第三章圆锥曲线的方程检测卷（含解析）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程检测卷（含解析）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 497.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-14 20:40:25 | ||
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文档简介
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第三章圆锥曲线的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 新化县校级月考）抛物线y＝﹣5x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026春 江汉区月考）已知双曲线，则C的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
3．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．6x+6y﹣7＝0 B．6x﹣6y﹣1＝0
C．2x﹣6y﹣5＝0 D．12x﹣6y﹣5＝0
4．（2024秋 安徽期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得|PF1|＝7|PF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025 保山校级一模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．1
C． D．
6．（2025 临翔区校级模拟）已知双曲线E的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2025春 张掖月考）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：，且AB，AD斜率之积的范围为，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 清远期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点F到其渐近线的距离为，过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 揭阳月考）以两条直线5x±3y﹣2＝0为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
（多选）10．（2024秋 厦门校级期末）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
（多选）11．（2025春 望城区校级期末）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为，则（ ）
A．|BF|＝4
B．△ABF是等边三角形
C．△BDF的面积为
D．抛物线C的方程为y2＝4x
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 甘肃月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为的直线l交E于第一象限的点A，则△AF1F2外接圆的半径为 ．
13．（2025春 崂山区校级期中）已知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ．
14．（2025春 集宁区校级期中）已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则λ1+λ2＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 科左中旗校级期末）已知焦点位于x轴的抛物线C过点M（1，2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
16．（2024秋 南开区校级期末）设椭圆，且离心率为，过点P（4，0）的直线与椭圆交于A，B两点，当直线AB经过椭圆中心O时，|AB|＝4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知点T（1，1），直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若3S△CDT＝S△EFT，求直线AB的斜率．
17．（2024秋 杨浦区校级期末）已知过点的双曲线C的渐近线方程为．如图所示，过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C上的点Q（x0，y0）到其两条渐近线的距离分别为d1，d2，求d1d2的值；
（3）已知点，求证：∠AQF＝∠BQF．
18．（2025春 丽水月考）已知椭圆Γ的方程为，椭圆Γ的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）．
（1）若椭圆Γ的离心率为，求a的值；
（2）若a＝2，左顶点为A，求△APQ的面积的最大值．
19．（2025春 峨山县校级期末）已知直线l：y＝kx+b与圆O：x2+y2＝1相切．
（1）求k2﹣b2的值；
（2）已知椭圆E：在点P（x0，y0）处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的二次曲线F：λx2+μy2＝1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON？若存在，求出λ+μ的值；若不存在，请说明理由．
第三章圆锥曲线的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C D A A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD CD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 新化县校级月考）抛物线y＝﹣5x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可得抛物线方程为：，
2p，且开口向下，
所以抛物线y＝﹣5x2的准线方程为．
故选：A．
2．（2026春 江汉区月考）已知双曲线，则C的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【解答】解：双曲线，
a2＝4，b2＝36，∴，
∴右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为y＝3x，
∴右焦点到其渐近线的距离为．
故选：B．
