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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第四章
课标要求 1、结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数的表达式。2、会画一次函数的图像，根据图像和解析式探索其图像的性质及图像的变化规律。3、理解正比例函数、一次函数的性质，根据函数的图像和解析式解决实际问题
内容分析 函数学习是中学数学中占据重要地位，既是教学的重点，也是教学的难点。本章学生第一次接触函数，是后续学习反比例函数、二次函数的基础。对函数的概念和函数的图像贯穿整个函数的教学中，随着函数的学习二不断加深认识，同时函数概念中体现变化与对应的思想、数形结合思想决定了函数学习是否顺利的关键。一次函数是学生接触的第一类函数，利用函数图像归纳函数性质，利用函数性质和图像来解决问题，这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。
学情分析 学习一次函数，意味着从常量数学进入变量数学的学习。学生的思维要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是数学认识的一次飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单的问题，往往能根据课堂学习的概念知识，画出相应的函数图像来解决，看不出学生对一次函数的理解程度。随着时间的推移，随着问题情景的复杂化，它们就会表现出对一次函数的理解深度不够。停留在感性认识多些，理性认识少些；对一次函数解析式直接应用多些，对解析式与图像的内在联系运用薄弱。学生在学习过程中遇到困难主要有：复杂问题情景化转移到一次函数图像；结合题意理解一次函数所表达的信息；结合题意将图像信息转移到数量关系。因此，本单元教学应注意数形结合，需要多练、多问、多总结。
单元目标 教学目标1、经历具体问题抽象出函数和一次函数的概念，体会函数的建模思想。进一步发展学生的思维能力。学生经历一次函数图像和性质的探究过程，在合作与交流的活动中发展合作意识和能力。2、了解函数的概念，理解一次函数的图像性质，体会函数与方程的关系，会结合具体情景确定一次函数的表达式，会画一次函数写图像，并运用图像的性质来解决实际问题。3、经历一次函数图像解决实际问题，发展学生运用数学的能力和形象思维能力。4、经历画一次函数的图像和运用图像性质解决实际问题的过程，体会数形结合的思想。（二）教学重点、难点了解函数的概念，会求函数值。2、理解正比例函数、一次函数的概念，确定实际问题中的函数解析式。3、会画一次函数的图像4、根据一次函数的性质和图像解决实际问题，
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1函数14.2认识一次函数（1）14.3认识一次函数（2）14.4一次函数的图像（1）14.5一次函数的图像（2）14.6一次函数的运用（1）14.7一次函数的运用（2）14.8一次函数的运用（3）14.9回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务函数（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。1、回顾知识；2、学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。3、小组合作，探究小结，抽象出函数的定义，4、自学例题。5、完成课堂作业。6、小组交流本节课收获。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结认识一次函数（1）（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。1、回顾知识2、思考问题3、学生独立思考 计算、填表作图初步认识一次函数中自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）这变化规律。4、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。5、自学课本例题6、学生完成课堂练习。7、引导学生对本课学到知识进行课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂作业环节六：课堂总结认识一次函数（2）1、结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；2、掌握求函数值的的方法，初步体会一次函数与一次方程的联系。3、让学生体会数学来源于实践，反过来又指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想。1、知识回顾2、完成课前检测题3、自学例题1，根据现实生活中的实例写出一次函数的解析式。4、独立完成做一做。5、自学例题2根据自变量的取值范围，确定函数值。6、小组交流讨论议一议.7.学生完成课堂作业。8.引导学生对本节课所学内容进行总结。环节一：知识链接环节二：课前检测环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（1）1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.1、回顾小学知识。2、从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。3、学生画正比例函数（k>0)图像4、小组讨论得出正比例（k>0)图像性质，5、学生画正比例函数（K<0)图像6、小组讨论得出正比例（K<0)图像性质7、利用两点法画正比例函数图像。8、总结正比例函数图像的性质。9、学生完成课堂练习。10、引导学生对本课知识进行小结。