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北师大版（2024）第四章《一次函数》4.2认识一次函数（1）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 函数 课时 1
课标要求 引导学生从数到形、从静到动、从具体到抽象的认知飞跃。要求学生不仅要“学会”知识，更要学会数学，掌握数形结合这一强大的思想武器，并能用它来分析和解决问题。
教材分析 《一次函数》是初中数学八年级上册的重要内容。从知识内容来说,本课是对函数的进一步认识与提升，进一步发展学生的抽象逻辑思维，渗透建模思想。函数本身是反映现实世界变化规律的重要模型，教材在编排上充分体现了从实际生活情境中抽象数学问题，建立模型并形成概念的过程，并将正比例函数纳入一次函数的研究中，力图通过实例从代数表达式的角度认识一次函数。从教材体系来说，之前学生已经掌握了变量之间的关系，初步体会了函数概念的基础之上的教学。通过本节课的学习可以培养学生函数思想和建模意识，为之后探究一次函数图像、二次函数等奠定了扎实的基础。本课的知识起到了承前启后的作用，也符合学生的认知规律。
学情分析 八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系 更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。
核心素养目标 （1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
教学重点 理解一次函数、正比例函数意义及解析式特点
教学难点 一次函数、正比例函数的解析式特点
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.2、函数有图象、表格、关系式三种表达方式. 回顾知识 回顾知识，为新授奠基。
二、引新 一个滴水的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个人使用一年吗？设计一个方案估算一下。2020年，我国生活用水量，城镇（含公共用水）207L/d,农村100L/d 思考问题 问题引入，激发兴趣。
三、探究 活动1：将水龙头拧到适当的位置，造成漏水现象，在水龙头下放一个量杯，每隔1min记录一下量杯的水量，将记录的数据填入下表。在坐标纸上描出v、t的对应点，探究漏水量的变化规律，估算一下这个水龙头一天的漏水量。时间t/min123456漏水量v/L5.51116.52227.5331、描点，连线2、思考（1）连线后这线有什么特点？（2）写出v与Y的关系式。【v=55t】活动2：为了估算一根驱蚊线香可燃烧时间，小颖点燃一根香，每隔1min测量一次线香燃烧的长度，数据如下。时间t/min123456可燃烧长度L/cm22.421.921.420.920.419.9（1）在平面直角坐标系中描出各点。（2）估计燃烧10min后线香可燃烧的长度。（3）估计这根线香燃烧的时间。（4）试写出燃烧时间（t）和可燃烧的长度L的关系式。从表格中可以看出每分钟燃烧长度是0.5cm,线香总长度是22.9cm,所以10min燃烧5厘米，可燃烧长度22.9-5=17.9cm;估计这根线香可以燃烧22.9÷0.5≈46分钟。关系式是L=22.9-0.5t交流讨论：燃烧时间增加1min,可燃烧部分减少0.5cm,也就是说随着时间的增加可燃烧长度“均匀”的减少，如何理解“均匀”？活动三在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：厘米）与所挂物体的重量x（单位kg)的关系如下表（1）随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长吗？（2）写出Y与x的关系式，并说明理由。【不挂物体的时候弹簧长度是3cm,随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长5cm,所以Y=3+0.5X】活动四某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.(1) 完成下表：（1)写出耗油量y与汽车行驶的路程x的关系式（2）写出油箱剩余油量z（单位：L)与行驶的路程x的关系式继续探究下列等式的结构特征有什么特点。v=5.5t (2)L=22.9-0.5t (3)y=3+0.5x，（1）都是含有两个变量等式.其中左边是因变量，右边是自变量；（2）自变量的系数都不为0；（3）自变量和因变量的次数都是一次的. (4) 自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）探究小结：一次函数的定义若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.一次函数与正比例函数的关系 学生独立思考 计算、填表作图初步认识一次函数中自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）这变化规律。2、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。 从生动有趣的问题情景(漏水龙头、线香燃烧时间、弹簧长度、汽车油箱中的耗油量和剩余)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.引导学生小组交流得出一次函数与正比例函数之间的关系。
四、典例精析 例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;解：由路程=速度×时间，得y=60x , y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.解：y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。解：这个水池每小时增加5立方厘米，xh增加5x,y=15＋5x y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 自学课本例题1 通过例题1的学习，把变量之间的关系用代数式的形式表现出来，巩固一次函数、正比例函数的的概念和内在联系。
