(共16张PPT)
第1章 图形的相似
九年级上册
1.2 怎样判定三角形相似
第3课时 相似三角形的判定定理2,3
情境引入
问题：有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.你知道其中的道理吗
情境引入
如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量就可以计算出AB的长度， 你知道其中的道理吗
情境引入
类比三角形全等的方法(SAS) (SSS)，能不能用两边及夹角或三边来判别两个三角形相似呢？
合作探究
探究一：相似三角形判定定理2
画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A, ，它们相似吗？怎样证明呢？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
归纳小结
相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.（简称：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.）
如图，结合图形用数学符号语言表示：
∵∠A'=∠A，
∴ΔA'B'C'∽△ABC.
，
典例分析
[例1]
如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，ΔADE与ΔABC相似吗？说明理由.
A
E
D
B
C
解：ΔADE∽ΔABC.理由是：
合作探究
探究二：相似三角形判定定理3
如图，把ΔABC的三边按一定的比例缩小（或放大）后得到ΔA'B'C'， 即三边满足
，它们相似吗？怎样证明呢？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
归纳小结
相似三角形的判定定理3
如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简称：三边成比例的两个三角形相似.）
如图，结合图形用数学符号语言表示：
∵
∴ ΔA'B'C'∽△ABC.
，
合作探究
探究二：
如图，已知
不另外添加字母，写出图中相等的角，并说明理由.
B
D
C
E
A
解：在ΔABC与ΔADE中，
∴ΔABC∽ΔADE.(相似三角形的判定定3).
∴∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，∠C=∠E，
由∠BAC=∠DAE还可推出∠BAD=∠CAE.
.
，
随堂检测
相似三角形判定定理2,3
课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.在△ABC中，BC=5cm,CA=45cm,AB=46cm,另一个与它相似的三角形的最短边是15cm，则最长边是( )
A.138cm B. cm C.135cm D.不确定
2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的两点，在下列条件中：
①∠AED=∠C；
②
④
；③
能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A
A
.
随堂检测
4.如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上的一个动点，将△AEF沿EF折叠，使A落在A'处，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，则EF的长为__________.
B
课堂小结
1．相似三角形的判定有几种方法？如何选择这些方法？
相似三角形的定义和判定定理1,2,3.
判定三角形相似的主要思路：
（1）有两对边成比例的，一般有两个途径：一是夹角相等；二是找第三边成比例．
（2）有一对等角的，一般有两个途径：一是找另一对等角；二是找到夹边成比例．
2.相似三角形具有哪些性质？
对应角相等，对应边成比例.
作业布置
详见教材练习题
P16 T1-2
谢
谢(共19张PPT)
第1章 图形的相似
九年级上册
1.2 怎样判定三角形相似
第1课时 平行线分线段成比例定理
课前小测
1.相似多边形的主要特征是什么？
对应角相等；对应边成比例.
2.在相似多边形中，其中最简单的就是相似三角形.它的特征是什么？
对应角相等；对应边成比例.
（2）当△ABC与△ A ′ B ′ C ′的相似比为k时，△ A ′ B ′ C ′与△ABC的相似比为________.
3.问题：（1）如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
这两个三角形全等.
情境引入
如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB＝BC＝CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？
探究一：平行线分线段成比例
，
（1）直线 ， 被平行直线 ， 所截，交点分别为A,B,C,D.过线段AB的中点E，作直线 ∥ ，那么该直线与另一条直线交于点F，F是线段DC的中点吗？如果是，证明你的结论.
提示：要证明DF=FC，如果能把它们放在两个全等三角形中就好办了.
合作探究
（2）再取AE的中点P，过点P作直线 ∥ 交 于点Q，此时对应线段AP，PB，DQ，QC成比例吗？为什么？如果取EB的中点 ，过点 作直线 ∥ ，交 于点Q1， 你发现 ， 被平行线所截得的对应线段 ， ， ， 成比例吗？
合作探究
（3）在图中，继续取AP的中点 ，或PE的中点 ，或PB的中点 ，或 的中点 ，分别过这些点作 的平行线，重复（2）中的推理过程，还可以得到什么？
合作探究
平行线分线段成比例
A
B
C
D
E
F
一般地，如果任意两条直线 ， 被一组平行直线 ， ， 所截，交点分别是A，B，C，D，E，F（如图），都有
.