环节一：小初链接环节二：情境导入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的图像（2）1.在认识一次函数图像的基础上，掌握一次函数的图像及简单的性质：2.通过自己动手操作类比正比例函数的性质发现一次函数图象变化规律，学会解决一次函数问题的一些基本方法；3.在探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想。1、复习正比例函数的图像和性质.2、回顾正比例函数作图的步骤.3、列表、描点、连线画y=－2x, y=－2x+3, y=－2x-3的图像，4、交流讨论y=kx+b(k＜0）函数图像的性质。5、列表、描点、连线画y=x, y=x+4,y=x-4的图像，6、交流讨论y=kx+b(k＞0）函数图像的性质。7、列表、描点、连线画y=x+1，y=-x+1，y=2x+1,y=-2x+1的图像，8、交流讨论y=kx+b函数图像的性质。9、交流讨论参数K和b对函数图像的影响.10、完成课堂练习.引导学生总结y=kx+b函数图像的性质，根据图像说性质。环节一：复习回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（1）1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。1、回顾一次函数的作图方法。2、回顾一次函数的性质.3、明确学习内容。4、学生自学问题一。试着完成问题二、三。5、小组讨论确定正比例函数、一次函数表达式的确定只需要几个个条件。6、理解待定系数法求表达式的一般步骤7、完成例题1的学习，完成尝试练习。完成课堂练习8、引导学生对本节课学习内容进行提炼反思。环节一：复习旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂作业环节五：课堂总结一次函数的运用（2）经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。利用一次函数图象（一条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观,初步体会函数与方程的联系。进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。完成课前检测题。2、从情境题中的四个问题逐一分析，找到解决问题的策略。3、从数和形两个方面小组交流一次函数和一元一次方程之间的联系。4、完成课堂练习题5、引导学生对本节课的知识进行小结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结一次函数的运用（3）1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。1、完成课本第98页引入部分练习，2、故事导入部分学生提出问题并解决问题。3、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，解决实际问题。4、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。5、学生完成课堂练习.6、引导学生对本课知识进行小结。环节一：课前检测环节二：故事引入环节三：探究新知环节四：课堂作业环节五：课堂总结回顾与思考1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。1、展示课前布置的思维导图.2\学生回顾常量与变量、函数的定义，根据定义对函数作出正确的判断。3、回顾一次函数和正比例函数的定义，根据定义对一次函数作出正确的判断。4、回顾求一次函数、正比例函数的图像和性质，利用性质解决实际问题。5、观察图像得出一次函数、正比例的图像的性质并把表格补充完整，完成相应练习。6、回顾待定系数法求一次函数的表达式，了解一般步骤,根据已知条件求一次函数的表达式7、理解一次函数与方程的关系，从图像中获取信息解决实用问题.8、完成课堂练习.9、课堂总结环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂作业环节四：课堂总结
《一次函数》单元教学设计
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
任务一：函数
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：回顾旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：认识一次函数（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
一次函数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：课前检测
任务三：认识一次函数（2）
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：小初衔接
活动二：情境导入
任务四：一次函数图像（1）
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务五：一次函数图像（2）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：复习旧知
一次函数
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务六：一次函数的运用（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：探究新知
任务七：一次函数的运用（2）
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：故事导入
活动三：典例精析
