1.倍长中线
【易]在△ABC中，AB=5,AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是多少
2.【易]如图，△ABC中，AB
3.【易]已知:△ABC中，AC>AB，AM是中线.求证:(AC-AB)易]已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线,延长AB到D，使BD=AB.求证:CD=2CE
5【中]如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF //AD交CA的延
长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证:AD为△ABC的角平分线.
6.【中]如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M
作FM//AD交AC于F，求FC的长.
7.【中]如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果 BM2+CN2=DM2 +DN2，求证AD2=(AB2+AC2).
8、如图,AD是△ABC 的中线,E,F分别在边AB,AC 上(E， F不与端点重合),且DE⊥DF,则( ).
A.BE+CF>EF B.BE+CF=EF
C.BE+CF9、阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.
已知:如图,E是BC的中点，点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质.观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三添加辅助线的方法,请任意选择其中一种
对原题进行证明.
12. 截长补短
1.【易]如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，求证:CD=BD+AB.
2.【易]如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的角平分线交AC于D，
求证:AD+BD=BC.
3.【易]如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，
交BC于点F.若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，求证:PA=PC.
4.【易]如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分
∠DAE，求证:AE=EC+CD.
5.【中]在△ABC中，∠ACB=2∠B
(1)如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD之间的数量关系为_ _ (直接写出结论，无需证明)
(2)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD有怎样的数量关系 请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明
(3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明
6.【中]已知△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，∠A，∠B的平分线交BC，CA于
P，Q。求证:AB+BP=AQ+BQ.
7.【中]已知等边△ABC，分别延长BA到E，BC到D，使AE=BD.求证:EC=ED.
8.【中]如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE，求∠B.
9.【难]已知:如图，△ABC中AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=∠ACD=60°.
求证:BD+CD=AB.
1
新希望-------数学3、三垂直模型
1、如图,将等腰直角△AOB放在平面直角坐标系中,若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为().
(-2,1) B.(-1,2) C.(2,1) D.(一2,-1)
如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,AD⊥BD于点D,CE⊥BD于点E.若CE=5， AD=3,则 DE的长是_____.
2题 3题
3、如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°, A(0,3),C(1,0),则点B的坐标为 __.
4、如图,点C在线段BD上,且AB⊥ BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD.
5.【易]如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC垂足分别是A、B
(1)求证△ADC ≌△BCE
(2)若AD=4，AB=3，则BE=
6、【易]如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长.
7、【易]如图，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E。BF//AC，交CE的延长线于点F。求证:AC=2BF.
8、【易]如图，等腰直角△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点，点E、F分别在OC、OB的延长线上，OE=OF，求证:AF=BE且AF⊥BE.
9、【易]已知:如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，AF⊥BE于G.。求证:DH=DF
10、【中]在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系(直接写出结论，不要求写出证明过程):
(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化 请写出你的猜想，并加以证明:
(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化 请写出你的猜想，并加以证明.
14、手拉手模型
1、如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则求证：
(1)△ABD≌△ACE,
(2)BD和CE的夹角∠BFE=∠BAC=∠DAE.
2、【拓展】如图，在直线BE的同一侧作等边△ABC和等边△CDE,连接 BD,AE。
有以下结论:
①△BCD≌△ACE;②∠BFA=60°;③连接 FC，FC 平分∠BFE;④BF =AF+CF,EF= DF+CF;
⑤ △BCM ≌△ACN，△ECN≌△DCM;⑥连接 MN,△MCN 是等边三角形;
（⑦△BCM ∽△AFM，△ECN∽△DFN;⑧A,B,C,F 四点共圆,C， E,D,F四点共圆.）
3、如图，△ACB 和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE,则∠AEB的度数是( ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
3题 4题 5题
如图,△ABC 和△ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,则BD与CE的数量关系为( ).
A.BD=CE B、BD= CE C.BD=CE D.BD=CE
5、如图，△ABC中,AB =AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点 F，则BD与CE的数量关系为( ).
A.BD=CE B、BD= CE C.BD=CE D.BD=CE
6、如图,△ABC和△CDE均为等边三角形，点A,D,E在同一条直线上,连接BE,若∠CAE=25°,则∠EBC的度数是( ).
A.35° B.30° C.25° D.20°
6题 7题
7、如图所示,B,D,E在同一条直线上,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°，则∠3=( ).
A.60° B.55° C.50° D.无法计算
8.如图,在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC，AC边上的高,AD,BE相交于点F，
连接 CF,有下列结论:①BF=AC; ②∠FCD=45°;③若 BF=2EC,则△FDC的周长等于 AB 的长.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C、2个 D.3个
8题 9题
9、如图,在△AOB 和△COD 中， OA=OB,OC=OD,OA①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
10、已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(OA(1)如图1,连接 AM,BN,求证:△AOM≌△BON.
(2)若将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图 2,当点N恰好在AB边上时，求证:BN2+ AN2=2ON ;
②当点 A,M,N在同一条直线上时,若OB=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.
15、平行线中点(有平行，有中点，轻轻延长就能行）
例题：[结论]如图，AB// DE，C是BD的中点，延长AC交DE于点E，
则△ABC≌△EDC.
[证明]∵AB//DE,∴∠ABC=∠EDC.
∵C是BD 的中点,∴CB=CD.在△ABC与△EDC中，
∠ABC=∠EDC，
CB=CD，
∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA).