五、课堂练习 基础达标：判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？是一次函数的是：①、③、⑥是正比例函数的是：①、⑥2、写出下列一次函数关系式中的k和b.（1）y=2x-1，k= 2 ，b= -1 ；（2）y=-5x， k= -5，b= 0 ；（3） K = ， b= 2 ; 3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ C ）A. B. y=-3x C. y=2(x+3) D.4.已知函数Y=(m+5)x+m-31）若该函数是一次函数，则m的取值范围为 ；（2）若该函数是正比例函数，则y与x之间的函数关系式为: y=8x .5.下列说法中，不正确的是（ C ） A.一次函数不一定是正比例函数B.正比例函数是一次函数的特例C.不是正比例函数就不是一次函数 D.不是一次函数就不是正比例函数6、某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。7、如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶。设x（时）表示火车行驶的时间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值答：（1） y=100+80x ，y是x的一次函数； （2）当x=0.5时，y=100+80×0.5=140能力提升：8.若是关于x的正比例函数。则m= .若是一次函数则m= .9.若是关于x正比例函数，m= .拓展迁移：10. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.(1)写出零星租书方式应付金额y（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.(2)写出会员卡租书方式应付金额y（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式. (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么 解:(1)y =x.(2)y=0.4x+12.(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算. 学生完成课堂练习。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、课堂总结 适时小结，兴趣延伸1、一次函数与正比例函数的概念：2、一次函数与正比例函数的关系：3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式； 引导学生对本课学到知识进行课堂总结。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ 2.一次函数y=－3x+2中，k= -3 ,b= 2 .3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ C ） A B. C. D.4.如图，甲乙两地相距120千米，现有一列火车从乙地出发，以85千米/时的速度驶向丙地。设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，则y与x之间的关系式为 y=85x+120 。5.当a ≠2 时，函数y=（a-2)x+5 是关于x的一次函数.6.当k= 1 时，函数y=3x+1-k 是关于x的正比例函数.7.当m= 4 时，函数 是关于x的一次函数.能力提升：8.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件是 m≠－2,n为任意实数 ,若是正比例函数，则m,n应该满足是 m≠－2,n=1 ，9.当k= 3 时,函数 是关于x的一次函数 . 拓展迁移：10．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.解:（1）当x≤5时，y＝2x； 当x>5时，y＝10＋（x-5）×2.6＝2.6x-3; 所以y=2.6x-3（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？ 解：（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8-3=17.8（元）
教学反思
0 4 8 12 16 24
一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
一次函数
正比例函数
m≠5
≠2
-2
-2
一次函数
正比例函数
正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
（1）y=-x-4
（3）y=2πx
（2）y=5x2+6
y是x的一次函数，不是正比例函数.
y不是x的一次函数，也不是正比例函数.
y是x的一次函数，也是正比例函数.
y是x的一次函数，不是正比例函数.
y是x的一次函数，不是正比例函数.
(5)y=3（x+1）
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第四章 一次函数
4.2认识一次函数（1）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。
（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。
（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
学习重点：理解一次函数、正比例函数意义及解析式特点
学习难点：一次函数、正比例函数的解析式特点
预习自测
一、知识链接
1、在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2、函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
教学过程
一、创设情境、导入新课
一个滴水的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个人使用一年吗？设计一个方案估算一下。
2020年，我国生活用水量，城镇（含公共用水）207L/d,农村100L/d
合作交流、新知探究
活动1：
将水龙头拧到适当的位置，造成漏水现象，在水龙头下放一个量杯，每隔1min记录一下量杯的水量，将记录的数据填入下表。在坐标纸上描出v、t的对应点，探究漏水量的变化规律，估算一下这个水龙头一天的漏水量。
时间t/min 1 2 3 4 5 6
漏水量v/L 5.5 11 16.5 22 27.5 33
1、描点，连线
2、思考
（1）连线后这线有什么特点？
.
（2）写出v与Y的关系式。
.
