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北师大版（2024）第四章《一次函数》4.1函数教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 函数 课时 1
课标要求 通过表格、图像、关系式研究变量之间的关系，理解函数的概念，把握两个核心要素（变化过程与对应关系）；初步体会数形结合思想；初步运用函数的概念来刻画和解决现实世界中的简单问题；体会数学从静态的常量研究到动态的变量过渡，初步形成运动变化、相互联系的辩证唯物主义观点。
教材分析 《函数》是初中阶段数学学习的一个重要内容，它是研究现实世界变化规律的一个重要模型。在七年级上册设计了“字母表示数”，其中一个重要目标，就是结合具体情境列出相应的代数式，实质上已经渗透了初步的函数思想，在七年级下册设计了“变量之间的关系”一章，而本章继续通过对变量间关系的考察，让学生初步体会函数的概念，明确变量之间的这种关系就是函数。使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力，这对后面的“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”的学习起了奠基作用。
学情分析 本节课是学生在七年级学习《变量》后第一次接触“函数” 概念，虽然学生在生活和以往的学习经历中已积累了一些关于变量与函数的直观体验和关于变化的认识，但是作为数学概念来学习，就是要在这些经验的基础上进行加工和抽象，这对八年级学生来说是有一定难度的，因此在教学中我设计几个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，操作，并利用多媒体演示，激发学生探究知识的欲望，逐步归纳出函数的概念，并培养学生能把实际问题概括为函数问题，使学生在数学学习中逐渐形成理性思维和逻辑思维。
核心素养目标 （1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。
教学重点 判断两个变量是否为函数关系。
教学难点 实际问题抽象为函数问题。
教学准备 预习单和相应课件，
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、变量之间的关系表现形式;图像、表格、关系式.2、如何区分自变量和因变量.在关系式式中能够影响其他变量的一个变量叫做自变量。受到自变量变化影响而变化的是因变量。两者是因果关系,自变量是因,因变量是果.3、自变量的取值范围；(1)有分母,分母不能为零.(2)开偶数次方,被开方数是非负数.(3)零次幂,底数不能为零.(4)是实际问题,要使实际问题有意义.4、求下列式子中自变量的取值（1）y=x （ x取所有实数） （ x不等于0） （x大于等于0） （4），速度40千米/时，汽车行驶的路程y和时间t，y=40t （x为非负数） 回顾知识， 设计七年级学过的几个问题，为新授奠定基础。
二、探究 探究1：函数的定义问题1：想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.根据左图填表：T/分012345H/米31017453710（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗【确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。】问题二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？（1）填写下表层数123456根数136101521（2）对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？【确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。】问题三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.填写下表摄氏温度t(℃)-43-27018热力学温度T(K)230264273291（2）对于给定一个t(℃)大于-273(℃)，相应的T(K)确定吗？【确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。】二、合作探究 归纳定义上面的三个问题中，有什么共同特点？①时间 t 、相应的高度 h ；②层数n、物体总数y；③摄氏温度t 、热力学温度T.共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.，y是因变量。【强调】函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.1、判断下列各式哪些是函数？y=2x+3 [是函数]; x=5 [不是函数] [是函数]; [是函数]; 5+2 [不是函数] xy=6 [是函数]; 探究2 函数值T(K)与 t(℃)的函数关系： T= t+273 （T≥ 0）当t=1时，T=t+273=1+273=274（K）.那么，274就是当t=1时的函数值.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。小组合作，探究小结，抽象出函数的定义 通过问题1分享乘坐感受，体验摩天轮上一点离地面高度的变化与时间的变化关系通过问题2对罐子叠放规律的探究，从填写的表格数据中发现层数与物体总数之间的具体变化关系，能在有限数量的推理中得出用字母表示规律。通过问题三的探究明确一个自变量的值对应一个因变量的值，为总结函数定义做铺垫。安排一个例题巩固，巩固函数的定义。
四、典例精析 例1 下列关于变量x ，y 的关系式：① y =2x+3；② ；③y =2|X|；④ ；⑤，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．解析：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.①②③，当X确定，Y有唯一的一个值随之确定，所以①②③是函数。而④给定一个x值,Y有两个值与之对应，故④不是函数。而⑤给定一个x值,Y有两个值与之对应，故⑤不是函数。 自学例题 通过例题的学习，加深对函数概念的认识和掌握。
