＝0的距离为，
∵3a2+3b2﹣4c2＝0，∴，则，
∴，
∴直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为，故选项D正确．
故选：BC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 东坡区校级期末）若直线x+ay+2＝0与直线ax+y+a﹣1＝0平行，则实数a＝ 1 ．
【解答】解：由两条直线平行的充要条件可得：1×1＝a2且1×（a﹣1）≠2a，解得a＝1，
所以实数a＝1．
故答案为：1．
13．（2025春 长沙校级期末）平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣1），B（0，3），P（1，a），N（1，a+1），当四边形PABN的周长最小时，△APN的外接圆的方程为 x2+y2+3x﹣3y﹣2＝0 ．
【解答】解：由于|AB|、|NP|为定值，四边形PABN的周长最小时也即|PA|+|BN|最小时．
设C（0，2），连PC，则|BN|＝|PC|，作C关于直线x＝1的对称点E（2，2），则|BN|＝|PC|＝|PE|，
于是|PA|+|BN|＝|PA|+|PE|≥|AE|，当且仅当A、P、E共线取等号，此时，
解得a＝1，此时 P（1，1），N（1，2），设△APN的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
于是，解得，故△APN的外接圆的方程为：x2+y2+3x﹣3y﹣2＝0．
14．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 88 ．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），
∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
＝（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b﹣6）2+（a﹣4）2+（b+2）2
＝3a2+3b2﹣4b+68，
∵点P在圆x2+y2＝4上运动，
∴a2+b2＝4，
a2＝4﹣b2≥0，
所以b2≤4，
∴﹣2≤b≤2．
把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68
＝12﹣3b2+3b2﹣4b+68
＝﹣4b+80，
∵﹣2≤b≤2，
所以当b＝﹣2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值是88．
故答案为：88．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东坡区校级期末）已知圆C经过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A与圆C相切的直线方程．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
可得，解得．
∴圆C的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0；
（2）由（1）知圆心C（4，﹣3），半径r＝5，
当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k＝0，
由，解得，
∴直线方程为3x﹣4y+1＝0；
当直线的斜率不存在时，直线x＝1与圆不相切．
从而所求直线的方程为3x﹣4y+1＝0．
16．（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【解答】解：（1）由l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，即a（2x﹣y）﹣3x+y+1＝0，
则，解得，所以直线过定点（1，2）．
（2）因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1，
此时，直线l的方程可化为，记点A（1，2），则kOA＝2，
由图可得，解得，因此，实数a的取值范围是．
（3）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，且由题意知a≠1，
令x＝0，得，得a＞1，
令y＝0，得，得，则
则，当时，S取最小值，
此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0．
17．（2025春 东坡区期末）已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）．
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
【解答】解：设Q（x，y）
由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1 即 （x≠3）①
由已知得kPN＝﹣2，又PN‖MQ，可得kPN＝kMQ，即（x≠1）②
联立①②求解得x＝0，y＝1
∴Q（0，1）
（2）设Q（x，0）
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP
又∵kNQ，kNP＝﹣2
∴2 解得x＝1
∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），
∴MQ⊥x轴
故直线MQ的倾斜角为90°．
18．（2025春 长沙校级期末）在△ABC中，点C的坐标为（4，﹣1），BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y﹣1＝0，直线AC的倾斜角为．
（1）求点A的坐标；
（2）过点A的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．
【解答】解：（1）因为直线AC的倾斜角为，所以直线AC的斜率为﹣1，
又C的坐标为（4，﹣1），所以直线AC的方程为y+1＝﹣（x﹣4），即x+y﹣3＝0．
因为BC边上的中线经过点A，即A为直线AC与BC边中线的交点，
联立，解得x＝1，y＝2，
所以点A的坐标为（1，2）．
（2）依题意可设直线l的方程为（a＞0，b＞0），则．
因为a＞0，b＞0，所以，则ab≥8，
当且仅当2a＝b＝4时，等号成立，
所以△MON面积的最小值为Sab．
19．（2024秋 海门区期末）已知圆C经过点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A且与圆C相切的直线的方程；
（3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若|BD|＝8，求l的斜率．
【解答】解：（1）C经过点O（0，0），A（1，1），B（4，2）
可得线段OA的中点M（，），（1，1），所以线段OA的中垂线的方程为1 （x）+1 （y）＝0，即x+y﹣1＝0，
可得线段OB的中点N（2，1），（4，2），线段OB的中垂线的方程为4 （x﹣2）+2 （y﹣1）＝0，即2x+y﹣5＝0，