3．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．6x+6y﹣7＝0 B．6x﹣6y﹣1＝0
C．2x﹣6y﹣5＝0 D．12x﹣6y﹣5＝0
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，
显然直线l不垂直于y，设直线l的方程为，
由，
消去x得，
由弦AB的中点为，
得，
此时方程有两个不等实根，
所以直线l的方程为，
即直线l的方程为12x﹣6y﹣5＝0．
故选：D．
4．（2024秋 安徽期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得|PF1|＝7|PF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a，又|PF1|＝7|PF2|，所以，
又a﹣c≤|PF1|≤a+c，a﹣c≤|PF2|≤a+c，
所以a≤a+c，且a﹣ca，所以，即，
即椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C．
5．（2025 保山校级一模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．1
C． D．
【解答】解：根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为，
则过F2（c，0）且垂直渐近线的直线方程为，
联立，可得P（，），
∴|PF2|b＝2，又F1（﹣c，0），
∴，∴，
∴，∴a，又b＝2，
∴双曲线的方程为．
故选：D．
6．（2025 临翔区校级模拟）已知双曲线E的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：令点F（c，0），双曲线E 的渐近线方程为，
由对称性不妨取直线AB：bx﹣ay＝0，取AB中点C，连接FC，则FC⊥AB，
，而，
由，得|OC|＝|AB|＝2b，在Rt△OCF中，c2＝（2b）2+b2＝5b2，
则a2＝c2﹣b2＝4b2，解得，
所以双曲线 E的离心率．
故选：A．
7．（2025春 张掖月考）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：，且AB，AD斜率之积的范围为，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：，
且AB，AD斜率之积的范围为，
则A，C和B，D均关于原点对称，令B（m，n），则D（﹣m，﹣n），
若A（x，y），则，
所以椭圆Ω离心率．
故选：A．
8．（2024秋 清远期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点F到其渐近线的距离为，过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：∵双曲线C：的离心率为，右焦点F到其渐近线的距离为，
∴由题知，解得，
∴双曲线C：，∴F（3，0），
依题意可设PQ：x＝my+3，
代入双曲线C：，消去x，整理得（m2﹣2）y2+6my+3＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1＞y2，
则，又M（，），N（2，），
∴k1﹣k2，
∵S|OF| （y1﹣y2）（y1﹣y2），
∴．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 揭阳月考）以两条直线5x±3y﹣2＝0为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据渐近线方程5x±3y﹣2＝0可得，双曲线的渐近线斜率为．
根据双曲线渐近线方程的性质可得或．
①当时，，
∴，则
②当时，，
∴，则，
∴以两条直线5x±3y﹣2＝0为渐近线的双曲线的离心率可以是或．
故选：BD．
（多选）10．（2024秋 厦门校级期末）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
【解答】解：∵曲线C：为双曲线，
∴m＞0，且a，b，则双曲线C的实轴长为2，故A错误；
取双曲线一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y，即bx﹣ay＝0，
则双曲线C的焦点到渐近线的距离为，故B错误；
若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则2+m＝4，得m＝2，故C正确；
若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则，即m＝2，故D正确．
故选：CD．
（多选）11．（2025春 望城区校级期末）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为，则（ ）
A．|BF|＝4
B．△ABF是等边三角形
C．△BDF的面积为
D．抛物线C的方程为y2＝4x
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
设准线l与x轴交于点M，如图，
抛物线定义知|AB|＝|AF|，又|BF|＝|AF|，所以△ABF为正三角形，故B正确；
由△ABF面积为知△ABF边长|BF|＝4，故A正确；
则由直角三角形MBF可得p＝2|OF|＝|MF|＝4cos60°＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x，故D正确；
△BDF面积为，故C错误．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 甘肃月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为的直线l交E于第一象限的点A，则△AF1F2外接圆的半径为 ．
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为的直线l交E于第一象限的点A，
因为∠AF1F2∈（0，π），且，
解得，，
又，
设|AF2|＝t，则|AF1|＝6﹣t，
由余弦定理知，
即，
解得t＝2，
即|AF2|＝2，|AF1|＝4，
则易知AF2⊥l，
故，
即△AF1F2的外接圆半径为．
故答案为：．
13．（2025春 崂山区校级期中）已知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线交于A，B两点，则|AB|的最小值为 5 ．
【解答】解：在双曲线C：中，a2＝4，b2＝5，则，所以右焦点坐标为（3，0），
当直线l垂直于x轴时，直线l与双曲线的交点A、B的横坐标都为3，
将x＝3代入双曲线方程，可得，解得，
此时；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），
将y＝k（x﹣3）代入双曲线方程，整理可得（5﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣20＝0，