五、课堂练习 基础达标：1.下列各表达式不能表示y是x的函数的是( C )A．y＝3x2 B．y＝ C．y＝±(x>0) D．y＝3x＋12．下列各线中，表示y不是x的函数的是( C )3．下列变量间的关系不是函数关系的是( C )A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边的长与面积 D．圆的周长与半径4. 函数y＝＋的自变量x的取值范围是( B )A．x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤35．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为( B )A. B． C． D．6.如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答在这一天中：(1) 16 时气温最高， 4 时气温最低，最高气温是 10℃ ，最低气温是 -4℃ ；(2) 20时的气温是 8℃ ；(3) 10 时的气温是6℃；(4) 0 ～4和16～ 24 时间内，气温不断下降；(5) 12～14 时间内，气温持续不变．7. 如图所示，某同学在玩火柴拼图游戏时，拼出下面一列图形，其中第n个图形是由n个正方形组成的．通过观察分析填写下表．图形序号n12345…第n个图形火柴根数y47101316…这个问题中有 两 个变量，可以将其中的变量 y 看成变量 n 的函数．能力提升：甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图像如图，请你根据图像判断，下列说法正确的是( C )A.乙队率先到达终点 B.甲队比乙队多走了126米C.在47.8秒时，两队所走路程相等 D.从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢。拓展迁移：9．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1) 玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2) 她何时开始第一次休息？休息了多长时间？(3) 她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？(4) 玲玲全程骑车的平均速度是多少？解：观察图象可知：(1)玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米； (2)10点半时开始第一次休息，休息了半小时； (3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9～10时，速度为10÷(10－9)＝10(千米/小时)；10～10.5时，速度约为(17.5－10)÷(10.5－10)＝15(千米/小时)；10.5～11时，速度为0；11～12时，速度约为(30－17.5)÷(12－11)＝12.5(千米/小时)；12～13时，速度为0；13～15时，在返回的途中，速度为：30÷(15－13)＝15(千米/小时)；可见骑行速度最快有两段时间：10～10.5时和13～15时．两段时间内的速度都是15千米/小时； (4)玲玲全程骑车的平均速度为：(30＋30)÷(15－9)＝10(千米/小时)． 完成课堂作业。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、函数定义：自变量、因变量、常量.2、函数的关系式：三种表示方法.3、自变量的取值范围.4、函数值.【强调】函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 小组交流本节课学会了什么？ 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，η和t都是 变量 (填变量或常量).2. 函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 .3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠－3 4．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：x－101y－113则y与x之间的函数关系式可能是( A )A．y＝2x＋1 B．y＝x C．y＝x2＋x＋1 D．Y=5．小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上公交车，公交车沿着公路匀速行驶了一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是( C )6．一辆汽车从甲地以50km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( D )A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3)C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)能力提升：7.小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( D )8. 万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间(卸货、装货、加燃料等)，又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为x(小时)，轮船距万州的距离为y(千米)，则下列各图中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是( C )拓展迁移：9.在一昼夜中正常人的体温是随时间变化而变化的，如图所示是某人一昼夜体温变化的图象．根据图象回答下列问题：(1)这个人的最高体温和最低体温分别是多少摄氏度？在什么时刻达到最高或最低？(2)若用x表示时间(时)，y表示体温(℃)，将相应数据填入下表：x/时2481216182022y/℃(3)y是x的函数吗？ 解：(1)18时达到最高，最高为37.5℃，0时达到最低，约为35,3℃.(2)表格中依次填入35.5；36；37；36.5；37；37.5；37；36.5(3)y是x的函数．
教学反思
定义：自变量、因变量、常量
函数的关系式：三种表示方法
函数
自变量的取值范围
函数值
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第四章
课标要求 1、结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数的表达式。2、会画一次函数的图像，根据图像和解析式探索其图像的性质及图像的变化规律。3、理解正比例函数、一次函数的性质，根据函数的图像和解析式解决实际问题
内容分析 函数学习是中学数学中占据重要地位，既是教学的重点，也是教学的难点。本章学生第一次接触函数，是后续学习反比例函数、二次函数的基础。对函数的概念和函数的图像贯穿整个函数的教学中，随着函数的学习二不断加深认识，同时函数概念中体现变化与对应的思想、数形结合思想决定了函数学习是否顺利的关键。一次函数是学生接触的第一类函数，利用函数图像归纳函数性质，利用函数性质和图像来解决问题，这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。
学情分析 学习一次函数，意味着从常量数学进入变量数学的学习。学生的思维要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是数学认识的一次飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单的问题，往往能根据课堂学习的概念知识，画出相应的函数图像来解决，看不出学生对一次函数的理解程度。随着时间的推移，随着问题情景的复杂化，它们就会表现出对一次函数的理解深度不够。停留在感性认识多些，理性认识少些；对一次函数解析式直接应用多些，对解析式与图像的内在联系运用薄弱。学生在学习过程中遇到困难主要有：复杂问题情景化转移到一次函数图像；结合题意理解一次函数所表达的信息；结合题意将图像信息转移到数量关系。因此，本单元教学应注意数形结合，需要多练、多问、多总结。