活动2：
为了估算一根驱蚊线香可燃烧时间，小颖点燃一根香，每隔1min测量一次线香燃烧的长度，数据如下。
时间t/min 1 2 3 4 5 6
可燃烧长度L/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 19.9
（1）在平面直角坐标系中描出各点。
（2）估计燃烧10min后线香可燃烧的长度。
（3）估计这根线香燃烧的时间。
（4）试写出燃烧时间（t）和可燃烧的长度L的关系式。
从表格中可以看出每分钟燃烧长度是 cm,线香总长度是 cm,所以 min燃烧 厘米，可燃烧长度 cm;估计这根线香可以燃烧 分钟。关系式是
交流讨论：
燃烧时间增加1min,可燃烧部分减少0.5cm,也就是说随着时间的增加可燃烧长度“均匀”的减少，如何理解“均匀”？
活动三
在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：厘米）与所挂物体的重量x（单位kg)的关系如下表
X/千克 0 1 2 3 4 5
Y/cm
随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长吗？
.
（2）写出Y与x的关系式，并说明理由。
.
活动四
某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
完成下表：
汽车行驶的路程X/千米 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
（1)写出耗油量y与汽车行驶的路程x的关系式
.
（2）写出油箱剩余油量z（单位：L)与行驶的路程x的关系式
.
继续探究
下列等式的结构特征有什么特点。
v=5.5t (2)L=22.9-0.5t (3)y=3+0.5x，
（1）都是含有 个变量等式.其中左边是 ，右边是 ；
（2）自变量的系数都不为 ；
（3）自变量和因变量的次数都是 的.
(4) 自变量增加（减少），函数值就 增加（减少）
探究小结：
一次函数的定义
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
一次函数与正比例函数的关系
典例精析
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
.
圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
.
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
.
.
课堂练习
判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？
是一次函数的是： . 是正比例函数的是： .（填序号）
2、写出下列一次函数关系式中的k和b.
（1）y=2x-1，k= ，b= ；
（2）y=-5x， k= ，b= ；
（3） K = ， b= ;
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A. B. y=-3x C. y=2(x+3) D.
4.已知函数Y=(m+5)x+m-3
(1）若该函数是一次函数，则m的取值范围为 ；
（2）若该函数是正比例函数，则y与x之间的函数关系式为: .
5.下列说法中，不正确的是（ ）
A.一次函数不一定是正比例函数 B.正比例函数是一次函数的特例
C.不是正比例函数就不是一次函数 D.不是一次函数就不是正比例函数
6、某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
7、如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶。设x（时）表示火车行驶的时间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值
能力提升：
8.若是关于x的正比例函数。则m= .若是一次函数则m= .
9.若是关于x正比例函数，M= .
拓展迁移：
10. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
总结反思、拓展升华
1、一次函数与正比例函数的概念：
2、一次函数与正比例函数的关系：
（在集合图填上一次函数或正比例函数）
3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式；
五、【作业布置】
基础达标：
下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
2.一次函数y=－3x+2中，k= ,b= .
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A B. C. D.
4.如图，甲乙两地相距120千米，现有一列火车从乙地出发，以85千米/时的速度驶向丙地。设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，则y与x之间的关系式为 。
5.当a 时，函数y=（a-2)x+5 是关于x的一次函数.
6.当k= 时，函数y=3x+1-k 是关于x的正比例函数.
7.当m= 时，函数 是关于x的一次函数.
能力提升：
8.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件是 ,若是正比例函数，则m,n应该满足是 ，
9.当k= 时,函数 是关于x的一次函数 .
拓展迁移：
10．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
课堂作业参考答案：
①、③、⑥; ①、⑥
(1)2,-1; (2)-5,0; (3),2;
C
m≠5; y=8x
C
6、答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。
7、答：（1） y=100+80x ，y是x的一次函数；
（2）当x=0.5时，y=100+80×0.5=140
8、-2；≠2
9、-2
10解:(1)y =x.
(2)y=0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
课外作业参考答案
1、
-3；2
C
y=85x+120
≠2
1
4
m≠－2,n为任意实数 m≠－2,n=1
3
10、解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x-5）×2.6＝2.6x-3;
所以y=2.6x-3
（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8-3=17.8（元）
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第三章一次函数
4.2认识一次函数（1）
01
教学目标
02
复习旧知
03
问题导入
04
探究新知
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
01
教学目标
理解一次函数、正比例的概念，一次函数与正比例函数的关系。
01
让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。
02
通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
03
02
回顾旧知
在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
03
问题导入
2020年，我国生活用水量，城镇（含公共用水）207L/d,农村100L/d
一个滴水的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个人使用一年吗？设计一个方案估算一下。
03
新知探究
活动一
一次函数的概念
将水龙头拧到适当的位置，造成漏水现象，在水龙头下放一个量杯，每隔1min记录一下量杯的水量，将记录的数据填入下表。在坐标纸上描出v、t的对应点，探究漏水量的变化规律，估算一下这个水龙头一天的漏水量。
时间t/min 1 2 3 4 5 6
漏水量V/L
03
新知探究
时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8
漏水量V/L 5.5 11 16.5 22 27.5 33 38.5 44
v
t
1、描点、连线
.
