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第四章 一次函数
4.4一次函数的运用（1）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。
2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。
3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。.
学习重点：求一次函数解析式的方法步骤。
学习难点：建立函数的模型，用函数的思想解决实际问题的能力
预习自测
一、知识链接
1、前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，如y=3x-1和y=-2x+3，如何画出它们的图象
两点法： .
平移法： .
从以下几个方面分析y=3x-1和y=-2x+3图像的性质
1、图像经过的象限
2、图像增减性
3、图像和x轴y轴的交点。
4、K值确定什么？ b值确定什么
教学过程
合作交流、新知探究
探究一：确定正比例函数的解析式
1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示：
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
解;设Ｖ＝kt;
∵(2,5)在图象上
∴５＝2k , ∴k=2.5
∴V=2.5t
下滑3秒时物体的速度是多少？
V=2.5t=2.5×3=７.５米／秒
2、假定甲、乙二人在一项赛跑中,路程与时间的关系如图所示．
（1）这是一次 米的赛跑？
（2） 先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式．
3、求正比例函数 的表达式
解：由正比例函数的定义知
m－ 15 ＝ 1 ,m=±4
且 m － 4≠0 ， m≠4
∴m ＝－ 4 ，
∴y ＝－ 8x.
【强调】利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
怎样求正比例函数的表达式？（待定系数法）
1. 设正比例函数表达式y=kx；
2. 找一对X,Y的对应值，代入表达式；
3. 解方程求出k的值；
4 .写出表达式。
探究二：确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式
1：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴ －5＝2k＋b，
5＝0×K+b，
解得b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
2、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式。
怎样求一次函数y=kx+b(≠0）的表达式（待定系数法）
1. 设一次函数表达式y=kx+b；
2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;
3. 解方程,求出K和b；
4. 把求出的k，b代回表达式即可.
三、典例精析
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解：设y=kx+b(k≠0)，经过（0,14.5），（3,16）
由题意得：14.5=0×K+b,
16=3k+b,
解得：b=14.5 ; k=0.5.
∴解析式为y=0.5x+14.5
∵y=0.5x+14.5
当x=4时，y＝0.5×４＋14.5
=16.5（厘米）.
即物体的质量为４千克时，弹簧长度为16.5厘米.
尝试练习
某根蜡烛燃烧前30厘米，燃烧时剩下的长度y(单位：厘米）是燃烧时间x(单位：h)的一次函数，当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度12厘米
（1）写出y与x之间的函数关系式，
（2）这根蜡烛最多可以燃烧多少时间？
四、课堂练习、巩固提高
基础达标
1、已知正比例函数y=kx﹙k≠0﹚的图像经过﹙1，-2﹚，这个正比例的表达式是 。
2、已知正比例函数y=(m+1)x,它的表达式表达式是 。
3、一个正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝－2x D．y＝x-0.5
4、如图，直线AB对应的函数表达式是( )
A．y＝ - x＋3 B．y＝ x＋3
C．y＝- x＋3 D．y＝ x＋3
5、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式．
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
7、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b= ,k=_____;
(2)当x=30时，y= ;
(3)当y=30时，x= 。
能力提升
8、若正比例函数y=2x的图像经过A﹙-1,a﹚,则a= ;该函数图像经过点B﹙b，6），则b= .
9. 如果直线y=2x+m 与两坐标轴围成的三角形的面积是 4，那么 m 的值是 （ ）
A.-4, B. 2 C.±4 D. ±2
拓展应用
10、若y与x-1成正比例，且当x=2时，y=3,求y与x之间的函数表达式？
11、已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
五、总结反思、拓展升华
一、用待定系数法求一次函数的解析式的步骤：
1. 设一次函数表达式y=kx+b；
2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;
3. 解方程,求出K和b的值；
4. 把求出的k，b代回表达式即可.
二、本节课用到的数学思想
方程思想、数形结合思想。
六、【作业布置】
基础达标：
1. 直线y=kx-4 经过点(-2,2) ，则该直线的解析式是（ ）
A.y=-3x-4 B. y=-x-4 C. y=x-4 D. y=3x-4
2．已知一次函数y=2x-2 ，当y=0 时, ．
3.一元一次方程3x+2=8的解是 ，则一次函数y=3x+2在自变量x= 时的函数值是8
4， 两地相距280千米，一列火车以每小时100 千米的速度从甲地向乙地行驶，在行驶过程中，火车与乙地的距离 （千米）与火车行驶时间 （小时）之间的函数解析式是 ．
5.设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y，
（1）写出y用x表示函数关系式。
（2）求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？
6.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（ ）函数关系式是： .