单元目标 教学目标1、经历具体问题抽象出函数和一次函数的概念，体会函数的建模思想。进一步发展学生的思维能力。学生经历一次函数图像和性质的探究过程，在合作与交流的活动中发展合作意识和能力。2、了解函数的概念，理解一次函数的图像性质，体会函数与方程的关系，会结合具体情景确定一次函数的表达式，会画一次函数写图像，并运用图像的性质来解决实际问题。3、经历一次函数图像解决实际问题，发展学生运用数学的能力和形象思维能力。4、经历画一次函数的图像和运用图像性质解决实际问题的过程，体会数形结合的思想。（二）教学重点、难点了解函数的概念，会求函数值。2、理解正比例函数、一次函数的概念，确定实际问题中的函数解析式。3、会画一次函数的图像4、根据一次函数的性质和图像解决实际问题，
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1函数14.2认识一次函数（1）14.3认识一次函数（2）14.4一次函数的图像（1）14.5一次函数的图像（2）14.6一次函数的运用（1）14.7一次函数的运用（2）14.8一次函数的运用（3）14.9回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务函数（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。1、回顾知识；2、学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。3、小组合作，探究小结，抽象出函数的定义，4、自学例题。5、完成课堂作业。6、小组交流本节课收获。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结认识一次函数（1）（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。1、回顾知识2、思考问题3、学生独立思考 计算、填表作图初步认识一次函数中自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）这变化规律。4、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。5、自学课本例题6、学生完成课堂练习。7、引导学生对本课学到知识进行课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂作业环节六：课堂总结认识一次函数（2）1、结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；2、掌握求函数值的的方法，初步体会一次函数与一次方程的联系。3、让学生体会数学来源于实践，反过来又指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想。1、知识回顾2、完成课前检测题3、自学例题1，根据现实生活中的实例写出一次函数的解析式。4、独立完成做一做。5、自学例题2根据自变量的取值范围，确定函数值。6、小组交流讨论议一议.7.学生完成课堂作业。8.引导学生对本节课所学内容进行总结。环节一：知识链接环节二：课前检测环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（1）1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.1、回顾小学知识。2、从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。3、学生画正比例函数（k>0)图像4、小组讨论得出正比例（k>0)图像性质，5、学生画正比例函数（K<0)图像6、小组讨论得出正比例（K<0)图像性质7、利用两点法画正比例函数图像。8、总结正比例函数图像的性质。9、学生完成课堂练习。10、引导学生对本课知识进行小结。环节一：小初链接环节二：情境导入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（2）1.在认识一次函数图像的基础上，掌握一次函数的图像及简单的性质：2.通过自己动手操作类比正比例函数的性质发现一次函数图象变化规律，学会解决一次函数问题的一些基本方法；3.在探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想。1、复习正比例函数的图像和性质.2、回顾正比例函数作图的步骤.3、列表、描点、连线画y=－2x, y=－2x+3, y=－2x-3的图像，4、交流讨论y=kx+b(k＜0）函数图像的性质。5、列表、描点、连线画y=x, y=x+4,y=x-4的图像，6、交流讨论y=kx+b(k＞0）函数图像的性质。7、列表、描点、连线画y=x+1，y=-x+1，y=2x+1,y=-2x+1的图像，8、交流讨论y=kx+b函数图像的性质。9、交流讨论参数K和b对函数图像的影响.10、完成课堂练习.引导学生总结y=kx+b函数图像的性质，根据图像说性质。环节一：复习回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（1）1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。1、回顾一次函数的作图方法。2、回顾一次函数的性质.3、明确学习内容。4、学生自学问题一。试着完成问题二、三。5、小组讨论确定正比例函数、一次函数表达式的确定只需要几个个条件。6、理解待定系数法求表达式的一般步骤7、完成例题1的学习，完成尝试练习。完成课堂练习8、引导学生对本节课学习内容进行提炼反思。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的运用（2）经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。利用一次函数图象（一条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观,初步体会函数与方程的联系。进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。完成课前检测题。2、从情境题中的四个问题逐一分析，找到解决问题的策略。3、从数和形两个方面小组交流一次函数和一元一次方程之间的联系。4、完成课堂练习题5、引导学生对本节课的知识进行小结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（3）1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。1、完成课本第98页引入部分练习，2、故事导入部分学生提出问题并解决问题。3、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，解决实际问题。