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
.
.
.
.
.
.
2、思考
（1）连线后这线有什么特点？
（2）写出v与Y的关系式。
V=5.5t
03
新知探究
时间t/min 1 2 3 4 5 6
可燃烧长度L/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 19.9
活动二
为了估算一根驱蚊线香可燃烧时间，小颖点燃一根香，每隔1min测量一次线香燃烧的长度，数据如下。
（1）在平面直角坐标系中描出各点。
（2）估计燃烧10min后线香可燃烧的长度。
（3）估计这根线香燃烧的时间。
（4）试写出燃烧时间（t）和可燃烧的长度L的关系式。
03
新知探究
活动二
0 1 2 3 4 5 6 7 8
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
L
t
.
.
.
.
.
.
从表格中可以看出每分钟燃烧长度
是0.5cm,线香总长度是22.9cm
所以10min燃烧5厘米，可燃烧长度
22.9-5=17.9cm;估计这根线香可以
燃烧22.9÷0.5≈46分钟。关系式是
L=22.9-0.5t
燃烧时间增加1min,可燃烧部分减少
0.5cm,也就是说随着时间的增加可
燃烧长度“均匀”的减少如何理解“均匀”？
03
新知探究
活动三
x/千克 0 1 2 3 4 5
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：厘米）与所挂物体的重量x（单位kg)的关系如下表
（1）随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长吗？
（2）写出Y与x的关系式，并说明理由。
不挂物体的时候弹簧长度是3cm,随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长5cm,所以Y=3+0.5X
03
新知探究
活动四
某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/千米 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0 4 8 12 16 24
(1)写出耗油量y与汽车行驶的路程x的关系式
（2）写出油箱剩余油量z（单位：L)与行驶的路程x的关系式
继续探究
(1)v=5.5t (2)L=22.9-0.5t (3)y=3+0.5x
它们的结构特征有什么特点？
（1）都是含有两个变量等式.其中左边是因变量，右边是自变量；
（2）自变量的系数都不为0；
（3）自变量和因变量的次数都是一次的.
(4) 自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）。
知识要点1
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
一次函数的定义
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
知识要点2
一次函数与正比例函数的关系
一次函数
正比例函数
04
典例精析
例1
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,
y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.
04
新知讲解
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
这个水池每小时增加5立方厘米，xh增加5x,
y=15＋5x
y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？
是一次函数的是：（1）、（3）、（6），
是正比例函数的是 （1）（6）.（填序号）
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2、写出下列一次函数关系式中的k和b.
（1）y=2x-1，k= ，b= ；
（2）y=-5x， k= ，b= ；
（3）
，k= ，b= .
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A. B. y=-3x C. y=2(x+3) D.
c
2
-1
-5
0
-
2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.已知函数
（1）若该函数是一次函数，则m的取值范围为 ；
（2）若该函数是正比例函数，则y与x之间的函数关系式为 .
5.下列说法中，不正确的是（ ）
A.一次函数不一定是正比例函数
B.正比例函数是一次函数的特例
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.不是一次函数就不是正比例函数
m≠5
y=8x
C
04
课堂练习
7、如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶。设x（时）表示火车行驶的时间，y（km)表示火车与甲地的距离。（1)写出y 与 x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值
答：（1） y=100+80x ，y是x的一次函数；
（2）当x=0.5时，y=100+80×0.5=140
6、某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。
【知识技能类作业】必做题：
8.若 是关于x的正比例函数。则m= .若是一次函数则m= .
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
-2
≠2
-2
9.若 是关于x正比例函数，m= .
04
课堂练习
10. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
【综合拓展类作业】
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解:
(1)y1 =x.
