1.3 相似三角形的性质 课件(共20张PPT)2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共20张PPT)
第1章 图形的相似
九年级上册
1.3 相似三角形的性质
课前小测
1.全等三角形的判定方法有哪些？有哪些特征？
判定方法：ASA ，SAS，AAS ，SSS ，HL（直角三角形）.
特征：全等三角形对应角、对应边相等.其它元素如对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长、对应面积也相等.
2.什么叫相似三角形 判定方法有哪些
定义：所有对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
判定方法：（1）两角分别相等的两个三角形相似；
（2）两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边成比例的两个三角形相似.
3.相似三角形有哪些基本特征
答：对应角相等，对应边成比例.
情境引入
问题：相似三角形，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？
情境引入
类比全等三角形，两个相似三角形，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？
这就是我们本节课要探究的内容.
情境引入
相似三角形还有哪些性质呢？
合作探究
探究：相似三角形的性质
观察： 如图 ，已知△ ABC ∽△ A‘B’C‘，相似比为 k . AD 与 A’D' 分别是对应边BC 与 B'C' 上的高.
问题1：除△ ABC ∽△ A‘B’C‘ 以外，图中还有几对相似三角形？为什么？
解：∵△ ABC ∽△ A'B'C'，∴∠ B =∠ B'，
又∵∠ ADB =∠ A'D'B' = 90°，
∴△ ABD∽△ A'B'D' .
同理可得， △ ACD ∽△ A'C'D' .
合作探究
探究：相似三角形的性质
问题2：AD 与 A'D' 的比与相似比 k 有什么关系？
解:∵ΔADB∽ΔA'D'B’.
∴=k.
你能叙述你得到的结论吗
相似三角形对应高的比等于相似比.
能去掉“对应” 两个字吗
不能去掉
合作探究
探究：相似三角形的性质
问题3：在△ ABC 与△ A'B'C' 中，分别作出∠ A 与∠ A' 的平分线以及 BC 与 B'C'上的中线，探索对应的角平分线的比、对应边上中线的比分别与相似比 k 之间的关系，说明你的理由，与同学交流.
（1）.已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k, AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.求证:=k.
证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',
∴∠B=∠B',.
又∵AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,
∴BE=BC,B'E'=B'C',
∴,
∴ΔABE∽ΔA'B'E'.
∴=k.
合作探究
探究：相似三角形的性质
（2）.已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k , AF, A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.求证:=k.
证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',
∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
又∵AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAF=∠BAC,∠B'A'F'=∠B'A'C',
∴∠BAF=∠B'A'F',∴ΔABF∽ΔA'B'F'.
∴=k.
怎样用语言描述上述结论
相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
合作探究
探究：相似三角形的性质
问题4：△ ABC 与△ A'B'C' 的周长的比CΔABC∶ C△ A'B'C'，面积的比S△ ABC∶ S△ A'B'C' 与相似比 k 分别有怎样的关系？如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k, AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.
求证:=k, =k2.
证明:∵ΔABC ∽ΔA'B'C',相似比为k,
∴=k,=k.
∴AB=k·A'B', AC=k·A'C', BC=k·B'C'.
∴=k,
·=k2.
怎样用语言描述上述结论
相似三角形的周长比等于相似比;
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳小结
相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;
(2)相似三角形的周长比等于相似比;
(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
典例分析
[例1]
如图，在△ ABC 中， DE∥BC， AD∶ DB = 3∶ 1，△ ABC 的面积为 48 . 求△ ADE 的面积.
[例2]
典例分析
如图 ，有一块锐角三角形余料ABC，它的边 BC = 12 cm，高 AD = 8 cm . 现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在 BC 上，其余的两个顶点分别在 AB， AC 上，求裁出的正方形的边长.
归纳小结
相似三角形的性质定理
相似三角形的对应线段的比等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方.
相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.
拓展知识：类比相似三角形的性质，相似多边形的对应角相等，对应线段的比都等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
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相似三角形的性质 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
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1:2
1:4
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4. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AE：EB=1：2．
（1）求AE：DC的值．
（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF和S△ACD.
解：（1）在平行四边形ABCD中，DC=AB，
∵AE：BE=1:2，
∴AE：AB=1:3，
∴AE：DC=1:3.
（2）在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DCF=∠EAF，∠FDC=∠FEA，
∴△AEF∽△CDF.
∴相似比为 ，
∴
∵S△AEF=6cm2 ，∴S△CDF=54cm2.
∵△AEF∽△CDF, ∴EF:DF=AE:DC=1:3.
∵S△AEF中以EF为底的高与S△ADF中以DF为底的高相同，
∴S△AEF：S△ADF=1:3，∵S△AEF=6，∴S△ADF=18.
∴S△ACD= S△ADF+ S△CDF=18+54=72（cm2）.
=1∶9.
课堂小结
相似三角形的性质
对应边
对应角
对应线段
周 长
面 积
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比.
相似三角形的周长比等于相似比.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
作业布置
详见教材练习题
P25 T1-3
谢
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