联立，可得x＝4，y＝﹣3，
即圆心C（4，﹣3），半径r＝|OC|5，
所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25；
（2）因为（3，﹣4），所以过点A的切线方程为3（x﹣1）﹣4（y﹣1）＝0，即3x﹣4y+1＝0；
（3）因为r＝5，设圆心到直线l的距离为d，
由弦长公式可得|BD|＝22，即8＝2，解得d＝3，
当过点B（4，2）的直线的斜率不存在时，则直线的方程为x＝4，此时弦长为圆的直径2r＝10，不符合条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+2＝0，
则圆心到直线的距离d3，解得k＝±，
即直线l的斜率为±．
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第二章直线与圆的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 双清区校级期末）圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与直线l：的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
2．（2024秋 河北期末）已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣10＝0被直线x﹣y+2＝0所截，则截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
3．（2025春 句容市期中）直线的倾斜角α为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 榆次区校级学业考试）若直线l：x+my+1＝0的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025春 望城区校级期末）已知点A是圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝5上一点，点B在直线l：3x﹣4y﹣8＝0上，则|AB|的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
6．（2025春 海南期末）已知点M是直线y＝x+1上一点，A（1，0），B（2，1），则|AM|+|BM|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025春 东坡区期末）已知点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣2），直线l过点P（1，2）且与线段AB有公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025春 广东期末）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间一定点，并且点A到l1的距离为2，到l2的距离为1，B为直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 宁城县期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限
C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
（多选）10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
（多选）11．（2025春 汨罗市校级期末）下列命题错误的是（ ）
A．两平行直线5x+12y+3＝0与10x+24y+5＝0之间的距离是
B．若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或
C．若点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，则直线与圆相离
D．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为1
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 东坡区校级期末）若直线x+ay+2＝0与直线ax+y+a﹣1＝0平行，则实数a＝ ．
13．（2025春 长沙校级期末）平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣1），B（0，3），P（1，a），N（1，a+1），当四边形PABN的周长最小时，△APN的外接圆的方程为 ．
14．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东坡区校级期末）已知圆C经过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A与圆C相切的直线方程．
16．（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
17．（2025春 东坡区期末）已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）．
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
18．（2025春 长沙校级期末）在△ABC中，点C的坐标为（4，﹣1），BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y﹣1＝0，直线AC的倾斜角为．
（1）求点A的坐标；
（2）过点A的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．
19．（2024秋 海门区期末）已知圆C经过点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A且与圆C相切的直线的方程；
（3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若|BD|＝8，求l的斜率．
第二章直线与圆的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C C D D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BD BC
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 双清区校级期末）圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与直线l：的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，可得圆的圆心C（1，1），半径为1，
圆心C到直线l：的距离d1，
所以圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与直线l：相切．