得出结论
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
归纳小结
探究二：平行线分线段成比例的推论
合作探究
（1）图1中l1 , l2 两条相交直线被三条互相平行的直线 l3 ，l4， l5 所截，交点 A刚好落到l3上，如图2所示.线段AB，AC，AE，AF成比例吗？AB，AC，BE，CF呢？
图1
G
合作探究
图1
（2）图1中l1 , l2 两条相交直线被三条互相平行的直线 l3 ，l4， l5 所截，交点 A刚好落到l4上，图2（2）中AE，AC，AD，AB，DE，BC 成比例吗？
图1
得出结论：（推论）
平行于三角形一边,并且与其他两边(或两边 的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
归纳小结
平行线分线段成比例的推论
A型
X型
典例分析
[例1]
如图所示，直线l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是（ ）
探究一：平行线分线段成比例
D
探究二：推论
[例2]
典例分析
如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3∶4，AE＝6，则AC 等于（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
D
归纳小结
1.平行线分线段成比例基本事实：
(1)两直线被一组平行线所截 ，所得的对应线段成比例.（关键要能熟练地找出对应线段）
2.平行线分线段成比例推论：
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
随堂检测
平行线分线段成比例 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
C
1.如图，直线 l1∥l2∥l3，AB=3，AC=4，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
2.如图,小明在打网球时,球恰好能打过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h为 m.
2.4
3.如图,l1∥l2∥l3,AM=2,MB=3,CD=4.5,则ND= ,
CN= .
2.7
1.8
随堂检测
4.如图，在△ABC的边AB上取一点D，在AC上取一点E，使得AD＝AE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证： .
课堂小结
作业布置
详见教材练习题
P11 T1-2
谢
谢(共21张PPT)
第1章 图形的相似
九年级上册
1.2 怎样判定三角形相似
第4课时 相似三角形的应用
课前小测
1.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有（ ）
A.3对 B.5对 C 6.对 D.8对
D
A
B
C
F
E
G
2.相似三角形判定方法有哪些？相似三角形的性质是什么？
两角相等或两边成比例夹角相等或三边成比例的三角形相似；
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
C
情境引入
问题：同学们还记得古希腊的泰勒斯吗，他做了哪一项令当地人震惊的事迹？
情境引入
同学们还记得古希腊的泰勒斯吗，做了一项令当地人震惊的事迹，他想到办法测量金字塔的高度.只要当一个人的身高与影长相等的时候，测量金字塔影子的长度，便是它的高度。这个如今看起来简单的三角形定理，对当时的人来说却是匪夷所思.大家共同来探究一下是如何做到的吧.
情境引入
泰勒斯是如何测出金字塔的高度的？
合作探究
探究一：利用相似三角形测量物体高度
观察：泰勒斯是如何测出金字塔的高度的？
交流发现：如图，AC为金字塔的高度，DF为泰勒斯助手的高度，AB，DE为太阳光线，CB，FE则分别为它们在地平面上的影子.当身高DF和影子EF等长时，金字塔高度AC和它影长CB是成比例关系.
A
B
C
D
E
F
合作探究
探究一：利用相似三角形测量物体高度
典例分析
[例1] 利用阳光下的影子测量水塔的高度，除了像测量金字塔高度那样，还有其他方法吗？需要测出哪些数据？原理是什么？
方案：如图，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住.测量小亮的身高BC=1.6m，此时，测量他的影子的长AC=1m，再测量出他距水塔的底部E处距离CE为11.5m，水塔的顶部为点D，根据以上数据，利用相似三角形的判定和性质，就可以求出水塔的高.
典例分析
[例1] 利用阳光下的影子测量水塔的高度，除了像测量金字塔高度那样，还有其他方法吗？需要测出哪些数据？原理是什么？
典例分析
拓展：如果恰逢阴天，物体没有影子，你还能利用相似三角形的知识，设计出另外的方案来测量水塔的高度吗？
方案：先在地面的适当位置平放一面小镜子，然后看着镜子中水塔的像，沿着水塔的底部与镜子所在的直线一步步向后退，一直退到在镜子中刚好能看到水塔CD的顶端D为止.如图 这时，分别量出我们到镜子BE以及镜子到水塔底部的距离CE和我们的眼睛到地面的距离AB，就可算出水塔的高CD. 你认为这个方案是否可行？它的原理是什么？
A
B
D
C
E
归纳小结
利用相似三角形测量物体高度
同一时刻，同一地点， ，所以用这个办法，可以测出很多平时很难测量的物体的高度.