能力提升：
7.如果一个一次函数满足以下两个条件：（1）函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小；（2）图象经过点(-1,-3) ．那么这个一次函数的解析式可以是 , （写出一个即可）
8.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 .
拓展迁移：
9.已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标．
10.用每张长6 cm的纸条，重叠1 cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是( )
A．y＝6x＋1 B．y＝4x＋1 C．y＝4x＋2 D．y＝5x＋1
课堂作业参考答案：
y=-2x
Y=2x
B
A
y=3x-4
y=-2x+2
2, - ,-18, -42
-2, 3
C
10、解：设y=k(x-1),
把x=2,y=3，代入y=k(x-1)，
求出k=3,
所以y和x的函数关系是y=3x-3
11、解：此题解答结果有两种情况
设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），所以b=2，
又因为一次函数的图象与x轴的交点是( - ，0)，则
解得k= 1或-1.
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
课外作业参考答案：
A
X=1
X=2, 2.
y=280-100x
5、解：（1）∵2x+y=45 ∴ y=-2x+45
(2)当x=15
y=-2x+45=15,
此时三角形为等边三角形
6、D,; y=5x+20
7、y=-x-4答案不唯一
8、(2,0)
9、解(1)：由题意可得2k﹣4=﹣3，解得k= 0.5 ，
∴一次函数解析式为y= 0.5 x﹣4
（2）把该函数图象向上平移6个单位可得y= 0.5 x﹣4+6= 0.5 x+2，
令y=0可得 0.5 x+2=0，解得x=﹣4，
∴平移后图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）
答案：D
解析：如果不重叠，x张纸条总长度是6X,重叠部分是x-1，实际长度6x-(x-1)=5x+1
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第四章一次函数
4.4一次函数的运用（1）
01
教学目标
02
知识回顾
03
新知讲解
04
典例精析
05
课堂练习
06
课堂作业
07
课外作业
01
教学目标
掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。
01
感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。
02
建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。
03
02
回顾旧知
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，如y=3x-1和y=-2x+3，如何画出它们的图象
两点法：列表 --描点--连线
平移法：先画出正比例函数的图像，然后向上（向下）平移
从以下几个方面分析y=3x-1和y=-2x+3图像的性质（大家踊跃发言，互相补充）
1、图像经过的象限
2、图像增减性
3、图像和x轴y轴的交点。
4、K值确定什么？ b值确定什么
03
问题导入
在上节课中我们学习了在给定一次函数解析式的前提下，我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的解析式呢？这将是本节课我们要研究的问题.
04
新知探究
探究一
确定正比例函数的解析式
1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示：
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
设Ｖ＝kt;
∵(2,5)在图象上
∴５＝2k , ∴k=2.5
∴V=2.5t
V=2.5t=2.5×3=７.５米／秒
（２，５）
04
新知探究
2、假定甲、乙二人在一项赛跑中,路程与时间的关系如图所示．
（1）这是一次 米的赛跑？
（2） 先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式．
100
甲
04
新知探究
解：（3）甲的速度；100÷20=5m/s.
乙的速度：100÷25=4m/s.
（4）由于图像经过原点，设函数表达式为 =kx.
甲图像经过（20,100），代入 =kx中
即100=20K K=5.
所以甲的函数表达式是 =5x.
同理乙的函数表达为 =4x。
04
新知探究
3、求正比例函数 的表达式
解：由正比例函数的定义知
m － 15 ＝ 1 ,m=±4
且 m － 4≠0 ， m≠4
∴m ＝－ 4 ，
∴y ＝－ 8x.