4、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。5、学生完成课堂练习.6、引导学生对本课知识进行小结。环节一：课前检测环节二：故事引入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结回顾与思考1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。1、展示课前布置的思维导图.2\学生回顾常量与变量、函数的定义，根据定义对函数作出正确的判断。3、回顾一次函数和正比例函数的定义，根据定义对一次函数作出正确的判断。4、回顾求一次函数、正比例函数的图像和性质，利用性质解决实际问题。5、观察图像得出一次函数、正比例的图像的性质并把表格补充完整，完成相应练习。6、回顾待定系数法求一次函数的表达式，了解一般步骤,根据已知条件求一次函数的表达式7、理解一次函数与方程的关系，从图像中获取信息解决实用问题.8、完成课堂练习.9、课堂总结环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂作业环节四：课堂总结
《一次函数》单元教学设计
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
任务一：函数
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：回顾旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：认识一次函数（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
一次函数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：课前检测
任务三：认识一次函数（2）
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：小初衔接
活动二：情境导入
任务四：一次函数图像（1）
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务五：一次函数图像（2）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
一次函数
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务六：一次函数的运用（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：探究新知
任务七：一次函数的运用（2）
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：故事导入
活动三：典例精析
任务八：一次函数的运用（3）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
一次函数
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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第四章 一次函数
4.1函数
01
教学目标
02
03
新知讲解
04
典例精析
05
课堂练习
06
课堂小结
知识回顾
07
作业布置
01
教学目标
学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。
01
学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。
02
03
学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。
02
回顾旧知
1.变量之间表现形式
变量之间的关
系表示方法
图像法
列表法
关系式法
层数n 1 2 3 4 5 ……
物体总数y 1 3 6 10 15 ……
T=t+273,T≥0
02
回顾旧知
2、如何区分自变量和因变量
在关系式式中能够影响其他变量的一个变量叫做自变量。受到自变量变化影响而变化的是因变量。两者是因果关系,自变量是因,因变量是果。
02
回顾旧知
3、自变量的取值范围；
(1)有分母,分母不能为零.
(2)开偶数次方,被开方数是非负数.
(3)零次幂,底数不能为零.
(4)是实际问题,要使实际问题有意义.
02
回顾旧知
4、求下列式子中自变量的取值
（1）y=x
（4），速度40千米/时，汽车行驶的路程y和时间t，y=40t
x取所有实数
x不等于0
x大于等于0
x为非负数
02
探究新知
问题1：想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
探究一
函数的定义
03
探究新知
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
(1)根据左图填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 …
h/米 …
3
10
37
45
37
10
（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗
确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。
03
新知探究
问题二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。
随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n 1 2 3 4 5 ……
物体总数y ……
1
3
6
10
15
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？
确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。
03
新知探究
问题三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
填写下表：
摄氏温度t(℃) -43 -27 0 18
热力学温度T(K)
230
246
273
291
对于给定一个t(℃)大于-273(℃)，相应的T(K)确定吗？
确 定，有且只有唯一的一个数值与之对应。
03
新知探究
合作探究 归纳定义
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究小结
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.，y是因变量。
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
03
新知讲解
1、判断下列各式哪些是函数？
是
不是
是
是
不是
是
03
新知讲解
探究二
函数值
T(K)与 t(℃)的函数关系： T= t+273 （T≥ 0），
当t=1时，
T=1+273
=274（K）.
那么，274就是当t=1时的函数值.
