3.2　确定圆的条件 课件(共23张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共23张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.2 确定圆的条件
课前小测
∠AOB=∠A′OB′
AB= A′B′
∠AOB=∠A′OB′
AB= A′B′
情境引入
问题：已知一条直线垂直平分一条弦，这条直线过圆心吗？
情境引入
问题1：已知一条直线垂直平分一条弦，这条直线过圆心吗？
问题2：垂直平分线的性质是什么？它的逆定理是什么？
问题3：经过1个点能画几条条直线？两个点呢？
垂直平分弦的直线必过圆心.
性质：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等.
逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
经过1个点能画无数条直线，过两个点有且只有一条直线.
情境引入
经过几个点能确定一个圆呢？
合作探究
探究一：确定圆的条件
分析：要想画一个圆，首先找到圆的__________，然后确定圆的 _________ .
问题1：已知一个点 A，经过点 A 作圆. 你能作出多少个圆？这些圆的圆心和半径能确定吗？
圆心
半径
A
经过一点作圆，因圆心和半径都不确定，所以可作无数个圆（如图）.
合作探究
探究一：确定圆的条件
问题2：已知两点 A， B，经过这两点作圆. 你能作出多少个圆？这些圆的圆心的位置有什么特点？这些圆的半径能确定吗？
A
B
经过两点作圆，也可作无数个圆，这些圆的圆心都在线段 AB 的垂直平分线上，半径不确定，所以经过两点能作无数个圆.
合作探究
探究一：确定圆的条件
问题3：已知 A， B， C 是不在同一条直线上的三个点，经过这三点能作圆吗？如果能，怎样作出过这三点的圆？
分析：到点A， B， C距离相等的点既在线段 AB 的垂直平分线上，也在线段BC的垂直平分线上，因此这个点是这两条垂直平分线的交点.
合作探究
已知：如图， A， B， C 是不在同一条直线上的三个点.
求作：⊙ O，使 A， B， C 三点都在⊙ O 上.
A
C
B
O
l1
l2
作法:(1）连接 AB， BC ；
（2）分别作线段 AB 与 BC 的垂直平分线 l1， l2， l1 与 l2 相交于点O；
（3）以点 O 为圆心，以 OA 为半径作⊙O .
⊙O 就是所求作的经过 A， B， C 三点的圆.
合作探究
C
l2
A
B
O
l1
∵A， B， C 三点不在同一条直线上，
∴ l1 与 l2 有且只有一个交点 O，
∴圆心 O的位置唯一确定.
由于点 O 到 A， B， C 三点的距离相等，
∴A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上.
∴过 A， B， C三个点能作且只能作一个圆.
归纳总结：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
合作探究
定义
如图，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
如图，⊙ O是△ ABC 的外接圆，或者说△ ABC 内接于圆O . O 是△ ABC 的外心.
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等. 任何一个三角形都有且只有一个外心.圆有无数个内接三角形.
合作探究
问题: 分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再作出每个三角形的外接圆. 它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系？
O
归纳小结：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
典例分析
[例1]
如图，这是古代残破的古代铜镜片，你能测出它的半径吗？
A
B
C
O
l1
l2
解：如图，在镜片边缘任取三点A、B、C，连接AB和BC，作线段AB和BC的垂直平分线l1，l2，
它俩的交点即为铜镜所在圆的圆心，
OA（或O点到铜镜边缘任意点的连线）的长是这个古代铜镜片的半径.
合作探究
探究二：反证法
提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1）否定结论——假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个
与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
[例2]
典例分析
证明平行线的性质定理 1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图 ，直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB，CD 分别相交于点 G， H .
求证： ∠ 1 =∠ 2 .
A′
B′
F
A
B
C
D
E
G
H
1
2
根据基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”，可得A'B'∥CD . 这样，过点 G 就有两条直线 AB 与 A'B' 与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠ 1 ≠ ∠ 2 的假设是不对的，所以∠ 1 =∠ 2 .
证明 ：假设∠ 1≠ ∠ 2.过点 G 作直线 A'B'，使∠ EGB' =∠ 2.
[例3]
典例分析
证明： 平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图 ，直线 a∥c， b∥c .
求证： a∥b .
a
b
c
P
证明 ：假设直线 a， b 不平行，那么它们相交，设交点为 P .
由已知 a∥c， b∥c，这样过点 P 就有两条直线 a， b 与直线 c 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明 a， b 不平行的假设是不对的，所以 a∥b .
归纳小结
运用反证法证明时，关键就是在假设结论不成立后，沿着这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或已学过的基本事实、定理、概念等相矛盾的结论.
随堂检测
确定圆的条件 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
B
B
随堂检测
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　)
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
4. Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.则Rt△ABC的外接圆的半径为 .
5
课堂小结
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等. 任何一个三角形都有且只有一个外心.
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
4. 用反证法证明一个命题的步骤是什么？
（1）否定结论——假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
1.怎样的点能确定一个圆
2.三角形的外心是怎样定义的 三角形的外心有怎样的性质
3.不同形状的三角形的外心分别在三角形的哪个位置
作业布置
详见教材练习题
P80 T1-4
谢
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