2.4 解直角三角形 课件(共23张PPT)2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共23张PPT)
第2章 解直角三角形
九年级上册
2.4 解直角三角形
课前小测
在Rt△ABC中,∠C=90 ，若AB=5，AC=2.5，则∠A= , ∠B=_____.
2. 在Rt△ABC中,∠C=90 ，若∠B=30°，AC=3，则AB=_____,BC=________.
60°
30°
6
情境引入
问题：直角三角形中的元素之间什么关系？
情境引入
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .共有六个元素，三条边和三个角.其中有一个角是直角，固定不变.
问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2 .
问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90°.
问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
情境引入
a2+b2=c2，∠A+∠B=90°.
解直角三角形：由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
观察交流：观察上面问题的结论，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？
两个还是三个呢？咱们来探究一下.
合作探究
探究一： 已知直角三角形的两个锐角能解直角三角形吗？
由相似三角形的知识可知，两个锐角分别相等的三角形相似，这样大小不同的相似三角形能画出无数个，所以不能解直角三角形.
不能.
合作探究
探究二：已知直角三角形的两边，能解直角三角形吗？
如图，在△ABC中，∠C＝90°， ，
，能求出其他未知的边和角吗？
典例分析
[例1]
在 Rt△ ABC 中，已知∠ C = 90°， a = 17.5， c = 62.5 . 解这个直角三角形.
解：∵ a 2 + b 2 = c 2，
∴ b =
由 sin A =
∠ A ≈ 16° 15' 37'' .
∴ ∠ B = 90° -∠ A = 90° -16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' .
=0.28,得
如果已知直角三角形的两条直角边，如何解直角三角形呢？与同学交流.
直角边的比跟正切有关，所以 “有斜用弦”“无斜用切”，同样可以求出角的度数.
归纳小结
在直角三角形中，已知两边，定能解直角三角形.
（1）已知斜边c和直角边b，则
（2）已知直角边a和b，则
合作探究
探究三：已知直角三角形的一边和一角能解直角三角形吗？
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A=65°，a=5，能求出其他未知的边和角吗？
当知道一边和一角时，可以解直角三角形.如果三角比不是特殊值，可以用计算器求角.
[例2]
典例分析
在 Rt△ ABC 中，已知∠ C = 90°， c = 128， ∠ B = 52°. 解这个直角三角形（边长精确到 0.01）.
解：在 Rt△ ABC 中，由∠ C = 90°， ∠ B = 52°，得
∠ A = 90° -∠ B = 90° - 52° = 38°.
由
，得b = c· sin B = 128· sin 52° ≈ 100.87；
，得a = c· cos B = 128· cos 52° ≈ 78.80 .
如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，如何解直角三角形呢？
用“有斜用弦，无弦用切”的原则，同样可以解直角三角形.
归纳小结
在直角三角形中，除直角外，再知道一角一边就可以解直角三角形. 选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确.
（1）已知斜边c和锐角A，则
（2）已知锐角A和其对边a，则
（3）已知锐角A及其邻边b，则
合作探究
探究四：如何求非直角三角形的边和角
[例3]如图，在△ ABC 中，已知∠ A = 60°， ∠ B= 45°， AC = 20，求 AB 的长.
交流：△ ABC不是直角三角形，怎么办？
作AB 边上的高，可把问题转化为解直角三角形的问题.
解：过点 C 作 CD⊥ AB，垂足为点 D（如图）.
在 Rt△ ACD 中， AC = 20， ∠ A = 60°.
归纳小结
将非直角三角形转化为解直角三角形的问题，转化的手段是作辅助线，作辅助线的最常见的方法是作高，作出辅助线后，例如在例3中求AB的长，转化为在两个直角三角形中，于是问题归结为解Rt△ADC的问题.
拓展
如图，∠ B = 45°， BC = 2，试用含∠ A 的三角比的式子表示 AB 的长.
D
随堂检测
解直角三角形 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
在 Rt△ ABC 中，由∠ C = 90°， ∠ A = 30°，a=5，解直角三角形.
随堂检测
2.在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17， c＝34．解这个直角三角形.
随堂检测
3. 如图，在△ ABC 中，已知∠ B = 30°， ∠ C= 105°，AB=12,求AC 和BC 的长.
D
课堂小结
1.解直角三角形是怎样定义的？
定义：
2.解直角三角形有几种类型,分别是什么
有两种类型：一是已知两边，二是已知一锐角加一边.
(1)已知斜边c和直角边b，则
(2)已知直角边a和b，则（1）已知斜边c和锐角A，则
(3)已知锐角A和其对边a，则
(4)已知锐角A及其邻边b，则
(5)已知斜边c和锐角A，则
3.怎样解非直角三角形？通常是通过什么途径实现的？
将非直角三角形转化为解直角三角形的问题，转化的手段是做辅助线，通过辅助线把图形转化为两个直角三角形来求解.
课堂小结
作业布置
详见教材练习题
P51 T1-2
P52 T1-2
谢
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