故选：A．
2．（2024秋 河北期末）已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣10＝0被直线x﹣y+2＝0所截，则截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：圆方程整理得：（x﹣1）2+（y+1）2＝12，
所以圆心为（1，﹣1），半径，
则圆心到直线x﹣y+2＝0的距离为，
所以弦长为．
故选：D．
3．（2025春 句容市期中）直线的倾斜角α为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：直线的斜率为，
则tanα，
直线的倾斜角α∈[0，π），
则α．
故选：D．
4．（2025 榆次区校级学业考试）若直线l：x+my+1＝0的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，，
解得．
故选：C．
5．（2025春 望城区校级期末）已知点A是圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝5上一点，点B在直线l：3x﹣4y﹣8＝0上，则|AB|的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
【解答】解：如图，
圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝5的圆心到直线l：3x﹣4y﹣8＝0的距离d．
∴|AB|的最小值为3．
故选：C．
6．（2025春 海南期末）已知点M是直线y＝x+1上一点，A（1，0），B（2，1），则|AM|+|BM|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A（1，0），B（2，1），
M为直线l：y＝x+1上的动点，
设点A关于直线y＝x+1的对称点A′（m，n），
则，
解得点A′（﹣1，2），
连接A′B，交直线l于点M，
则|AM|+|BM|的最小值为A′B．
故选：D．
7．（2025春 东坡区期末）已知点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣2），直线l过点P（1，2）且与线段AB有公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，
当直线l的倾斜角小于90°时，有k≥kPA，
当直线l的倾斜角大于90°时，有k≤kPB，
而kPA，kPB2，
∴直线l的斜率k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
故选：D．
8．（2025春 广东期末）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间一定点，并且点A到l1的距离为2，到l2的距离为1，B为直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
直线AC的斜率存在，设方程为：y＝kx，k≠0．
则直线AB的方程为：yx，
∴C（2，2k），B．
∴△ABC的面积S|AC| |AB|2，
当且仅当k＝±1时取等号．
∴△ABC的面积最小值为2．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 宁城县期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限
C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【解答】解：对于选项A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，
令得，，
所以直线恒过（1，﹣2），故A正确；
对于选项B，由AB＜0，BC＜0，则，
而直线可化为，所以直线不经过第四象限，故B正确；
对于选项C，若直线过原点时，直线l为，即l：3x﹣2y＝0，故C错误；
对于选项D，令原直线为ax+by+c＝0，根据平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，
所以ax+by+3a﹣2b+c＝0与ax+by+c＝0为同一直线，
所以3a﹣2b+c＝c，即，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：根据题意，可得圆的圆心C1（m，0），半径r1＝1．
圆的圆心C2（2，m），半径r2＝3，
因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝|r1﹣r2|，即，解得m＝0或2．
故选：BD．
（多选）11．（2025春 汨罗市校级期末）下列命题错误的是（ ）
A．两平行直线5x+12y+3＝0与10x+24y+5＝0之间的距离是
B．若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或
C．若点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，则直线与圆相离
D．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为1
【解答】解：对于A，直线5x+12y+3＝0即为10x+24y+6＝0，
由平行直线距离公式得两直线间距离为，故选项A正确；
对于B，如上图，直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，
∵，，
∴l的斜率k的取值范围是，故选项B错误；
对于C，∵点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，
∴R2，则R．
又∵圆x2+y2＝R2的圆心（0，0）到直线的距离为dR，
∴直线与圆相交，故选项C错误；
对于D，由题意，圆x2+y2＝1的半径r＝1，圆心为（0，0），
圆心到直线ax+by+c＝0的距离为，
∵3a2+3b2﹣4c2＝0，∴，则，
∴，
∴直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为，故选项D正确．
故选：BC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 东坡区校级期末）若直线x+ay+2＝0与直线ax+y+a﹣1＝0平行，则实数a＝ 1 ．
【解答】解：由两条直线平行的充要条件可得：1×1＝a2且1×（a﹣1）≠2a，解得a＝1，
所以实数a＝1．
故答案为：1．
13．（2025春 长沙校级期末）平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣1），B（0，3），P（1，a），N（1，a+1），当四边形PABN的周长最小时，△APN的外接圆的方程为 x2+y2+3x﹣3y﹣2＝0 ．
【解答】解：由于|AB|、|NP|为定值，四边形PABN的周长最小时也即|PA|+|BN|最小时．