任务八：一次函数的运用（3）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
一次函数
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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北师大版（2024）第四章《一次函数》4.4一次函数的运用（3）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 一次函数的运用 课时 1
课标要求 培养学生数学建模能力和数形结合思想，让学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言来表达思想，学生从算术思维向代数思维的转变，为后续学习反比例函数、二次函数乃至高中数学奠定至关重要的基础。
教材分析 本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第四章第四节，课题为《一次函数图象的应用》。本节课为第3课时。其主要内容是学生已经学习掌握了一次函数的意义、一次函数的图象及其性质、确定一次函数的表达式的基础之上，通过开展经历体验探究活动，进行应用一次函数的图象解决简单的实际问题并发现一元一次方程与一次函数之间关系的过程。使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。在整个函数知识体系中，对于图象的感受、解读、分析特别是应用函数的图象解决问题是极其重要的内容，而一次函数图象的应用是学生在整个学习生涯中所接触的第一个相关内容，对于后续其它函数图象应用的学习将积累宝贵的学习经验和经历，因此本节课内容的重要性不言而喻。
学情分析 学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质。在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础，提高学生应用数学的能力。但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力。
核心素养目标 1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
教学重点 用一次函数知识解决生活中的实际问题
教学难点 将实际问题转化为数学问题
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、故事导入 《龟兔赛跑》下图是龟兔赛跑时间（分钟）与路程（米）的图像，关于这个故事你能提出那些数学问题 并解答自己的问题.（1）这一次是 1200 米赛跑。（2）那条直线表示兔子的图象？哪条直线表示乌龟的图像？【直线乌龟，折线兔子】（3）当乌龟到达终点时，兔子到终点还需要 10 分钟。（4）兔子睡觉前的速度是 40米/分 ，睡觉后的速度是 40米/分 。乌龟的速度 20米/分 。（5）乌龟和兔子在 40 分钟处于同一位置，这位置距离终点 400 米 学生提出问题并解决问题。 故事引入激发兴趣。
二、课前检测 如图所示，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：（1）当销售量为2t时，销售收入 2000 元，销售成本 3000 元.（2）当销售量为6t时，销售收入6000 元， 销售成本5000 元。（3）当销售量等于 4t 时，销售收入等于销售成本.（4）当销售量 大于4t 时,该公司赢利(收入大于成本)；当销售量 小于4t时,该公司亏损(收入小于成本)；（5）当销售量等于 6t 时，该公司盈利1000元.(6)L1对应的函数表达式是 y=1000x ，L2对应的函数表达式是 y=500x+2000 ，（7）由于收入与销售量的关系式是Y=1000x,成本与销售量的关系式是y=500x+2000利用关系式验证当销售量等于6吨时，该公司盈利1000元.解：1000x-(5000x+2000)=1000 500x-2000=1000 500x=3000 x=6所以当销售量等于6吨时，该公司盈利1000元回顾与思考:收入与销售量的关系式是Y=1000x,成本与销售量的关系式是y=500x+20001000,500,2000实际意思是什么？[1000的实际意义是每销售1吨收入1000元;500的实际意义是每销售1吨需要成本500元:2000表示固定成本，与销售量无关，如租金、设备折旧等。 完成课本第98页引入部分练习， 通过引入问题的解决，进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。
三、典例精析 课本第99页例题3：图4--11是某景区游览线路图，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿游览线路追赶乙，图4-12中 分别是两人分别到观景台1的路程S(单位：m)和时间t(单位min)之间的关系，假设两人的速度保持不变，回答下列问题（1）哪条直线表示甲到观景台1路程与追赶时间的关系？解：当t=0，甲到观景台1的路程s=0，所以 是甲到观景台1路程与追赶时间的关系。（2）甲、乙两人的速度哪个快？解：t从0增加到20时， 甲从0增加到1000，速度是1000÷20=50m/min 乙从800到1400，速度是（1400-800）÷20=30m/min，所以甲速度快。（3）30min甲能否追上乙解：延长 ，可以看出t=30时 对应点在 下方，说明30min甲没有追上乙。（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否追上乙？解：到达观景台3， 交点纵坐标小于800+1300=2100（m),这说明甲能够在到达观景台3前能够追上乙（5）甲追上乙的时间是多少？此时甲、乙分别走了多少米？