Δ＝（24k2）2﹣4×（5﹣4k2）×（﹣36k2﹣20）＝400k2+400＞0，
由韦达定理可知，，
则|AB|
|5|＞5，
所以|AB|的最小值为5．
故答案为：5．
14．（2025春 集宁区校级期中）已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则λ1+λ2＝ ﹣1 ．
【解答】解：由抛物线的方程为y2＝4x，
得F（1，0），
由题意可得直线MN的斜率存在且不等于零，
则可设直线MN的方程为x＝my+1（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，
消x得y2﹣4my﹣4＝0，
则Δ＝16m2+16＞0恒成立，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
故，
由直线x＝my+1（m≠0），
令x＝0，
得，
则，
由，
得，
所以x1＝λ1（1﹣x1），
所以，
由，
得，
所以x2＝λ2（1﹣x2），
所以，
所以
．
故答案为：﹣1．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 科左中旗校级期末）已知焦点位于x轴的抛物线C过点M（1，2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线C的焦点位于x轴正半轴，
设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），
因为抛物线C过点M（1，2），
所以2p＝4，解得p＝2，
故抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝﹣1．
（2）由（1）知，抛物线C的焦点为F（1，0），
因为直线AB的倾斜角为60°，且过抛物线C的焦点F，
所以直线AB的方程为，
由，得3x2﹣10x+3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
所以．
16．（2024秋 南开区校级期末）设椭圆，且离心率为，过点P（4，0）的直线与椭圆交于A，B两点，当直线AB经过椭圆中心O时，|AB|＝4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知点T（1，1），直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若3S△CDT＝S△EFT，求直线AB的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）当直线AB经过椭圆中心O时，可知|AB|＝2a＝4，所以a＝2，
又因为离心率，因此，所以b2＝a2﹣c2＝1，
因此椭圆方程；
（Ⅱ）①当直线AB的方程为y＝0时，易知B（2，0），A（﹣2，0）；
直线BT的方程为y＝﹣x+2，因此D（0，2）；
直线AT的方程为，因此；
此时点点F与点B重合，E与点A重合，易知3S△CDT＝S△EFT；
②设直线AB为x＝my+4，B（x2，y2），A（x1，y1），
所以，
根的判别式Δ＝64m2﹣48（m2+4）＞0，解得m2﹣12＞0，
所以或，且；
所以根据韦达定理可得，，
所以，，
所以3S△CDT＝S△EFT 3CD＝EF 3|yC﹣yD|＝|xE﹣xF|
直线，直线，
令y＝0，，，
令x＝0，，，
所以
所以|x1x2﹣（x1+x2）+1|＝3|y1y2﹣（y1+y2）+1|，
所以|﹣4m2+64﹣32+m2+4|＝3|12+8m+m2+4|，
即|﹣3m2+36|＝3|m2+8m+16|．
所以24m+84＝0，解得，斜率为；
综上所述，直线AB的斜率为0或．
17．（2024秋 杨浦区校级期末）已知过点的双曲线C的渐近线方程为．如图所示，过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C上的点Q（x0，y0）到其两条渐近线的距离分别为d1，d2，求d1d2的值；
（3）已知点，求证：∠AQF＝∠BQF．
【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为x2﹣3y2＝λ（λ≠0），
又双曲线过点，
则λ＝9﹣3×2＝3，所以双曲线的方程为x2﹣3y2＝3，
即．
（2）因为Q（x0，y0）在曲线上，
则，
渐近线方程：，
所以．
（3）证明：由（1）可知F（2，0），l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k（x﹣2），
联立，消去y得（1﹣3k2）x2+12k2x﹣12k2﹣3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得，
则，
所以
，
所以kAQ＝﹣kBQ，∠AQF＝∠BQF得证．
18．（2025春 丽水月考）已知椭圆Γ的方程为，椭圆Γ的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）．
（1）若椭圆Γ的离心率为，求a的值；
（2）若a＝2，左顶点为A，求△APQ的面积的最大值．
【解答】解：（1）因为椭圆Γ的离心率为，
因此，
解得．
（2）a＝2时，c2＝a2﹣1＝3，故，因此，，
P、Q均不在x轴上，故直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立与得，
因Δ＝12m2+4（m2+4）＝16m2+16＞0，
由韦达定理，，，
因此，
代入，，原式得，
又，故△APQ的面积，
而，
当且仅当，即m2＝2时等号成立，
因此△APQ的面积的最大值为．
19．（2025春 峨山县校级期末）已知直线l：y＝kx+b与圆O：x2+y2＝1相切．
（1）求k2﹣b2的值；
（2）已知椭圆E：在点P（x0，y0）处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的二次曲线F：λx2+μy2＝1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON？若存在，求出λ+μ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为直线l与圆O相切，
所以圆心O到直线l的距离，
则k2﹣b2＝﹣1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
可得椭圆E在点A（x1，y1）处的切线AQ方程为，
因为点Q（x0，y0）在切线AQ上，
所以，①
同理得，②
由①②得A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线上，
所以直线AB方程为，③
因为圆O与直线AB相切，
所以点O到直线AB的距离，
所以，
因为点Q（x0，y0）具有任意性，
则点Q的轨迹方程为；
（3）假设存在曲线F满足条件，设M（x3，y3），N（x4，y4），