(2)y2=0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
05
课堂小结
一次函数
正比例函数
1、一次函数与正比例函数的概念：
2、一次函数与正比例函数的关系；
3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式；
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-x-4
（2）y=5x2+6
（3）y=2πx
(5)y=3（x+1）
y是x的一次函数，不是正比例函数.
y不是x的一次函数，也不是正比例函数.
y是x的一次函数，也是正比例函数.
y是x的一次函数，不是正比例函数.
y是x的一次函数，不是正比例函数.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.一次函数y=－3x+2中，k=______,b=______.
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A. B. C. D.
4.甲乙两地相距120千米，现有一列火车从乙地出发，以85千米/时的速度驶向丙地。设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，则y与x之间的关系式为 。
-3
2
y=85x+120
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.当a____ 时，函数y=（a-2)x+5 是关于x的一次函数.
6.当k_____时，函数y=3x+1-k 是关于x的正比例函数.
7.当m ____时，函数y=2 -1 是关于x的一次函数.
≠2
=1
=4
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件是 ,若是正比例函数，则m,n应该满足是 ，
9.当k= 时,函数y=(k+3)x －5是关于x的一次函数 .
m≠－2,n为任意实数
m≠－2,n=1
3
作业布置
【综合拓展类作业】
06
作业布置
10．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
解:（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（x-5）×2.6＝2.6x-3;
所以y=2.6x-3
作业布置
【综合拓展类作业】
06
作业布置
10．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
解：（2）因为x＝8>5
所以y＝2.6x-3=2.6×8-3=17.8（元）
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第四章
课标要求 1、结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数的表达式。2、会画一次函数的图像，根据图像和解析式探索其图像的性质及图像的变化规律。3、理解正比例函数、一次函数的性质，根据函数的图像和解析式解决实际问题
内容分析 函数学习是中学数学中占据重要地位，既是教学的重点，也是教学的难点。本章学生第一次接触函数，是后续学习反比例函数、二次函数的基础。对函数的概念和函数的图像贯穿整个函数的教学中，随着函数的学习二不断加深认识，同时函数概念中体现变化与对应的思想、数形结合思想决定了函数学习是否顺利的关键。一次函数是学生接触的第一类函数，利用函数图像归纳函数性质，利用函数性质和图像来解决问题，这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。
学情分析 学习一次函数，意味着从常量数学进入变量数学的学习。学生的思维要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是数学认识的一次飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单的问题，往往能根据课堂学习的概念知识，画出相应的函数图像来解决，看不出学生对一次函数的理解程度。随着时间的推移，随着问题情景的复杂化，它们就会表现出对一次函数的理解深度不够。停留在感性认识多些，理性认识少些；对一次函数解析式直接应用多些，对解析式与图像的内在联系运用薄弱。学生在学习过程中遇到困难主要有：复杂问题情景化转移到一次函数图像；结合题意理解一次函数所表达的信息；结合题意将图像信息转移到数量关系。因此，本单元教学应注意数形结合，需要多练、多问、多总结。
单元目标 教学目标1、经历具体问题抽象出函数和一次函数的概念，体会函数的建模思想。进一步发展学生的思维能力。学生经历一次函数图像和性质的探究过程，在合作与交流的活动中发展合作意识和能力。2、了解函数的概念，理解一次函数的图像性质，体会函数与方程的关系，会结合具体情景确定一次函数的表达式，会画一次函数写图像，并运用图像的性质来解决实际问题。3、经历一次函数图像解决实际问题，发展学生运用数学的能力和形象思维能力。4、经历画一次函数的图像和运用图像性质解决实际问题的过程，体会数形结合的思想。（二）教学重点、难点了解函数的概念，会求函数值。2、理解正比例函数、一次函数的概念，确定实际问题中的函数解析式。3、会画一次函数的图像4、根据一次函数的性质和图像解决实际问题，
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1函数14.2认识一次函数（1）14.3认识一次函数（2）14.4一次函数的图像（1）14.5一次函数的图像（2）14.6一次函数的运用（1）14.7一次函数的运用（2）14.8一次函数的运用（3）14.9回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务函数（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。1、回顾知识；2、学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。3、小组合作，探究小结，抽象出函数的定义，4、自学例题。5、完成课堂作业。6、小组交流本节课收获。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结认识一次函数（1）（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。1、回顾知识2、思考问题3、学生独立思考 计算、填表作图初步认识一次函数中自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）这变化规律。4、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。5、自学课本例题6、学生完成课堂练习。7、引导学生对本课学到知识进行课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂作业环节六：课堂总结认识一次函数（2）1、结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；2、掌握求函数值的的方法，初步体会一次函数与一次方程的联系。