03
新知讲解
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
03
典例精析
例1 下列关于变量x ，y 的关系式： y =2x+3； y =x2+3； y =2|X|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
解析：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
①②③，当X确定，Y有唯一的一个值随之确定，所以①②③是函数。
而④给定一个x值,Y有两个值与之对应，故④不是函数。
而⑤给定一个x值,Y有两个值与之对应，故⑤不是函数。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各表达式不能表示y是x的函数的是( )
A．y＝3x2 B．y＝
C．y＝± (x>0) D．y＝3x＋1
2．下列各线中，表示y不是x的函数的是( )
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边的长与面积
D．圆的周长与半径
4. 函数y＝ ＋ 的自变量x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数值为( )
A. B． C． D．
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
16
6.如图，这是某地区一天的气温随时间变化
的图象，根据图象回答在这一天中：
(1) 时气温最高， 时气温最低，最高气温是 ，最低气温是 ；
(2) 20时的气温是 ；
(3) 时的气温是6℃；
(4) 时间内，气温不断下降；
(5) 时间内，气温持续不变．
4
10℃
-4℃
8℃
10
0 ～4和16～ 24
12～14
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7. 如图所示，某同学在玩火柴拼图游戏时，拼出下面一列图形，其中第n个图形是由n个正方形组成的．
通过观察分析填写下表．
图形序号n 1 2 3 4 5 …
第n个图形火柴根数y …
这个问题中有 个变量，可以将其中的变量 看成变量 的函数．
4
7
10
13
16
y
n
两
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图像如图，请你根据图像判断，下列说法正确的是( )
A.乙队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了126米
C.在47.8秒时，两队所走路程相等
D.从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢。
c
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1) 玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2) 她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3) 她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
(4) 玲玲全程骑车的平均速度是多少？
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：观察图象可知：
(1)玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米；
(2)10点半时开始第一次休息，休息了半小时；
(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷(10－9)＝10(千米/小时)；
10～10.5时，速度约为(17.5－10)÷(10.5－10)＝15(千米/小时)；
10.5～11时，速度为0；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
11～12时，速度约为(30－17.5)÷(12－11)＝12.5(千米/小时)；
12～13时，速度为0；13～15时，
在返回的途中，速度为：30÷(15－13)＝15(千米/小时)；
可见骑行速度最快有两段时间：10～10.5时和13～15时．两段时间内的速度都是15千米/小时；
(4)玲玲全程骑车的平均速度为：(30＋30)÷(15－9)＝10(千米/小时)．
05
课堂小结
函数
定义：自变量、因变量、常量
函数的关系式：三种表示方法
自变量的取值范围
函数值
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，η和t都是 (填变量或常量).
2. 函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 .
3. 函数y＝ 中，自变量x的取值范围是
变量
x≥1
x≠－3
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
x －1 0 1
y －1 1 3
则y与x之间的函数关系式可能是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x C．y＝x2＋x＋1 D．
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5．小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上公交车，公交车沿着公路匀速行驶了一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是( )
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6．一辆汽车从甲地以50km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )
A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3)
C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( )
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8. 万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间(卸货、装货、加燃料等)，又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为x(小时)，轮船距万州的距离为y(千米)，则下列各图中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.在一昼夜中正常人的体温是随时间变化而变化的，如图所示是某人一昼夜体温变化的图象．根据图象回答下列问题：
1)这个人的最高体温和最低体温分别是多少摄氏度？在什么时刻达到最高或最低？
(2)若用x表示时间(时)，y表示体温(℃)，将相应数据填入下表：
06
作业布置
【综合拓展类作业】
x/时 2 4 8 12 16 18 20 22
y/℃
解：(1)18时达到最高，最高为37.5℃，0时达到最低，约为35,3℃.
(2)表格中依次填入35.5；36；37；36.5；37；37.5；37；36.5
(3)y是x的函数．
(3)y是x的函数吗？
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第四章 一次函数
4.1函数导学案
学习目标与重难点
学习目标：
（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。
（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。
（3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。
学习重点：
学习难点：
预习自测
一、知识链接
1、变量之间的关系表现形式： ； ； 。
2、如何区分自变量和因变量.
在关系式式中能够影响其他变量的一个变量叫做 。受到自变量变化影响而变化的是 。两者是因果关系,自变量是因,因变量是果.
3、自变量的取值范围；
(1)有分母, 分母不能为 .
(2)开偶数次方,被开方数不能为 .
(3)零次幂,底数不能为 .
(4)是实际问题,要使 有意义.
4、求下列式子中自变量的取值
（1）y=x （ ）
（ ）
（ ）
（4），速度40千米/时，汽车行驶的路程y和时间t，y=40t （ ）
教学过程
探究1：函数的定义
问题1：想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
根据左图填表：
T/分 0 1 2 3 4 5
H/米
（2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗
.
问题二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填写下表
层数 1 2 3 4 5 6
根数
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？
.
问题三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
填写下表
摄氏温度t(℃) -43 -27 0 18
热力学温度T(K)
（2）对于给定一个t(℃)大于-273(℃)，相应的T(K)确定吗？
.
合作探究 归纳定义
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点： ..