合作探究
探究二：利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度
E
F
观察：如图，有些空心机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为EF=27 cm，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量就可以计算出AB的长度， 你知道其中的道理吗 需要哪些数据？
方案如下：测量交叉钳的臂OC=6cm，OD=8 cm，OA=12 cm,OB=16 cm,把交叉钳放到零件内如右图所示，经测量CD=12 cm，利用相似三角形的判定和性质就可以求出零件的内径.
合作探究
探究二：利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度
E
F
方案如下：测量交叉钳的臂OC=6cm，OD=8 cm，OA=12 cm,OB=
16 cm,把交叉钳放到零件内如右图所示，经测量CD=12 cm，利用相
似三角形的判定和性质就可以求出零件的内径.
探究二：利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度
典例分析
[例2]如图，小智要测量河流两岸A，B两点间的距离，他先从B处出发，沿与AB成90°角的方向向前走50m到C处，立一竹竿，然后继续按这个方向朝前走10m到D处转90°，沿DE方向再到E处，使A（目标），C（竹竿）与E在同一条直线上，量得DE=17m，利用以上数据，他是怎样求出A，B两点之间的距离呢？
归纳小结
利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度
测量物体宽度时最常用的是X型和A型（如：例2）.利用相似三角形的判定和性质开求解.
随堂检测
相似三角形的应用 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
21.6
30米
90m
随堂检测
4.如图所示，小米同学用自制的直角三角板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5cm，CD=20cm，求树高AB.
课堂小结
利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度
测量物体宽度时最常用的是X型和A型（如：例2）.利用相似三角形的判定和性质列出比例式求解.
利用相似三角形测量物体高度
解决这类问题的过程具有共性，就是先建立数学模型，然后找一对三角形相似，由三角形相似，得出一个比例式，由比例式解决问题.
（1）利用阳光在同一时刻同一地点物长与影长成比例；
（2）利用直角三角板与物体顶端成一直线，如随堂检测4；
（3）利用小镜子，反射角等于入射角构造相似（如例1拓展）.
作业布置
详见教材练习题
P20 T2
谢
谢(共18张PPT)
第1章 图形的相似
九年级上册
1.2 怎样判定三角形相似
第2课时 相似三角形的判定定理1
课前小测
1.第9个基本事实是什么？推论呢？
A
B
C
D
E
F
O
2.如图： AB∥CD∥EF，你能分别得到哪些比例式呢？请填空.
(2)图中有相似三角形吗？请写出来.
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
OE
OD
CD
EF
OB
OD
BO
AB
ΔABO∽ ΔDCO ∽ ΔFOE.
情境引入
问题：金字塔是古埃及人的伟大创造，金字塔又高又陡，又是法老们的陵墓，出于敬畏心理，没人敢登上去进行测量.金字塔究竟有多高呢？
情境引入
金字塔是古埃及人的伟大创造，金字塔究竟有多高呢？金字塔又高又陡，况且又是法老们的陵墓，出于敬畏心理，没人敢登上去进行测量。有一次，古希腊哲学家、科学家泰勒斯来到埃及游览。埃及人听说这个哲人来了，希望他能利用这个机会，测出金字塔的高度。泰勒斯想了一下，答应了。只见泰勒斯站在沙漠中，让助手测出自己的身长，再测出自己影子的长度，到了上午的某个时刻，他的助手测出，泰勒斯的影子长度与他的身长相同，泰勒斯一听，马上让助手测量金字塔的影子长度。不多工夫，助手测出了金字塔的影长。
大家知道泰勒斯是怎样测量的吗？他就是利用相似三角形的基本原理，轻而易举地测出了金字塔的高度，而相似三角形的判定和性质是咱们本章的主要内容.