注意：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
知识要点1
1. 设正比例函数表达式y=kx；
2. 找一对X,Y的对应值，代入表达式；
3. 解方程求出k的值；
4 .写出表达式。
怎样求正比例函数的表达式？
这种求函数解析式的方法叫做待定系数法
04
探究新知
探究二
确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式
1：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴－5＝2k＋b，
5＝0×K+b，
解得b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
04
探究新知
2、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式。
解：设直线l为y=kx+b,
∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2），
∴2=-2×0+b,
∴b=2,
∴直线l的表达式为y=-2x+2.
知识要点2
１. 设一次函数表达式y=kx+b；
２. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;
３. 解方程,求出K和b；
４. 把求出的k，b代回表达式即可.
这种求函数解析式的方法叫做待定系数法
怎样求一次函数y=kx+b(≠0）的表达式？
03
典例精析
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解：设y=kx+b(k≠0)，经过（0,14.5），（3,16）
由题意得：14.5=0×K+b,
16=3k+b,
解得：b=14.5 ; k=0.5.
∴解析式为y=0.5x+14.5
03
典例精析
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
∵y=0.5x+14.5
当x=4时，y＝0.5×４＋14.5
=16.5（厘米）.
即物体的质量为４千克时，弹簧长度为16.5厘米.
【尝试与思考】
某根蜡烛燃烧前30厘米，燃烧时剩下的长度y(单位：厘米）是燃烧时间x(单位：h)的一次函数，当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度12厘米
（1）写出y与x之间的函数关系式，
（2）这根蜡烛最多可以燃烧多少时间？
【尝试与思考】
解：（1）燃烧2h时后剩下的长度12厘米，那么每小时燃烧的长度是（30-12）÷2=9厘米，
燃烧时剩下的长度y(单位：厘米）是燃烧时间x(单位：h)的一次函数，即y=30-9x
（2）当y=0,即0=30-9x
所以这根蜡烛燃烧的最长时间是 小时。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知正比例函数y=kx﹙k≠0﹚的图像经过﹙1，-2﹚，求这个正比例的表达式？
2.已知正比例函数y=(m+1)xm ,求它的表达式？
3．一个正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为( )
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝－2x
D．y＝ x-0.5
y=-2x
y=2x
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，直线AB对应的函数表达式是( )
A
A．y＝ - x＋3 B．y＝ x＋3
C．y＝- x＋3 D．y＝ x＋3
5、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式．
y=3x-4
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
y=-2x+2
7、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______。
2
-18
-42
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
8、若正比例函数y=2x的图像经过A﹙-1,a﹚,则a= ;该函数图像经过点B﹙b，6），则b=
-2
3
9. 如果直线y=2x+m 与两坐标轴围成的三角形的面积是 4，那么 m 的值是 （ ）
A.-4, B. 2 C.±4 D. ±2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
10、若y与x-1成正比例，且当x=2时，y=3,求y与x之间的函数表达式？
解：设y=k(x-1),
把x=2,y=3，代入y=k(x-1)，
求出k=3,
所以y和x的函数关系是y=3x-3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
11、已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
解：此题解答结果有两种情况
设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），所以b=2，
因为一次函数的图象与x轴的交点是( - ，0)，则
解得k= 1或-1.
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
05
课堂小结
一次函数的表达式
一次函数y=kx+b(k≠0），当b=0时
y=kx是正比例函数
定义
１. 设一次函数表达式y=kx+b；
２. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;
３. 解方程,求出K和b的值；
４. 把求出的k，b代回表达式即可.
求法
数学思想：
数形结合的思想 、 方程的思想。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 直线y=kx-4 经过点(-2,2) ，则该直线的解析式是（ ）
A.y=-3x-4 B. y=-x-4 C. y=x-4 D. y=3x-4
2．已知一次函数y=2x-2 ，当y=0 时, ．
3.一元一次方程3x+2=8的解是 ，则一次函数y=3x+2在自变量x= 时的函数值是8.