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.，y是因变量。
【强调】函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
1、判断下列各式哪些是函数？
y=2x+3 [ ]; x=5 [ ]
[ ]; [ ];
5+2 [ ] xy=6 [ ];
探究2 函数值
T(K)与 t(℃)的函数关系： T= t+273 （T≥ 0）
当t=1时，
T= （K）.
那么， 就是当t=1时的函数值.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
【强调】：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
典例精析
例1 下列关于变量x ，y 的关系式：① y =2x+3；② ；③y =2|X|；④ ；⑤，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
解析：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
①②③，当X确定，Y有唯一的一个值随之确定，所以①②③是函数。
而④给定一个x值,Y有两个值与之对应，故④不是函数。
而⑤给定一个x值,Y有两个值与之对应，故⑤不是函数。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列各表达式不能表示y是x的函数的是( )
A．y＝3x2 B．y＝ C．y＝±(x>0) D．y＝3x＋1
2．下列各线中，表示y不是x的函数的是( C )
3．下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边的长与面积 D．圆的周长与半径
4. 函数y＝＋的自变量x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x≥1且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3
5．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为( )
A. B． C． D．
6.如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答在这一天中：
(1) 时气温最高， 时气温最低，最高气温是 ，最低气温是 ；
(2) 20时的气温是 ；
(3) 时的气温是6℃；
(4) 时间内，气温不断下降；
(5) 时间内，气温持续不变．
7. 如图所示，某同学在玩火柴拼图游戏时，拼出下面一列图形，其中第n个图形是由n个正方形组成的．
通过观察分析填写下表．
图形序号n 1 2 3 4 5 …
第n个图形火柴根数y …
这个问题中有 个变量，可以将其中的变量 看成变量 的函数．
能力提升：
甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图像如图，请你根据图像判断，下列说法正确的是( )
A.乙队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了126米
C.在47.8秒时，两队所走路程相等
D.从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢。
拓展迁移：
9．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1) 玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2) 她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3) 她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
(4) 玲玲全程骑车的平均速度是多少？
总结反思、拓展升华
1、函数定义：自变量、因变量、常量.
2、函数的关系式：三种表示方法.
3、自变量的取值范围.
4、函数值.
【强调】函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
五、【作业布置】
基础达标：
1．某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，η和t都是 (填变量或常量).
2. 函数y＝中，自变量x的取值范围是 .
3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是 .
4．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
x －1 0 1
y －1 1 3
则y与x之间的函数关系式可能是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x C．y＝x2＋x＋1 D．Y=
5．小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上公交车，公交车沿着公路匀速行驶了一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是( )
6．一辆汽车从甲地以50km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )
A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3)
C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)
能力提升：
7.小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( )
8. 万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间(卸货、装货、加燃料等)，又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为x(小时)，轮船距万州的距离为y(千米)，则下列各图中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
拓展迁移：
9.在一昼夜中正常人的体温是随时间变化而变化的，如图所示是某人一昼夜体温变化的图象．根据图象回答下列问题：
(1)这个人的最高体温和最低体温分别是多少摄氏度？在什么时刻达到最高或最低？
(2)若用x表示时间(时)，y表示体温(℃)，将相应数据填入下表：
x/时 2 4 8 12 16 18 20 22
y/℃
(3)y是x的函数吗？
课堂练习参考答案：
C
C
C
B
B
(1)16、4、10℃，-4℃
（2）8℃
（3）10
（4）0---4和16--24
（5）12--14
4、7、10、13、16、两、y、n
C
9.解：观察图象可知：(1)玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米；
(2)10点半时开始第一次休息，休息了半小时；
(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷(10－9)＝10(千米/小时)；
10～10.5时，速度约为(17.5－10)÷(10.5－10)＝15(千米/小时)；
10.5～11时，速度为0；
11～12时，速度约为(30－17.5)÷(12－11)＝12.5(千米/小时)；
12～13时，速度为0；13～15时，
在返回的途中，速度为：30÷(15－13)＝15(千米/小时)；
可见骑行速度最快有两段时间：10～10.5时和13～15时．两段时间内的速度都是15千米/小时；
(4)玲玲全程骑车的平均速度为：(30＋30)÷(15－9)＝10(千米/小时)．
课外作业参考答案：
变量
x≥1
x≠－3
A
C
D
D
C
9.解：(1)18时达到最高，最高为37.5℃，0时达到最低，约为35,3℃.
(2)表格中依次填入35.5；36；37；36.5；37；37.5；37；36.5
(3)y是x的函数
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