1、如图,已知AB//CD,BC⊥CD,E是AD 的中点.请你用直尺(无刻度)作出一条线段与BE相等,并证明;
2、如图所示,已知梯形ABCD,AD // BC,E为CD 的中点,若用S1,S2,S3分别表示△ADE,△EBC,△ABE 的面积,则 S1, S2,S3的关系是().
A.S1+S2>S3 B.S1+S2=S3 C.S1+S23、如图,在正方形ABCD中,E 为AB 边的中点,G,F 分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2，
∠GEF=90°,则GF的长为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2题 3题
4、如图,已知AB=12,AB⊥BC 于点B,AB ⊥AD于点 A,AD=5,BC=10,E是CD的中点,则AE的长为( ).
A.6 B. C.5 D.
5、如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,0为BD 的中点，且 OA⊥OC.
求证:CO平分∠ACD.(2)求证:AB+CD=AC.
16、雨伞模型（角平分线+垂线）
1.如图所示,D为△ABC内一点，CD平分 ∠ACB,BD ⊥CD,∠A=∠ABD,若BD=1,BC=3,则AC的长为( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
2、已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB 的平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°.
求证:CE=2BD.
3、如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于 A(a,0),B(0,b)两点,且a,b满足(a-b)2+|a-4t|=0,且 t>0,t是常数,直线BD平分∠OBA,交x轴于点D.
(1)若 AB 的中点为M,连接OM交BD 于点 N,求证: ON=OD;
(2)如图 2,过点 A 作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想.
4、如图,在△ABC 中,D为边 BC的中点，点 E在△ABC内,AE平分∠BAC,CELAE,点F在AB上,
且BF=DE.
(1)求证:四边形 BDEF 是平行四边形.
(2)线段 AB,BF,AC之间具有怎样的数量关系 证明你所得到的结论.
线段 AB,BF,AC之间具有怎样的数量关系 证明你所得到的结论.
如图所示，△ABC的面积为10 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP,垂足为P,连接CP,则△BPC的面积为（ ）
6、【中]如图，MB、NC分别是三角形的内角∠ABC、∠ACB的角平分线，AM⊥BM，
AN⊥CN垂足分别是M、N.求证:MN//BC，MN=(AB+AC-BC)
7、【易]如图,在△ABC中,M是BC中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN.若 AB=12,MN=，则AC的长为.
8、【中]如图,锐角三角形△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D，求证:AC=2BD.
9、【中]如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论:①AD=BF: ②BF=AF:③AC+CD=AB:④AB=BF;⑤AD=2BE.其中正确的结论有( )
A、①③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①②④
10如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于E.求证: BE=(AC-AB)
17、半角模型
【例题】正方形中的半角模型)如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，则
(1)MN=BM+DN;
(2)△MCN的周长等于正方形ABCD边长的2倍;
(3)MA是∠BMN的平分线，NA是∠DNM的平分线.
【模型拓展】
(对角互补且一组邻边相等的半角模型)
如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,∠BAD=2∠EAF,AB=AD,则
(1)EF=BE+FD;
(2)EA是∠BEF 的平分线,FA是∠DFE的平分线.
如图,△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交 AB 于点M,交AC于点N,连接 MN,则△AMN的周长是(
A.a B.2a C.3a D.不能确定
2、(1)如图 1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F 分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD，
求证:EF=BE+FD.
在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD 上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立 (不需要说明理由)
图1 图2
(3)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+ZADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
3、如图,△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC 于点 N,连接 MN.若∠CND=70°,则∠BMD=
4、如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,D,E是斜边BC 上两点,且∠DAE=45°.若BE=4,CD=3,则 AB的长为
4题 5题
如图,正方形ABCD 中,∠EAF=45°,连接对角线BD交AE于点M,交AF于点N.若 DN=1， BM=2,那么MN=
6、.(山东济南中考模拟)如图,在正方形ABCD 中,E,F分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=45°,AE,AF 分别交 BD 于点M，N,连接EN,EF.有以下结论:
①AN=EN; ②当 AE=AF 时，=2-; ③BE+DF=EF; ④存在点 E,F,使得 NF>DF.其中正确结论的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
18、胖瘦模型（SSA）
如图,在四边形ABCD 中,BC>BA,AD=CD,BD 平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°
如图,在四边形ABCD 中,BC>AB,BD 平分∠ABC, ∠BAD+∠C=180°.求证:AD=CD.
3、如图所示,BN为∠MBC的平分线,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,∠APC+∠ABC=180°，给出下列结论:
①∠MAP=∠BCP;②PA=PC;③AB +BC=2BD;④四边形 BAPC的面积是△PBD 面积的2倍.
其中正确结论的个数为().
A.4 B.3 C.2 D.1
4、(四川自贡中考真题)如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM 上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA,OB 相交于点D,E.
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由.
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD 与OA 不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立 请说明理由。
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立 请在图3中画出图形,若成立,请给予证明;若不成立,线段OD,OE 与OC 之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,不需证明.
图1 图 2 图3
9其它
角平分线+平行线
1、【易]已知:如图，AD平分∠BAC，M是BC的中点，MF//AD交CA的延长线于F.求证:
BE=CF=(AB+AC).
角分线分两边
2、【易]如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=20°，AB+BD=AC，则∠B的度数是_____.
3、【易]如图，△ABC中，AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证:CD⊥AC.
4、 【中]如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且
交AC的延长线于E，CE=CD，求证∠ACB=2∠B.
5、【中]在△ABC中，点D，E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平
分∠BAE.
(1)如图1，当∠BAC=90°时，求证:BD=AC
(2)如图 2，当∠BAC≠90°时，是否还有BD=AC成立，说明理由.
6、【中]如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长.
1