4， 两地相距 280千米，一列火车以每小时 100 千米的速度从甲地向 乙地行驶，在行驶过程中，火车与 乙 地的距离 （千米）与火车行驶时间 （小时）之间的函数解析式是 ．
A
x=1
x=2
x=2
y=280-100x
06
作业布置
5.设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y，
（1）写出y用x表示函数关系式。
（2）求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？
解：（1）∵2x+y=45 ∴ y=-2x+45
(2)当x=15
y=-2x+45=15,
此时三角形为等边三角形。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（ ）
函数关系式是：
D
y=-5x+20
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如果一个一次函数满足以下两个条件：（1）函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小；（2）图象经过点(-1,-3) ．那么这个一次函数的解析式可以是 , （写出一个即可）
8.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是
（y=-x-4答案不唯一）
(2,0)
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标．
解(1)：由题意可得2k﹣4=﹣3，解得k= 0.5 ，
∴一次函数解析式为y= 0.5 x﹣4
（2）把该函数图象向上平移6个单位可得y= 0.5 x﹣4+6= 0.5 x+2，
令y=0可得 0.5 x+2=0，解得x=﹣4，
∴平移后图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10.用每张长6 cm的纸条，重叠1 cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是( )
A．y＝6x＋1 B．y＝4x＋1 C．y＝4x＋2 D．y＝5x＋1
解析：如果不重叠，x张纸条总长度是6X,重叠部分是x-1，实际长度6x-(x-1)=5x+1
D
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北师大版（2024）第四章《一次函数》4.4一次函数的运用（1）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 一次函数的运用（1） 课时 1
课标要求 培养学生数学建模能力和数形结合思想，让学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言来表达思想，学生从算术思维向代数思维的转变，为后续学习反比例函数、二次函数乃至高中数学奠定至关重要的基础。
教材分析 本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第四章第四节，课题为《一次函数图象的应用》。本节课为第1课时。学生已经学习掌握了一次函数的意义、一次函数的图象及其性质、本节课主要内容就是确定一次函数的表达式，.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。
学情分析 学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习变量和两个变量之间的关系，并且平面直角坐标系中，横轴反映的是自变量，纵轴反映的是因变量。前几节课，学生已掌握了一次函数，正比例函数的定义，图像及性质，具备了利用函数模型，解决实际问题的能力。但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力。
核心素养目标 1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。
教学重点 求一次函数解析式的方法步骤。
教学难点 建立函数的模型，用函数的思想解决实际问题的能力
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，如y=3x-1和y=-2x+3，如何画出它们的图象 两点法：列表 --描点--连线平移法：先画出正比例函数的图像，然后向上（向下）平移2、从以下几个方面分析y=3x-1和y=-2x+3图像的性质（大家踊跃发言，互相补充）1、图像经过的象限2、图像增减性3、图像和x轴y轴的交点。4、K值确定什么？ b值确定什么 1、回顾一次函数的作图方法。2、回顾一次函数的性质 回顾旧知，唤醒记忆，为新课讲授作铺垫
二、问题导入 在上节课中我们学习了在给定一次函数解析式的前提下，我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的解析式呢？这将是本节课我们要研究的问题. 明确学习内容。 提出问题导入新课
三|、探究新知 探究一：确定正比例函数的解析式 1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： (1)请写出 v 与 t 的关系式； 设Ｖ＝kt;∵(2,5)在图象上∴５＝2k , ∴k=2.5∴V=2.5t下滑3秒时物体的速度是多少？V=2.5t=2.5×3=７.５米／秒2、假定甲、乙二人在一项赛跑中,路程与时间的关系如图所示．（1）这是一次 100 米的赛跑？（2） 甲 先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？解：甲的速度；100÷20=5m/s. 乙的速度：100÷25=4m/s.（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式．解：由于图像经过原点，设函数表达式为 =kx.甲图像经过（20,100），代入 =kx中 即100=20K K=5.所以甲的函数表达式是 =5x.同理乙的函数表达为 =4x。3、求正比例函数 的表达式解：由正比例函数的定义知 m－ 15 ＝ 1 ,m=±4且 m － 4≠0 ， m≠4∴m ＝－ 4 ， ∴y ＝－ 8x. 【强调】利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.怎样求正比例函数的表达式？（待定系数法）1. 设正比例函数表达式y=kx；2. 找一对X,Y的对应值，代入表达式；3. 解方程求出k的值；4 .写出表达式。探究二：确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式1：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，∴ －5＝2k＋b， 5＝0×K+b，解得b＝5，k＝－5.∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.2、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式。解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的表达式为y=-2x+2.怎样求一次函数y=kx+b(≠0）的表达式（待定系数法）１. 设一次函数表达式y=kx+b；２. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;３. 解方程,求出K和b；４. 把求出的k，b代回表达式即可. 学生自学问题一。试着完成问题二、三。小组讨论确定正比例函数、一次函数表达式的确定只需要几个个条件。3、理解待定系数法求表达式的一般步骤 实际问题情境入手，从多个个例子来探究正比例函数一次函数确定表达式需要的条件。理解待定系数法确定正比例函数、一次函数表达式的一般步骤。