3、让学生体会数学来源于实践，反过来又指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想。1、知识回顾2、完成课前检测题3、自学例题1，根据现实生活中的实例写出一次函数的解析式。4、独立完成做一做。5、自学例题2根据自变量的取值范围，确定函数值。6、小组交流讨论议一议.7.学生完成课堂作业。8.引导学生对本节课所学内容进行总结。环节一：知识链接环节二：课前检测环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（1）1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.1、回顾小学知识。2、从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。3、学生画正比例函数（k>0)图像4、小组讨论得出正比例（k>0)图像性质，5、学生画正比例函数（K<0)图像6、小组讨论得出正比例（K<0)图像性质7、利用两点法画正比例函数图像。8、总结正比例函数图像的性质。9、学生完成课堂练习。10、引导学生对本课知识进行小结。环节一：小初链接环节二：情境导入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（2）1.在认识一次函数图像的基础上，掌握一次函数的图像及简单的性质：2.通过自己动手操作类比正比例函数的性质发现一次函数图象变化规律，学会解决一次函数问题的一些基本方法；3.在探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想。1、复习正比例函数的图像和性质.2、回顾正比例函数作图的步骤.3、列表、描点、连线画y=－2x, y=－2x+3, y=－2x-3的图像，4、交流讨论y=kx+b(k＜0）函数图像的性质。5、列表、描点、连线画y=x, y=x+4,y=x-4的图像，6、交流讨论y=kx+b(k＞0）函数图像的性质。7、列表、描点、连线画y=x+1，y=-x+1，y=2x+1,y=-2x+1的图像，8、交流讨论y=kx+b函数图像的性质。9、交流讨论参数K和b对函数图像的影响.10、完成课堂练习.引导学生总结y=kx+b函数图像的性质，根据图像说性质。环节一：复习回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（1）1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。1、回顾一次函数的作图方法。2、回顾一次函数的性质.3、明确学习内容。4、学生自学问题一。试着完成问题二、三。5、小组讨论确定正比例函数、一次函数表达式的确定只需要几个个条件。6、理解待定系数法求表达式的一般步骤7、完成例题1的学习，完成尝试练习。完成课堂练习8、引导学生对本节课学习内容进行提炼反思。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的运用（2）经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。利用一次函数图象（一条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观,初步体会函数与方程的联系。进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。完成课前检测题。2、从情境题中的四个问题逐一分析，找到解决问题的策略。3、从数和形两个方面小组交流一次函数和一元一次方程之间的联系。4、完成课堂练习题5、引导学生对本节课的知识进行小结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（3）1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。1、完成课本第98页引入部分练习，2、故事导入部分学生提出问题并解决问题。3、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，解决实际问题。4、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。5、学生完成课堂练习.6、引导学生对本课知识进行小结。环节一：课前检测环节二：故事引入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结回顾与思考1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。1、展示课前布置的思维导图.2\学生回顾常量与变量、函数的定义，根据定义对函数作出正确的判断。3、回顾一次函数和正比例函数的定义，根据定义对一次函数作出正确的判断。4、回顾求一次函数、正比例函数的图像和性质，利用性质解决实际问题。5、观察图像得出一次函数、正比例的图像的性质并把表格补充完整，完成相应练习。6、回顾待定系数法求一次函数的表达式，了解一般步骤,根据已知条件求一次函数的表达式7、理解一次函数与方程的关系，从图像中获取信息解决实用问题.8、完成课堂练习.9、课堂总结环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂作业环节四：课堂总结
《一次函数》单元教学设计
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
任务一：函数
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：回顾旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：认识一次函数（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
一次函数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：课前检测
任务三：认识一次函数（2）
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：小初衔接
活动二：情境导入
任务四：一次函数图像（1）
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务五：一次函数图像（2）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
一次函数
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务六：一次函数的运用（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：探究新知
任务七：一次函数的运用（2）
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：故事导入
活动三：典例精析
任务八：一次函数的运用（3）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
一次函数
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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