联立，消去y并整理得（λ+μk2）x2+2kbμy+μb2﹣1＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得．
因为OM⊥ON，
所以
恒成立．
故所以存在曲线F，且λ+μ＝1．
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第三章圆锥曲线的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 新化县校级月考）抛物线y＝﹣5x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026春 江汉区月考）已知双曲线，则C的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
3．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．6x+6y﹣7＝0 B．6x﹣6y﹣1＝0
C．2x﹣6y﹣5＝0 D．12x﹣6y﹣5＝0
4．（2024秋 安徽期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得|PF1|＝7|PF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025 保山校级一模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．1
C． D．
6．（2025 临翔区校级模拟）已知双曲线E的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2025春 张掖月考）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：，且AB，AD斜率之积的范围为，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 清远期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点F到其渐近线的距离为，过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 揭阳月考）以两条直线5x±3y﹣2＝0为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
（多选）10．（2024秋 厦门校级期末）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
（多选）11．（2025春 望城区校级期末）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为，则（ ）
A．|BF|＝4
B．△ABF是等边三角形
C．△BDF的面积为
D．抛物线C的方程为y2＝4x
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 甘肃月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为的直线l交E于第一象限的点A，则△AF1F2外接圆的半径为 ．
13．（2025春 崂山区校级期中）已知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ．
14．（2025春 集宁区校级期中）已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则λ1+λ2＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 科左中旗校级期末）已知焦点位于x轴的抛物线C过点M（1，2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
16．（2024秋 南开区校级期末）设椭圆，且离心率为，过点P（4，0）的直线与椭圆交于A，B两点，当直线AB经过椭圆中心O时，|AB|＝4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知点T（1，1），直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若3S△CDT＝S△EFT，求直线AB的斜率．
17．（2024秋 杨浦区校级期末）已知过点的双曲线C的渐近线方程为．如图所示，过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C上的点Q（x0，y0）到其两条渐近线的距离分别为d1，d2，求d1d2的值；
（3）已知点，求证：∠AQF＝∠BQF．
18．（2025春 丽水月考）已知椭圆Γ的方程为，椭圆Γ的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）．
（1）若椭圆Γ的离心率为，求a的值；
（2）若a＝2，左顶点为A，求△APQ的面积的最大值．
19．（2025春 峨山县校级期末）已知直线l：y＝kx+b与圆O：x2+y2＝1相切．
（1）求k2﹣b2的值；
（2）已知椭圆E：在点P（x0，y0）处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的二次曲线F：λx2+μy2＝1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON？若存在，求出λ+μ的值；若不存在，请说明理由．
第三章圆锥曲线的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C D A A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD CD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 新化县校级月考）抛物线y＝﹣5x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可得抛物线方程为：，
2p，且开口向下，
所以抛物线y＝﹣5x2的准线方程为．
故选：A．
2．（2026春 江汉区月考）已知双曲线，则C的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【解答】解：双曲线，
a2＝4，b2＝36，∴，
∴右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为y＝3x，
∴右焦点到其渐近线的距离为．
故选：B．
3．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．6x+6y﹣7＝0 B．6x﹣6y﹣1＝0
C．2x﹣6y﹣5＝0 D．12x﹣6y﹣5＝0
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，
显然直线l不垂直于y，设直线l的方程为，
由，
消去x得，
由弦AB的中点为，
得，
此时方程有两个不等实根，
所以直线l的方程为，
