2.1 锐角三角比 课件(共23张PPT)2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共23张PPT)
第2章 解直角三角形
九年级上册
2.1 锐角三角比
课前小测
1.直角三角形的三个角的关系是什么？
2.直角三角形的三边关系是什么？Rt △ABC中，∠C=90°，AB=16，BC=7，求AC.
解：在Rt △ABC中 AB2=BC2+AC2.
即162=72+AC2 .
∴AC2=162-72=（16+7）（16-7）=21×9.
∴AC= .
两锐角互余.
当数字较大时用平方差
拆分让计算更简便！
课前小测
3.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90° ，
∠P的对边是___ ，∠P的邻边是___，
∠M的对边是___，∠M的邻边是___.
MN
PN
PN
MN
.
情境引入
问题：
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道操场旗杆有多高？公园里笔直的水杉有多高？通过本章的学习，你会明白其中的道理并能够解决相关的问题,你准备好了吗？
情境引入
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、G为边AB上的两点，DE⊥AC，GH⊥AC.
（1） ， ， 的值相等吗？为什么？
=
=
由于DE⊥AC，GH⊥AC，易得 ADE、 AGH、 ABC两两相似可得：
由平行线分线段成比例也可以得出比值相等哦！
情境引入
在BC上取一点B′，连接AB′，分别交DE、GH于D′、G′.
(2) 的值什么关系？为什么？
(3)观察比较 大小关系？
(4)并思考它们的值与角的大小是否有关？
=
=
(2)同（1）可得：
(3) .
≠
(4)它们的值与角的大小有关.
，
，
与
情境引入
在其他情况下，是不是也是这样呢？下面请同学们来动手实践，运用已学的知识来探究下列问题吧！
合作探究
探究：边与角的关系
问题一：如图，有一块2.00米的平滑木板AB，小亮将它的一端B架高1米，另一端A放在平地上，分别量的木板上的点B1，B2，B3，B4到A点的距离AB1，AB2，AB3，AB4，与它们距地面的高度B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，数据如表所示：
木板上的点 到A点的距离／米 距地面的高度／米
B1 1.50 0.75
B2 1.20 0.60
B3 1.00 0.50
B4 0.80 0.40
交流：利用上面数据，计算 的值，你有什么发现？
它们的比值相等.
（1）比值 相等吗 为什么？
合作探究
相等.
∵BC⊥AC，B′C′⊥AC，
∴B′C′//BC，
∴ . (平行线分线段成比例）
问题二：如图 ，作一个锐角A，在∠A的一边上任意取两个点B，B′，经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线，垂足分别为C，C′.
合作探究
（2）如果设 ，那么对于确定的锐角A来说，比值K的大小与点B′在AB边上的位置有关吗？
比值K的大小与点B′在AB边上的位置没有关系，
由平行线分线段成比例可以得出比值相等.
也可以根据相似得出所有对应边的比值相等哦！
（3） 如图，以点A为端点，在锐角A的内部作一条射线，在这条射线上取点B″，使AB″=AB′,这样又得到了一个锐角∠CAB″.过B″作B″C″⊥AC，垂足为C″， 与 的值相等吗？为什么？由此你得到怎样的结论？
合作探究
从前面探究的几个问题中可以得出，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对比与邻边的比也随之确定.
不相等.
∵AB″=AB′ ，B″C″≠B′C′,
∴比值不相等.
归纳小结
三角比的定义
锐角A的正弦、余弦和正切统称锐角A的三角比.
试一试
在Rt△ABC，∠C=90°，把∠A的对边记作a，把∠B的对边记作b,把∠C的对边记作c,你能分别用a，b，c表示∠A的正弦、余弦和正切吗？
A
C
B
a
c
b
仿照如此，你能分别用a，b，c表示∠B的正弦、余弦和正切吗？
注意：
1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体，余弦和正切同上；
2、sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写；
3、sinA、cosA、tanA是一个比值，没有单位.
典例分析
例1 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，a=4,b=2,求∠A的正弦,余弦和正切的值.
典例分析
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°，如果cosA=0.8，AB=15，求BC和tanB.
A
C
B
拓展
在锐角三角比中，正弦、余弦的值能等于1吗？能大于1吗？正切呢？
A
C
B
a
b
c
在任意直角三角形中，正弦和余弦是直角边与斜边的比，而直角边永远小于斜边，所以正弦值、余弦的值恒小于1；
正切是两条直角边的比值，而两条直角边有可能相等，也有可能不相等，所以正切值或等于1，或大于1，或小于1.
随堂检测
锐角三角比 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大为原来的2倍,则锐角A的正弦值（ ）
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.无法确定
2.在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则SinB的值是（ ）
A. B. C. D.2
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，作CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα 的值为（ ）
B. C. D.
4.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为____________.
C
A
A
1
随堂检测
5.在⊿ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知 AC=15，cosA=
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值.
解：（1）在⊿ABC中，∠ACB=90° ，
AC=15，cosA= = .
∴ AB=25.
∵ D是AB的中点,
∴ CD= AB= .
（2）在Rt⊿ABC中，BC= =20.
∵ BD=CD= = , ∴ ∠DCB=∠DBC.
∴ cos∠ABC= = .
在Rt△CEB中，∠E=90°，CE=BC· cos∠BCE=BC· cos∠ABC=16.
∴ DE=CE-CD= ，而DB= ,
∴sin∠DBE= = = .
课堂小结
一个锐角的三角比的值与边的长短无关，只与角的大小有关，锐角一旦确定，三角比的值随之确定.
锐角三角比是通过直角三角形的各边的比来定义的，求锐角α的三角比一定要把α放在直角三角形中，则
∠α的正弦
∠α的余弦
∠α的正切
作业布置
详见教材习题
P41 T1-5
谢
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