解：甲速度50m/min,乙速度30m/min,甲追上乙应该多走800m,所以追及时间=800÷（50-30）=40(min)此时甲走40×50=2000（m)乙走了40×30=1200（m)（6）图中的点P的含义是什么？解：P点的含义是甲刚好追上乙。（7）写出 的代数式，代数式中的K值和b值分别是多少？各表示什么意义？解： 的代数式是S=50t, K=50,表示甲的速度。 的代数式是S=30t+800, K=30,表示乙的速度。b=800,表示观景台1和观景台2之间的距离。小结：应用一次函数解决问题的方法图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。代数法：根据一次函数的解析式，分析函数的增减性，建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。 1、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，解决实际问题。2、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。 结合学生的实际情况，贯彻面向全体学生因材施教的原则，使学困生在解决问题的同时获得成功的喜悦，提高信心。使中等在知识上得以掌握。优秀生不仅掌握了知识，从思维能力，表达能力等多方面得到提高。同时在“解决问题”中明确规定通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
五、课堂练习 基础达标：1．某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ C ） 第10天销售20千克B．一天最多销售30千克第9天与第16天的日销售量相同D．第19天比第1天多销售4千克2. 甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是( C )
A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h3.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能符合题意反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ A ） A．B．C． D．4. 已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 (2，0)5. 一元一次方程3x+2=8的解是 X=2 ，则一次函数y=3x+2在自变量x= 2 时的函数值是8；6. 直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 4 . 能力提升：如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，A3…An都在直线1：y＝ x+1上，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，且AB1⊥1，B1A1⊥x轴，A1B2⊥1，B2A2⊥x轴，则An的横坐标为:（用含有n的代数式表示）。 【解析】先求出的长度，找出规律求出，再计算即可得到的横坐标。拓展迁移8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：（1）乙车比甲车晚出发多少时间？（2）乙车出发后多少时间追上甲车？（3）求乙车出发多少时间，两车相距50千米？解：（1）由图象可知乙车比甲车晚出发1个小时．（2）设甲的函数解析式为y=kt，把点（5，300）代入得到k=60，故y=60x，设乙的函数解析式为y=k′t+b，把点（1，0）和点（4，300）代入得到K′=100,b=100故y=100t﹣100，联立得y=60ty=100t﹣100t=2.5, y=1502.5-1=1.5所以乙车出发后1.5小时追上甲车．分两种情况讨论①相遇前相距50千米由题意：60t﹣（100t﹣100）=50解得t=1.251.25-1=0.25(小时）②相遇后相距50千米由题意得：100t﹣100﹣60t=50解得t=3.753.75-1=2.75（小时）所以求乙车出发0.25或2.75小时，两车相距50千米．9．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是多少千米/时，乙车行驶全程的时间t等于多少小时；（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距8O千米．解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6（小时）；（2）∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，∴结合函数图象可知，当x=2.5时，y=300；当x=5时，y=0；甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，将(2.5,300),(5,0)代入y=kx+b，得：K=-120,b=600甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=﹣120x+600；（3）由题意可知甲车的速度为：600÷5=120（千米/时），设甲车出发m小时两车相距8O千米，有以下两种情况：①两车相向行驶时，有：120m+80（m+1）+80=480，解得：m=1.6；②两车同向行驶时，有：600﹣120m+80（m+1）﹣80=480，解得：m=3；∴甲车出发1.6小时或3小时两车相距80千米． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、课堂总结 应用一次函数解决问题的方法图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。