设C（0，2），连PC，则|BN|＝|PC|，作C关于直线x＝1的对称点E（2，2），则|BN|＝|PC|＝|PE|，
于是|PA|+|BN|＝|PA|+|PE|≥|AE|，当且仅当A、P、E共线取等号，此时，
解得a＝1，此时 P（1，1），N（1，2），设△APN的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
于是，解得，故△APN的外接圆的方程为：x2+y2+3x﹣3y﹣2＝0．
14．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 88 ．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），
∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
＝（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b﹣6）2+（a﹣4）2+（b+2）2
＝3a2+3b2﹣4b+68，
∵点P在圆x2+y2＝4上运动，
∴a2+b2＝4，
a2＝4﹣b2≥0，
所以b2≤4，
∴﹣2≤b≤2．
把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68
＝12﹣3b2+3b2﹣4b+68
＝﹣4b+80，
∵﹣2≤b≤2，
所以当b＝﹣2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值是88．
故答案为：88．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东坡区校级期末）已知圆C经过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A与圆C相切的直线方程．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
可得，解得．
∴圆C的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0；
（2）由（1）知圆心C（4，﹣3），半径r＝5，
当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k＝0，
由，解得，
∴直线方程为3x﹣4y+1＝0；
当直线的斜率不存在时，直线x＝1与圆不相切．
从而所求直线的方程为3x﹣4y+1＝0．
16．（2025春 固始县校级期末）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1．
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【解答】解：（1）由l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，即a（2x﹣y）﹣3x+y+1＝0，
则，解得，所以直线过定点（1，2）．
（2）因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1，
此时，直线l的方程可化为，记点A（1，2），则kOA＝2，
由图可得，解得，因此，实数a的取值范围是．
（3）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1，且由题意知a≠1，
令x＝0，得，得a＞1，
令y＝0，得，得，则
则，当时，S取最小值，
此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0．
17．（2025春 东坡区期末）已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）．
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
【解答】解：设Q（x，y）
由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1 即 （x≠3）①
由已知得kPN＝﹣2，又PN‖MQ，可得kPN＝kMQ，即（x≠1）②
联立①②求解得x＝0，y＝1
∴Q（0，1）
（2）设Q（x，0）
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP
又∵kNQ，kNP＝﹣2
∴2 解得x＝1
∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），
∴MQ⊥x轴
故直线MQ的倾斜角为90°．
18．（2025春 长沙校级期末）在△ABC中，点C的坐标为（4，﹣1），BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y﹣1＝0，直线AC的倾斜角为．
（1）求点A的坐标；
（2）过点A的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．
【解答】解：（1）因为直线AC的倾斜角为，所以直线AC的斜率为﹣1，
又C的坐标为（4，﹣1），所以直线AC的方程为y+1＝﹣（x﹣4），即x+y﹣3＝0．
因为BC边上的中线经过点A，即A为直线AC与BC边中线的交点，
联立，解得x＝1，y＝2，
所以点A的坐标为（1，2）．
（2）依题意可设直线l的方程为（a＞0，b＞0），则．
因为a＞0，b＞0，所以，则ab≥8，
当且仅当2a＝b＝4时，等号成立，
所以△MON面积的最小值为Sab．
19．（2024秋 海门区期末）已知圆C经过点O（0，0），A（1，1），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点A且与圆C相切的直线的方程；
（3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若|BD|＝8，求l的斜率．
【解答】解：（1）C经过点O（0，0），A（1，1），B（4，2）
可得线段OA的中点M（，），（1，1），所以线段OA的中垂线的方程为1 （x）+1 （y）＝0，即x+y﹣1＝0，
可得线段OB的中点N（2，1），（4，2），线段OB的中垂线的方程为4 （x﹣2）+2 （y﹣1）＝0，即2x+y﹣5＝0，
联立，可得x＝4，y＝﹣3，
即圆心C（4，﹣3），半径r＝|OC|5，
所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25；
（2）因为（3，﹣4），所以过点A的切线方程为3（x﹣1）﹣4（y﹣1）＝0，即3x﹣4y+1＝0；
（3）因为r＝5，设圆心到直线l的距离为d，
由弦长公式可得|BD|＝22，即8＝2，解得d＝3，
当过点B（4，2）的直线的斜率不存在时，则直线的方程为x＝4，此时弦长为圆的直径2r＝10，不符合条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+2＝0，
则圆心到直线的距离d3，解得k＝±，
即直线l的斜率为±．
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