三、典例精析 例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。解：设y=kx+b(k≠0)，经过（0,14.5），（3,16） 由题意得：14.5=0×K+b, 16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5.∴解析式为y=0.5x+14.5 ∵y=0.5x+14.5 当x=4时，y＝0.5×４＋14.5 =16.5（厘米）.即物体的质量为４千克时，弹簧长度为16.5厘米. 尝试练习某根蜡烛燃烧前30厘米，燃烧时剩下的长度y(单位：厘米）是燃烧时间x(单位：h)的一次函数，当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度12厘米（1）写出y与x之间的函数关系式，（2）这根蜡烛最多可以燃烧多少时间？解：（1）燃烧2h时后剩下的长度12厘米，那么每小时燃烧的长度是（30-12）÷2=9厘米，燃烧时剩下的长度y(单位：厘米）是燃烧时间x(单位：h)的一次函数，即y=30-9x（2）当y=0,即0=30-9x所以这根蜡烛燃烧的最长时间是 小时。 完成例题1的学习，完成尝试练习 通过例题和尝试练习，巩固待定系数法求一次函数的解析式，并渗透数形结合思想和方程思想。
五、课堂练习 基础达标1.已知正比例函数y=kx﹙k≠0﹚的图像经过﹙1，-2﹚，求这个正比例的表达式？【y=-2x】2.已知正比例函数y=(m+1)x,求它的表达式？【y=2x】3．一个正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为( B )A．y＝x B．y＝－x C．y＝－2x D．y＝x-0.54.如图，直线AB对应的函数表达式是( A )A．y＝ - x＋3 B．y＝ x＋3C．y＝- x＋3 D．y＝ x＋35、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式．【y=3x-4】6、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 【y=-2x+2】7、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: (1)b= 2 ,k=_-_____; (2)当x=30时，y= -18 ; (3)当y=30时，x= -42 。能力提升8、若正比例函数y=2x的图像经过A﹙-1,a﹚,则a= -2 ;该函数图像经过点B﹙b，6），则b= 3 9. 如果直线y=2x+m 与两坐标轴围成的三角形的面积是 4，那么 m 的值是 （ C ）A.-4, B. 2 C.±4 D. ±2拓展应用10、若y与x-1成正比例，且当x=2时，y=3,求y与x之间的函数表达式？解：设y=k(x-1), 把x=2,y=3，代入y=k(x-1)， 求出k=3, 所以y和x的函数关系是y=3x-311、已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.解：此题解答结果有两种情况设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），所以b=2，又因为一次函数的图象与x轴的交点是( - ，0)，则 解得k= 1或-1.故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 一、用待定系数法求一次函数的解析式的步骤：1. 设一次函数表达式y=kx+b；2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;3. 解方程,求出K和b的值；4. 把求出的k，b代回表达式即可.二、本节课用到的数学思想方程思想、数形结合思想。 引导学生对本节课学习内容进行提炼反思。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1. 直线y=kx-4 经过点(-2,2) ，则该直线的解析式是（ A ） A.y=-3x-4 B. y=-x-4 C. y=x-4 D. y=3x-42．已知一次函数y=2x-2 ，当y=0 时, X=1 ．3.一元一次方程3x+2=8的解是 X=2 ，则一次函数y=3x+2在自变量x= 2 时的函数值是84， 两地相距280千米，一列火车以每小时100 千米的速度从甲地向乙地行驶，在行驶过程中，火车与乙地的距离 （千米）与火车行驶时间 （小时）之间的函数解析式是 【y=280-100x】．5.设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y，（1）写出y用x表示函数关系式。（2）求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？解：（1）∵2x+y=45 ∴ y=-2x+45 (2)当x=15 y=-2x+45=15, 此时三角形为等边三角形。6.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（ D ）函数关系式是：y=5x+20能力提升：7.如果一个一次函数满足以下两个条件：（1）函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小；（2）图象经过点(-1,-3) ．那么这个一次函数的解析式可以是 y=-x-4答案不唯一, （写出一个即可） 8.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 （2，0） 拓展迁移：9.已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标．解(1)：由题意可得2k﹣4=﹣3，解得k= 0.5 ，∴一次函数解析式为y= 0.5 x﹣4（2）把该函数图象向上平移6个单位可得y= 0.5 x﹣4+6= 0.5 x+2，令y=0可得 0.5 x+2=0，解得x=﹣4，∴平移后图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）10.用每张长6 cm的纸条，重叠1 cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是( D )A．y＝6x＋1 B．y＝4x＋1 C．y＝4x＋2 D．y＝5x＋1解析：如果不重叠，x张纸条总长度是6X,重叠部分是x-1，实际长度6x-(x-1)=5x+1
一次函数y=kx+b(k≠0），当b=0时y=kx是正比例函数
定义
一次函数的表达式
1. 设一次函数表达式y=kx+b；
2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;
3. 解方程,求出K和b的值；
4. 把求出的k，b代回表达式即可.