代数法：根据一次函数的解析式，分析函数的增减性，建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。数学思想：数形结合、模型化，数学能力：识图能力、创新能力， 引导学生对本课知识进行小结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回(停留时间不作考虑)，直到两车相遇.若甲、乙两车之间的距离y(km)与两车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示，则A，B两地之间的距离为( D )A.150 km B.300 km C.350 km D.450 km2.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是（ C ） A．这次比赛的全程是500米 B．乙队先到达终点 C．比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 D．乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟3.货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地．已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( C )4.甲、乙两人从学校沿同一路线到距学校3000m的图书馆看书，甲先出发，他们距学校的路程y（m）与甲的行走时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）甲行走的速度为 50 m/min，乙比甲晚出发 10 min． （2）直线BC所对应的函数表达式为 y=100x-1000．（3）甲出发 20 min后，甲、乙两人在途中相遇． 能力提升：5.甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y（km）与乙步行的时间x（h）之间的函数关系的图象如图，则a=_______b= .【解析】 AB两地相距21千米，3小时相遇，速度和21÷3=7，乙速度21÷7=3，∴甲速度7-3=4，甲行完全程的的时间21÷4=5.25.此时乙行驶的路程是5.25×3=15.75.所以a=5.25;b=15.75拓展迁移：6.某校运动会需购买A、B两种奖品共100件．若A种奖品每件10元，B种奖品每件15元，设购买A、B两种奖品的总费用为W元，购买A种奖品m件．（1）求出W（元）与m（件）之间的函数关系式；（2）若总费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，试求出最少费用W的值．解：（1）由题意W=10m+15(100-m)=﹣5m+1500．（2）由解得70≤m≤75，∵W=﹣5m+1500，k=﹣5＜0，W随m的增大而减小，∴当m=75时，W最小值=1500﹣5×75=1125（元）．7.新华文具店的某种毛笔每支售价2.5元，书法练习本每本售价0.5元，该文具店为促销制定了两种优惠办法：甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款。实验中学欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本。(1)请写出用甲种优惠办法实际付款金额y甲(元)与x(本)之间的函数关系式；(2)请写出用乙种优惠办法实际付款金额y乙(元)与x(本)之间的函数关系式；(3)若购买同样多的书法练习本时，你会选择哪种优惠办法付款更省钱；解：（1）y=2.5×10+(x-10)×0.5=0.5x+20(x≥10)所以种优惠办法实际付款金额y甲(元)与x(本)之间的函数关系式是y=0.5x+20(x≥10)(2)y=(2.5×10+0.5X)×90%=0.45X+22.5所以乙种优惠办法实际付款金额y乙(元)与x(本)之间的函数关系式是y=0.45x+22.5(3)0.5x+20-(0.45x+22.5)=0.05x-2.5,当0.05x-2.5=0, x=50,所以当书法练习本等于50时，两种方案费用相同；当0.05x-2.5＞0, x＞50,所以当书法练习本大于50时，乙种方案省钱；当0.05x-2.5＜0, x＜50,所以当书法练习本小于50时，甲种方案省钱；所以当10x＜50，选择甲种方案省钱；当x=50,两种方案费用相同；当x＞50，选择乙种方案省钱。
教学反思
5
数形结合
一次函数的图像
代数式
Y=kx+b
解决问题的办法：
1、图像反映问题，2、代数式计算解决问题
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第四章 一次函数
4.4一次函数的运用（3）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。
3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
学习重点：用一次函数知识解决生活中的实际问题
学习难点：将实际问题转化为数学问题
预习自测
一、知识链接
一次函数的解析式、一次函数的图像及性质 。
自学自测
如图所示，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：
（1）当销售量为2t时，销售收入 元，销售成本 元.
（2）当销售量为6t时，销售收入 元， 销售成本 元。
（3）当销售量等于 时，销售收入等于销售成本.
（4）当销售量 时,该公司赢利(收入大于成本)；当销售量 时,该公司亏损(收入小于成本)；
（5）当销售量等于 时，该公司盈利1000元.
(6)L1对应的函数表达式是 ，
L2对应的函数表达式是 ，
（7）由于收入与销售量的关系式是Y=1000x,
成本与销售量的关系式是y=500x+2000
利用关系式验证当销售量等于6吨时，该公司盈利1000元.