情境引入
全等三角形如何定义的
学过哪些三角形全等的判定方法
合作探究
探究：相似三角形的判定定理1
问题1 全等三角形如何定义的 学过哪些三角形全等的判定方法
（1）对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;
(2)有五种判定方法：①AAS, ② ASA , ③SAS , ④ SSS, ⑤ HL.
问题2 你能说出相似三角形的定义吗？
所有对应角相等，所有对应边成比例的两个三角形相似.
合作探究
问题3：利用定义判定两个三角形相似太不方便了，能否像证明三角形全等那样适当减少其中的某些条件，建立简便一些的判定方法呢？
由于相似三角形对应边的长可以不相等，把判定方法①②中的边去掉，仅保留两角分别相等的条件，能判定这两个三角形相似吗
合作探究
探究：相似三角形的判定定理1
交流：
任意画ΔABC和ΔA'B'C'，∠A=∠A',∠B=∠B'，观察这两个三角形，它们的形状相同吗？怎样判定它们相似呢？
如果将ΔA‘B’C‘放到ΔABC上面，使A‘与A重合，A‘B’落到AB上，由∠A=∠A‘,那么A‘C’落到AC上，因为∠B=∠B‘，所以B‘C’∥BC，于是ΔABC与ΔA’B’C‘的三边对应成比例，且∠C=∠C‘，
所以ΔABC∽ΔA'B'C’.
这是用实验的方法探索证明的判定定理1，你能在这个思路的基础上完成证明吗？
合作探究
探究：相似三角形的判定定理1
这是用实验的方法探索证明的判定定理1，你能在这个思路的基础上完成证明吗？
证明:AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.
∵∠A=∠A′,
∴ΔADE≌ΔA′B′C′.(sss)
∴∠ADE=∠B′,∠AED=∠C′,DE=B′C′.
又∵∠B=∠B′, ∴∠B=∠ADE.
∴DE∥BC.
又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,
∴ΔABC∽ΔA′B′C′.
归纳小结
小结：
相似三角形的判定定理1:
两角分别相等的两个三角形相似.
典例分析
[例1]
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
A
C
B
D
已知： 如图， 在 RtΔ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高.
求证： Δ ACD∽Δ ABC∽Δ CBD.
证明 : ∵ ∠A=∠A， ∠ADC=∠ACB=90° ，
∴ Δ ACD∽Δ ABC.（两角对应相等， 两 三角形相似）
同理 Δ CBD ∽ Δ ABC，
∴ Δ ABC∽Δ CBD∽Δ ACD.
此题的结论可以称为“ 母子相似定理”,要牢记.
[例2]如图，已知点B，D分别是∠A的两边AC，AE上的点，连接BE，CD，相交于点O，如果∠1=∠2，图中有几对相似三角形？说明理由.
典例分析
解：ΔDOE ∽ ΔBOC，ΔABE ∽ ΔADC. 理由是：
∵∠1=∠2，∠DOC=∠BOC，由判定定理1，
∴ΔDOE ∽ ΔBOC.
同理，由∠E=∠C，∠A=∠A，
∴ΔABE ∽ ΔADC.
随堂检测
相似三角形判定定理1
课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
C
A
D
B
1.如图
，已知∠A=50°，∠B=60°，∠ADC=110°，则ΔABC∽____________.
2.有一个角等于110°的两个等腰三角形（ ）
A．全等 B.相似 C.既不全等也不相似 D.无法确定
ΔCBD
B
随堂检测
A
B
D
E
C
F
3. 已知：如图所示，点E是矩形ABCD中CD边上的一点，ΔBCE沿着BE折叠为ΔBFE，点F落在AD上，求证：ΔABF ∽ ΔDFE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A= ∠D=∠C=90°.
∵ΔBCE沿BE折叠为Δ BFE,
∴ ∠BFE= ∠C= 90°.
∴∠AFB+ ∠DFE=180° -∠BFE=90° .
又 ∠AFB+ ∠ABF=90 °，∴ ∠ ABF= ∠DFE，
∴ΔABF ∽ ΔDFE.
课堂小结
1.请说说，相似三角形的判定定理1是如何证明的？
2.相似三角形的判定定理1: 两角分别相等的两个三角形相似.
此题的结论可以称为“ 母子相似定理”,要牢记.
作业布置
详见教材练习题
P14 T1与挑战自我
谢
谢