即直线l的方程为12x﹣6y﹣5＝0．
故选：D．
4．（2024秋 安徽期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得|PF1|＝7|PF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a，又|PF1|＝7|PF2|，所以，
又a﹣c≤|PF1|≤a+c，a﹣c≤|PF2|≤a+c，
所以a≤a+c，且a﹣ca，所以，即，
即椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C．
5．（2025 保山校级一模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．1
C． D．
【解答】解：根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为，
则过F2（c，0）且垂直渐近线的直线方程为，
联立，可得P（，），
∴|PF2|b＝2，又F1（﹣c，0），
∴，∴，
∴，∴a，又b＝2，
∴双曲线的方程为．
故选：D．
6．（2025 临翔区校级模拟）已知双曲线E的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：令点F（c，0），双曲线E 的渐近线方程为，
由对称性不妨取直线AB：bx﹣ay＝0，取AB中点C，连接FC，则FC⊥AB，
，而，
由，得|OC|＝|AB|＝2b，在Rt△OCF中，c2＝（2b）2+b2＝5b2，
则a2＝c2﹣b2＝4b2，解得，
所以双曲线 E的离心率．
故选：A．
7．（2025春 张掖月考）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：，且AB，AD斜率之积的范围为，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：，
且AB，AD斜率之积的范围为，
则A，C和B，D均关于原点对称，令B（m，n），则D（﹣m，﹣n），
若A（x，y），则，
所以椭圆Ω离心率．
故选：A．
8．（2024秋 清远期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点F到其渐近线的距离为，过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：∵双曲线C：的离心率为，右焦点F到其渐近线的距离为，
∴由题知，解得，
∴双曲线C：，∴F（3，0），
依题意可设PQ：x＝my+3，
代入双曲线C：，消去x，整理得（m2﹣2）y2+6my+3＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1＞y2，
则，又M（，），N（2，），
∴k1﹣k2，
∵S|OF| （y1﹣y2）（y1﹣y2），
∴．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 揭阳月考）以两条直线5x±3y﹣2＝0为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据渐近线方程5x±3y﹣2＝0可得，双曲线的渐近线斜率为．
根据双曲线渐近线方程的性质可得或．
①当时，，
∴，则
②当时，，
∴，则，
∴以两条直线5x±3y﹣2＝0为渐近线的双曲线的离心率可以是或．
故选：BD．
（多选）10．（2024秋 厦门校级期末）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
C．若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
【解答】解：∵曲线C：为双曲线，
∴m＞0，且a，b，则双曲线C的实轴长为2，故A错误；
取双曲线一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y，即bx﹣ay＝0，
则双曲线C的焦点到渐近线的距离为，故B错误；
若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则2+m＝4，得m＝2，故C正确；
若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则，即m＝2，故D正确．
故选：CD．
（多选）11．（2025春 望城区校级期末）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为，则（ ）
A．|BF|＝4
B．△ABF是等边三角形
C．△BDF的面积为
D．抛物线C的方程为y2＝4x
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
设准线l与x轴交于点M，如图，
抛物线定义知|AB|＝|AF|，又|BF|＝|AF|，所以△ABF为正三角形，故B正确；
由△ABF面积为知△ABF边长|BF|＝4，故A正确；
则由直角三角形MBF可得p＝2|OF|＝|MF|＝4cos60°＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x，故D正确；
△BDF面积为，故C错误．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 甘肃月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为的直线l交E于第一象限的点A，则△AF1F2外接圆的半径为 ．
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为的直线l交E于第一象限的点A，
因为∠AF1F2∈（0，π），且，
解得，，
又，
设|AF2|＝t，则|AF1|＝6﹣t，
由余弦定理知，
即，
解得t＝2，
即|AF2|＝2，|AF1|＝4，
则易知AF2⊥l，
故，
即△AF1F2的外接圆半径为．
故答案为：．
13．（2025春 崂山区校级期中）已知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线交于A，B两点，则|AB|的最小值为 5 ．
【解答】解：在双曲线C：中，a2＝4，b2＝5，则，所以右焦点坐标为（3，0），
当直线l垂直于x轴时，直线l与双曲线的交点A、B的横坐标都为3，
将x＝3代入双曲线方程，可得，解得，
此时；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），
将y＝k（x﹣3）代入双曲线方程，整理可得（5﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣20＝0，
Δ＝（24k2）2﹣4×（5﹣4k2）×（﹣36k2﹣20）＝400k2+400＞0，
由韦达定理可知，，
则|AB|
|5|＞5，
所以|AB|的最小值为5．
故答案为：5．