回顾与思考:
收入与销售量的关系式是Y=1000x,
成本与销售量的关系式是y=500x+2000
1000,500,2000实际意思是什么？
教学过程
一、创设情境、导入新课
《龟兔赛跑》
下图是龟兔赛跑时间（分钟）与路程（米）的图像，关于这个故事你能提出那些数学问题 并解答自己的问题.
（1）这一次是 米赛跑。
（2）那条直线表示兔子的图象？哪条直线表示乌龟的图像？
，
（3）当乌龟到达终点时，兔子到终点还需要 分钟。
（4）兔子睡觉前的速度是 ，睡觉后的速度是 。乌龟的速度 。
（5）乌龟和兔子在 分钟处于同一位置，这位置距离终点 米
二、合作交流、新知探究
课本第99页例题3：图4--11是某景区游览线路图，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿游览线路追赶乙，图4-12中 分别是两人分别到观景台1的路程S(单位：m)和时间t(单位min)之间的关系，
假设两人的速度保持不变，回答下列问题
（1）哪条直线表示甲到观景台1路程与追赶时间的关系？
。
（2）甲、乙两人的速度哪个快？
（3）30min甲能否追上乙
（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否追上乙？
（5）甲追上乙的时间是多少？此时甲、乙分别走了多少米？
（6）图中的点P的含义是什么？
（7）写出 ， 的代数式，代数式中的K值和b值分别是多少？各表示什么意义？
小结：应用一次函数解决问题的方法
图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。
代数法：根据一次函数的解析式，分析函数的增减性，
建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。
三、课堂练习、巩固提高
1．某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 第10天销售20千克
B．一天最多销售30千克
C. 第9天与第16天的日销售量相同
D．第19天比第1天多销售4千克
2. 甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是( )
A．甲的速度是4km/h
B．乙的速度是10km/h
C．乙比甲晚出发1h
D．甲比乙晚到B地3h
3.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能符合题意反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ）
A．B．C． D．
4. 已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 .
5. 一元一次方程3x+2=8的解是 ，则一次函数y=3x+2在自变量x= 时的函数值是8；
6. 直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 4 .
能力提升：
如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，A3…An都在直线1：y＝ x+1上，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，且AB1⊥1，B1A1⊥x轴，A1B2⊥1，B2A2⊥x轴，则An的横坐标为: ,
（用含有n的代数式表示）。
【解析】先求出的长度，找出规律求出，再计算即可得到的横坐标。
拓展迁移
8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
（1）乙车比甲车晚出发多少时间？
（2）乙车出发后多少时间追上甲车？
（3）求乙车出发多少时间，两车相距50千米？
9．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是多少千米/时，乙车行驶全程的时间t等于多少小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．
总结反思、拓展升华
应用一次函数解决问题的方法
图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。
代数法：根据一次函数的解析式，分析函数的增减性，
建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。
数学思想：数形结合、模型化，
数学能力：识图能力、创新能力，
五、【作业布置】
基础达标：
甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回(停留时间不作考虑)，直到两车相遇.若甲、乙两车之间的距离y(km)与两车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示，则A，B两地之间的距离为( )
A.150 km B.300 km
C.350 km D.450 km
2.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是（ ）
A．这次比赛的全程是500米
B．乙队先到达终点
C．比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快
D．乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟
3.货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地．已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( )
4.甲、乙两人从学校沿同一路线到距学校3000m的图书馆看书，甲先出发，他们距学校的路程y（m）与甲的行走时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）甲行走的速度为 m/min，
乙比甲晚出发 min．
（2）直线BC所对应的函数表达式为 ．
（3）甲出发 min后，甲、乙两人在途中相遇．
能力提升：
5.甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y（km）与乙步行的时间x（h）之间的函数关系的图象如图，则a=_______b= .