１. 设一次函数表达式y=kx+b；
２. 找二对X,Y的对应值，代入表达式;
３. 解方程,求出K和b的值；
４. 把求出的k，b代回表达式即可.
求法
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第四章
课标要求 1、结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数的表达式。2、会画一次函数的图像，根据图像和解析式探索其图像的性质及图像的变化规律。3、理解正比例函数、一次函数的性质，根据函数的图像和解析式解决实际问题
内容分析 函数学习是中学数学中占据重要地位，既是教学的重点，也是教学的难点。本章学生第一次接触函数，是后续学习反比例函数、二次函数的基础。对函数的概念和函数的图像贯穿整个函数的教学中，随着函数的学习二不断加深认识，同时函数概念中体现变化与对应的思想、数形结合思想决定了函数学习是否顺利的关键。一次函数是学生接触的第一类函数，利用函数图像归纳函数性质，利用函数性质和图像来解决问题，这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。
学情分析 学习一次函数，意味着从常量数学进入变量数学的学习。学生的思维要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是数学认识的一次飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单的问题，往往能根据课堂学习的概念知识，画出相应的函数图像来解决，看不出学生对一次函数的理解程度。随着时间的推移，随着问题情景的复杂化，它们就会表现出对一次函数的理解深度不够。停留在感性认识多些，理性认识少些；对一次函数解析式直接应用多些，对解析式与图像的内在联系运用薄弱。学生在学习过程中遇到困难主要有：复杂问题情景化转移到一次函数图像；结合题意理解一次函数所表达的信息；结合题意将图像信息转移到数量关系。因此，本单元教学应注意数形结合，需要多练、多问、多总结。
单元目标 教学目标1、经历具体问题抽象出函数和一次函数的概念，体会函数的建模思想。进一步发展学生的思维能力。学生经历一次函数图像和性质的探究过程，在合作与交流的活动中发展合作意识和能力。2、了解函数的概念，理解一次函数的图像性质，体会函数与方程的关系，会结合具体情景确定一次函数的表达式，会画一次函数写图像，并运用图像的性质来解决实际问题。3、经历一次函数图像解决实际问题，发展学生运用数学的能力和形象思维能力。4、经历画一次函数的图像和运用图像性质解决实际问题的过程，体会数形结合的思想。（二）教学重点、难点了解函数的概念，会求函数值。2、理解正比例函数、一次函数的概念，确定实际问题中的函数解析式。3、会画一次函数的图像4、根据一次函数的性质和图像解决实际问题，
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1函数14.2认识一次函数（1）14.3认识一次函数（2）14.4一次函数的图像（1）14.5一次函数的图像（2）14.6一次函数的运用（1）14.7一次函数的运用（2）14.8一次函数的运用（3）14.9回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务函数（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。1、回顾知识；2、学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。3、小组合作，探究小结，抽象出函数的定义，4、自学例题。5、完成课堂作业。6、小组交流本节课收获。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结认识一次函数（1）（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。1、回顾知识2、思考问题3、学生独立思考 计算、填表作图初步认识一次函数中自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）这变化规律。4、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。5、自学课本例题6、学生完成课堂练习。7、引导学生对本课学到知识进行课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂作业环节六：课堂总结认识一次函数（2）1、结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；2、掌握求函数值的的方法，初步体会一次函数与一次方程的联系。3、让学生体会数学来源于实践，反过来又指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想。1、知识回顾2、完成课前检测题3、自学例题1，根据现实生活中的实例写出一次函数的解析式。4、独立完成做一做。5、自学例题2根据自变量的取值范围，确定函数值。6、小组交流讨论议一议.7.学生完成课堂作业。8.引导学生对本节课所学内容进行总结。环节一：知识链接环节二：课前检测环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（1）1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.1、回顾小学知识。2、从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。3、学生画正比例函数（k>0)图像4、小组讨论得出正比例（k>0)图像性质，5、学生画正比例函数（K<0)图像6、小组讨论得出正比例（K<0)图像性质7、利用两点法画正比例函数图像。8、总结正比例函数图像的性质。9、学生完成课堂练习。10、引导学生对本课知识进行小结。环节一：小初链接环节二：情境导入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（2）1.