3.1　圆的对称性 第1课时　垂径定理 课件 2025-2026学年数学青岛版九年级上册(共22张PPT)

(共22张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.1 圆的对称性
第1课时 垂径定理
课前小测
1.圆是平面内到__________距离等于________的点的集合.
2.弦：圆上任意两点之间所连接的线段叫作_______,圆中最长的弦是______.
3.弧：圆上任意两点间的部分叫作______,简称弧.用符号“______”表示.
半圆：一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆.
弧的分类 优弧：___________________叫做优弧.
劣弧：___________________叫做劣弧.
B
如图，以A、B为端点的弧有________条，分别是_________和_________.
定点的
定长
弦
直径
圆弧
大于半圆的弧
小于半圆的弧
2
情境引入
问题：同学们知道北京天坛公园的圜丘坛吗？
情境引入
这是北京天坛公园内圜丘坛的照片.
圜丘坛,俗称祭天台，高5米，直径23米，是一座由白玉石雕栏围绕的三层石造圆台.
观察这幅图片，思考下面的问题：
圆是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
是轴对称图形，也是中心对称图形.
2. 如果站在圜丘坛最上一层，你能准确找到它的圆心吗？
怎么能准确找到圆心呢，等学完这一章，同学们就会有各种办法.
情境引入
圆是轴对称图形吗？
你能找到它的对称轴吗？
合作探究
探究一：圆是轴对称图形吗？
思考下面的问题，动手操作并与同学交流：
（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径 AB.将⊙O沿直径AB折叠，你发现了什么？
折叠后两边完全重合.
（2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？
折叠后还是两边完全重合.
归纳总结：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.
合作探究
探究二：垂径定理和推论
如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点E . 将⊙O沿直径AB折叠.
1.垂径定理
合作探究
探究二：垂径定理和推论
(2)能不能通过推理得到结论呢？
证明：连接OC，OD.∵OC = OD， OE⊥CD， OE = OE，
∴ Rt△OCE≌Rt△ODE，∴ CE = DE .
∴点C与点D关于直线 AB 对称.
∵直线 AB 是⊙O 的对称轴，
∴当⊙O沿直线AB折叠时，点C与点D重合，
与
重合，
与
重合，
∴
归纳小结
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
归纳小结
“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径（如图），甚至还可以是过圆心的直线或线段.
合作探究
探究二：垂径定理和推论
由折叠或如垂径定理的证明可知，下列推论成立.
推论1:
平分弦(不是直径)的直径，垂直这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
C
D
如图,两条直径一定互相平分，但不一定垂直，所以被平分的弦如果是直径，结论不一定成立.
2.垂径定理的推论
合作探究
推论2:
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
推论3:
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧.
归纳小结
一条线，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径)，④平分优弧，⑤平分劣弧，知二推三.
典例分析
[例1]
如图，以△OAB 的顶点O为圆心的⊙O 交AB 于点C，D，且AC
= BD . 求证：OA = OB .
E
证明：作 OE⊥ AB，垂足为点 E.
由垂径定理，得 CE = DE .
∵ AC = BD，
∴ AC + CE = BD + DE，即 AE = BE .
∴ OE 为线段 AB 的垂直平分线.
∴ OA = OB .
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.例如：OE是CD的弦心距.
归纳总结：在圆中，作弦心距是常用的辅助线，可以利用垂径定理产生的结论来推理.
[例2]
典例分析
1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为 7.23 m .求桥拱所在圆的半径（精确到 0.1 m）.
归纳小结
作弦心距和连半径是圆中常见的辅助线，应用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理来解决的.
a
拓展：
设半径OC=r，弦心距OE=d，弦CD的一半CE（半弦）为a，拱高AE为m，在这四个量r，d，a，m中，知二推二.
随堂检测
垂径定理 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
C
B
随堂检测
3.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知AB=16，CM=4，求OA.
└
课堂小结
圆具有怎样的对称性？
垂径定理及其推论的内容是什么？
一条线，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径)，④平分优弧，⑤平分劣弧，知二推三.
在圆中，经常作弦心距、连半径、和半弦构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度.弦心距、半径、半弦、拱高知二推二.
3.在圆中,通常怎样构造直角三角形解决问题
作业布置
详见教材练习题
P70 T1-2
谢
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