3.1 第2课时　弧、弦、圆心角之间的关系 课件(共18张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共18张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.1 圆的对称性
第2课时 弧、弦、圆心角之间的关系
课前小测
垂径定理及推论总结出的知二推三的内容是？
一条线，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径)，④平分优弧，⑤平分劣弧，知二推三.
2. 如图，在⊙O 中，已知AB是直径，AB⊥CD.
（1）若AB=10，OE=3，则CD=_________,AE=__________.
（2）若OE=3，CD=8，则AB=________,AE=_________.
（3） 若AE=2，CD=8，则OE=__________,AB=_________.
8
2
10
2
3
10
情境引入
1.任意画一个圆，将圆围绕圆心旋转任意角度，你有什么发现？
围绕圆心旋转任何一个角度，都与原来的圆重合.因此具有旋转不变性.
2.是中心对称图形吗？对称中心是哪个点？
是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
3.什么是圆心角？
如图，在⊙ O 上任取两点 A 与 B，连接 OA， OB，得到∠ AOB . 像∠ AOB 这样，顶点在圆心的角叫做圆心角.
情境引入
问题：今天我们来探究圆中弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系.
合作探究
探究一：圆心角、弧、弦的关系定理
任意画一个⊙O，在⊙O 内画圆心角∠ AOB =∠ A'OB' . 连接 AB， A'B' .作AB和A'B'的弦心距OC和OC′.
C
C′
└
└
(1)以点O为旋转中心，逆时针旋转，旋转角为∠AOA′，OA和OA′重合，这时OB和OB′重合吗？
解：∵∠ AOA' =∠ AOB +∠ BOA' ， ∠ BOB' =∠ A'OB' +∠ BOA' ，∠ AOB =∠ A'OB'，
∴∠ AOA'=∠ BOB' .
∵旋转后半径 OA 与 OA' 重合，
∴半径 OB 与 OB' 重合.
合作探究
探究一：圆心角、弧、弦的关系定理
归纳小结
这就是说，在同圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等,相等弦上的弦心距也相等.
利用旋转的基本性质还可以得出：在同圆中，如果 ，那么∠ AOB=∠ A'OB’，
弦 AB = A‘B, 弦心距OC=OC′’；反之，如果弦 AB = A’B’，那么∠ AOB =∠ A'OB'，
AB= A'B' .这些结论在等圆中也成立.
=
关系定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
几何语言：∵∠ AOB =∠ A'OB'，
∴
，AB = A'B'， OC=OC′.
注意：不在同圆或等圆前提下，由两条弧相等得到其余各组量分别相等也成立，但由其他的推出其余各组量相等必须在同圆或等圆中才成立.
典例分析
[例1]
如图， AB 与 DE 是⊙ O 的两条直径， C 是⊙ O 上一点，AC∥DE .
求证：（1） ；（2）BE=EC.
证明：（1）连接 OC .
∵ AC∥DE，
∴ ∠ AOD =∠ OAC，∠ COE =∠ OCA .
∵ OA = OC ，
∴ ∠ OAC =∠ OCA .
∴ ∠ AOD =∠ COE .
∴ .
（2）∵ ∠ AOD =∠ BOE，
∴ ∠ BOE =∠ COE .
∴ BE = CE .
D
E
C
合作探究
探究二：圆心角的度数与所对弧的度数的关系
问题1：把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份圆心角的度数是多少？
每一份圆心角的度数是1°.
合作探究
问题2：把顶点在圆心的周角等分为 360 份时，整个圆被分成了多少份？每一份的弧是否相等？为什么？
整个圆被分成了360份，整个圆的
叫做 1°的弧. 因此，1°的圆心角所对的弧是 1°的弧；
反之， 1°的弧所对的圆心角是 1°的角. 一般地，
n°的圆心角所对的弧是 n°的弧；
反之，n°的弧所对的圆心角是 n°的角（如图 ）.
由此可见，圆心角与它所对的弧有以下关系：
圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
[例2]
典例分析
如图， OA， OC 是⊙O中两条垂直的半径， D 是⊙O上的一点.连接 AD 并延长与 OC 的延长线相交于点 B， ∠B = 25°. 求弧 AD，弧CD 的度数.
解：连接 OD . 由已知∠ AOB = 90°， ∠ B = 25°，得 ∠ A = 65°.
∵ OA = OD，∴ ∠ ODA =∠ A = 65°.
于是 ∠ DOA = 180° -（ ∠ ODA +∠ A）
= 180° -（ 65° + 65°）
= 50°.
∴ 的度数为 50°.
∵ 的度数为 90°，
∴ 的度数 =
的度数 -
的度数
= 90°- 50°
= 40°.
B
C
D
O
A
[例3]
典例分析
如图，在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的
，圆的半径为2cm，求 AB 的长.
O
A
B
C
└
归纳小结：已知弧的度数，相当于知道圆心角的度数，所以连半径构造圆心角的同时也构造出等腰三角形，利用等腰三角形的性质或垂径定理或勾股定理或三角比来求解.
随堂检测
弧、弦、圆心角之间的关系 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
B
64°
随堂检测
证明：连接AG.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠ABC，∠DAG=∠AGB.
∵AB=AG,∴∠ABC=∠AGB，
∴∠EAD=∠DAG. ∴ .
课堂小结
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
关系定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3. 圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
作业布置
详见教材练习题
P72 T1-3 P74 T1-2
谢
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