在认识一次函数图像的基础上，掌握一次函数的图像及简单的性质：2.通过自己动手操作类比正比例函数的性质发现一次函数图象变化规律，学会解决一次函数问题的一些基本方法；3.在探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想。1、复习正比例函数的图像和性质.2、回顾正比例函数作图的步骤.3、列表、描点、连线画y=－2x, y=－2x+3, y=－2x-3的图像，4、交流讨论y=kx+b(k＜0）函数图像的性质。5、列表、描点、连线画y=x, y=x+4,y=x-4的图像，6、交流讨论y=kx+b(k＞0）函数图像的性质。7、列表、描点、连线画y=x+1，y=-x+1，y=2x+1,y=-2x+1的图像，8、交流讨论y=kx+b函数图像的性质。9、交流讨论参数K和b对函数图像的影响.10、完成课堂练习.引导学生总结y=kx+b函数图像的性质，根据图像说性质。环节一：复习回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（1）1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。1、回顾一次函数的作图方法。2、回顾一次函数的性质.3、明确学习内容。4、学生自学问题一。试着完成问题二、三。5、小组讨论确定正比例函数、一次函数表达式的确定只需要几个个条件。6、理解待定系数法求表达式的一般步骤7、完成例题1的学习，完成尝试练习。完成课堂练习8、引导学生对本节课学习内容进行提炼反思。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的运用（2）经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。利用一次函数图象（一条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观,初步体会函数与方程的联系。进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。完成课前检测题。2、从情境题中的四个问题逐一分析，找到解决问题的策略。3、从数和形两个方面小组交流一次函数和一元一次方程之间的联系。4、完成课堂练习题5、引导学生对本节课的知识进行小结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（3）1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。1、完成课本第98页引入部分练习，2、故事导入部分学生提出问题并解决问题。3、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，解决实际问题。4、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。5、学生完成课堂练习.6、引导学生对本课知识进行小结。环节一：课前检测环节二：故事引入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结回顾与思考1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。1、展示课前布置的思维导图.2\学生回顾常量与变量、函数的定义，根据定义对函数作出正确的判断。3、回顾一次函数和正比例函数的定义，根据定义对一次函数作出正确的判断。4、回顾求一次函数、正比例函数的图像和性质，利用性质解决实际问题。5、观察图像得出一次函数、正比例的图像的性质并把表格补充完整，完成相应练习。6、回顾待定系数法求一次函数的表达式，了解一般步骤,根据已知条件求一次函数的表达式7、理解一次函数与方程的关系，从图像中获取信息解决实用问题.8、完成课堂练习.9、课堂总结环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂作业环节四：课堂总结
《一次函数》单元教学设计
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
任务一：函数
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：回顾旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：认识一次函数（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
一次函数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：课前检测
任务三：认识一次函数（2）
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：小初衔接
活动二：情境导入
任务四：一次函数图像（1）
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务五：一次函数图像（2）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
一次函数
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务六：一次函数的运用（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：探究新知
任务七：一次函数的运用（2）
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：故事导入
活动三：典例精析
任务八：一次函数的运用（3）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
一次函数
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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