拓展迁移：
6.某校运动会需购买A、B两种奖品共100件．若A种奖品每件10元，B种奖品每件15元，设购买A、B两种奖品的总费用为W元，购买A种奖品m件．
（1）求出W（元）与m（件）之间的函数关系式；
（2）若总费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，试求出最少费用W的值．
7.新华文具店的某种毛笔每支售价2.5元，书法练习本每本售价0.5元，该文具店为促销制定了两种优惠办法：
甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；
乙：按购买金额打九折付款。
实验中学欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本。
(1)请写出用甲种优惠办法实际付款金额y甲(元)与x(本)之间的函数关系式；
(2)请写出用乙种优惠办法实际付款金额y乙(元)与x(本)之间的函数关系式；
(3)若购买同样多的书法练习本时，你会选择哪种优惠办法付款更省钱；
课堂练习参考答案：
C
C
A
(2,0)
X=2; 2
4
7、 ;
【解析】先求出的长度，找出规律求出，再计算即可得到的横坐标。
8、解：（1）由图象可知乙车比甲车晚出发1个小时．
（2）设甲的函数解析式为y=kt，把点（5，300）代入得到k=60，故y=60x，
设乙的函数解析式为y=k′t+b，把点（1，0）和点（4，300）代入得到K′=100,b=100
故y=100t﹣100，
联立得
y=60t
y=100t﹣100
t=2.5, y=150
2.5-1=1.5
所以乙车出发后1.5小时追上甲车．
分两种情况讨论
①相遇前相距50千米
由题意：60t﹣（100t﹣100）=50
解得t=1.25
1.25-1=0.25(小时）
②相遇后相距50千米
由题意得：100t﹣100﹣60t=50
解得t=3.75
3.75-1=2.75（小时）
所以求乙车出发0.25或2.75小时，两车相距50千米．
9、
解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，
∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6（小时）；
（2）∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，
∴结合函数图象可知，当x=2.5时，y=300；当x=5时，y=0；
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，
将(2.5,300),(5,0)代入y=kx+b，得：
K=-120,b=600
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=﹣120x+600；
（3）由题意可知甲车的速度为：600÷5=120（千米/时），
设甲车出发m小时两车相距8O千米，有以下两种情况：
①两车相向行驶时，有：120m+80（m+1）+80=480，
解得：m=1.6；
②两车同向行驶时，有：600﹣120m+80（m+1）﹣80=480，
解得：m=3；
∴甲车出发1.6小时或3小时两车相距80千米．
课外作业参考答案：
D
C
C
(1) 50; 10 (2) y=100x-1000 (3) 20
5、【解析】 AB两地相距21千米，3小时相遇，速度和21÷3=7，乙速度21÷7=3，∴甲速度7-3=4，甲行完全程的的时间21÷4=5.25.此时乙行驶的路程是5.25×3=15.75.
所以a=5.25;b=15.75。
6、解：（1）由题意W=10m+15(100-m)=﹣5m+1500．
（2）由解得70≤m≤75，
∵W=﹣5m+1500，k=﹣5＜0，W随m的增大而减小，
∴当m=75时，W最小值=1500﹣5×75=1125（元）．
7、解：（1）y=2.5×10+(x-10)×0.5=0.5x+20(x≥10)
所以种优惠办法实际付款金额y甲(元)与x(本)之间的函数关系式是y=0.5x+20(x≥10)
(2)y=(2.5×10+0.5X)×90%=0.45X+22.5
所以乙种优惠办法实际付款金额y乙(元)与x(本)之间的函数关系式是y=0.45x+22.5
(3)0.5x+20-(0.45x+22.5)=0.05x-2.5,
当0.05x-2.5=0, x=50,所以当书法练习本等于50时，两种方案费用相同；
当0.05x-2.5＞0, x＞50,所以当书法练习本大于50时，乙种方案省钱；
当0.05x-2.5＜0, x＜50,所以当书法练习本小于50时，甲种方案省钱；
所以当10x＜50，选择甲种方案省钱；当x=50,两种方案费用相同；当x＞50，选择乙种方案省钱。
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