14．（2025春 集宁区校级期中）已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则λ1+λ2＝ ﹣1 ．
【解答】解：由抛物线的方程为y2＝4x，
得F（1，0），
由题意可得直线MN的斜率存在且不等于零，
则可设直线MN的方程为x＝my+1（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，
消x得y2﹣4my﹣4＝0，
则Δ＝16m2+16＞0恒成立，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
故，
由直线x＝my+1（m≠0），
令x＝0，
得，
则，
由，
得，
所以x1＝λ1（1﹣x1），
所以，
由，
得，
所以x2＝λ2（1﹣x2），
所以，
所以
．
故答案为：﹣1．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 科左中旗校级期末）已知焦点位于x轴的抛物线C过点M（1，2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线C的焦点位于x轴正半轴，
设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），
因为抛物线C过点M（1，2），
所以2p＝4，解得p＝2，
故抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝﹣1．
（2）由（1）知，抛物线C的焦点为F（1，0），
因为直线AB的倾斜角为60°，且过抛物线C的焦点F，
所以直线AB的方程为，
由，得3x2﹣10x+3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
所以．
16．（2024秋 南开区校级期末）设椭圆，且离心率为，过点P（4，0）的直线与椭圆交于A，B两点，当直线AB经过椭圆中心O时，|AB|＝4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知点T（1，1），直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若3S△CDT＝S△EFT，求直线AB的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）当直线AB经过椭圆中心O时，可知|AB|＝2a＝4，所以a＝2，
又因为离心率，因此，所以b2＝a2﹣c2＝1，
因此椭圆方程；
（Ⅱ）①当直线AB的方程为y＝0时，易知B（2，0），A（﹣2，0）；
直线BT的方程为y＝﹣x+2，因此D（0，2）；
直线AT的方程为，因此；
此时点点F与点B重合，E与点A重合，易知3S△CDT＝S△EFT；
②设直线AB为x＝my+4，B（x2，y2），A（x1，y1），
所以，
根的判别式Δ＝64m2﹣48（m2+4）＞0，解得m2﹣12＞0，
所以或，且；
所以根据韦达定理可得，，
所以，，
所以3S△CDT＝S△EFT 3CD＝EF 3|yC﹣yD|＝|xE﹣xF|
直线，直线，
令y＝0，，，
令x＝0，，，
所以
所以|x1x2﹣（x1+x2）+1|＝3|y1y2﹣（y1+y2）+1|，
所以|﹣4m2+64﹣32+m2+4|＝3|12+8m+m2+4|，
即|﹣3m2+36|＝3|m2+8m+16|．
所以24m+84＝0，解得，斜率为；
综上所述，直线AB的斜率为0或．
17．（2024秋 杨浦区校级期末）已知过点的双曲线C的渐近线方程为．如图所示，过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C上的点Q（x0，y0）到其两条渐近线的距离分别为d1，d2，求d1d2的值；
（3）已知点，求证：∠AQF＝∠BQF．
【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为x2﹣3y2＝λ（λ≠0），
又双曲线过点，
则λ＝9﹣3×2＝3，所以双曲线的方程为x2﹣3y2＝3，
即．
（2）因为Q（x0，y0）在曲线上，
则，
渐近线方程：，
所以．
（3）证明：由（1）可知F（2，0），l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k（x﹣2），
联立，消去y得（1﹣3k2）x2+12k2x﹣12k2﹣3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得，
则，
所以
，
所以kAQ＝﹣kBQ，∠AQF＝∠BQF得证．
18．（2025春 丽水月考）已知椭圆Γ的方程为，椭圆Γ的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）．
（1）若椭圆Γ的离心率为，求a的值；
（2）若a＝2，左顶点为A，求△APQ的面积的最大值．
【解答】解：（1）因为椭圆Γ的离心率为，
因此，
解得．
（2）a＝2时，c2＝a2﹣1＝3，故，因此，，
P、Q均不在x轴上，故直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立与得，
因Δ＝12m2+4（m2+4）＝16m2+16＞0，
由韦达定理，，，
因此，
代入，，原式得，
又，故△APQ的面积，
而，
当且仅当，即m2＝2时等号成立，
因此△APQ的面积的最大值为．
19．（2025春 峨山县校级期末）已知直线l：y＝kx+b与圆O：x2+y2＝1相切．
（1）求k2﹣b2的值；
（2）已知椭圆E：在点P（x0，y0）处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的二次曲线F：λx2+μy2＝1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON？若存在，求出λ+μ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为直线l与圆O相切，
所以圆心O到直线l的距离，
则k2﹣b2＝﹣1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
可得椭圆E在点A（x1，y1）处的切线AQ方程为，
因为点Q（x0，y0）在切线AQ上，
所以，①
同理得，②
由①②得A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线上，
所以直线AB方程为，③
因为圆O与直线AB相切，
所以点O到直线AB的距离，
所以，
因为点Q（x0，y0）具有任意性，
则点Q的轨迹方程为；
（3）假设存在曲线F满足条件，设M（x3，y3），N（x4，y4），
联立，消去y并整理得（λ+μk2）x2+2kbμy+μb2﹣1＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得．
因为OM⊥ON，
所以
恒成立．
故所以存在曲线F，且λ+μ＝1．
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