3.3第2课时　圆周角定理的推论2,3,4 课件(共23张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共23张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.3 圆周角
第2课时 圆周角定理的推论2，3，4
课前小测
圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
圆周角定理的内容是什么？
2. 圆周角定理推论1的内容是什么？
推论1　圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
情境引入
O
A
B
(1)如下图，在⊙O中，劣弧AB所对的圆心角有多少个？
劣弧AB所对的圆心角只有一个∠AOB.
(2)它所对的圆周角有多少个？它们什么关系呢？
由此可得：同弧上的圆周角相等.
有无数个.
∵∠ C1， ∠ C2， ∠ C3 的度数都等于 度数的一半，
∴∠ C1 =∠ C2 =∠ C3 .
情境引入
相等的弧所对的圆周角什么关系呢？
合作探究
探究一：圆周角定理的推论2
右图中如果
，∠C和∠F相等么？反之，也成立吗？
分析：∵∠ C的度数都等于
度数的一半， ∠F 的度数都等于
度数的一半，
∴∠ C=∠F
∵
由此可得：等弧上的圆周角相等
合作探究
探究一：推论2
分析：∵∠ C的度数都等于
度数的一半， ∠F的度数都等于
度数的一半，
∵∠ C=∠F
∴
由此可得：相等的圆周角所对的弧相等.
归纳小结
推论2 同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
注意：由相等的圆周角得到弧相等时，必须在同圆或等圆中才成立.
或∵
∴∠ C=∠F.
，
几何语言：∵
=
∴∠ C1 =∠ C2 =∠ C3 .
合作探究
探究二：推论3
（1）在⊙O 中，AB是圆的直径， 它所对的圆周角∠ACB 的度数是多少？为什么？
分析：因为直径AB分⊙O为两个半圆，半圆的度数是180°，
所以∠ACB=
.
由此可得：直径所对的圆周角是直角.
合作探究
探究二：推论3
（2）∠ ACB 是⊙O的圆周角，∠ ACB = 90°，那么它所对的弦经过圆心吗？为什么？
因为∠ACB=90°，
所以它所对的弧的度数是180°.
所以AB为直径.
由此可得：90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳小结
推论3 直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
几何语言：∵AB是直径，∴∠C=90°.
逆定理：∵∠C=90°，∴AB是直径.
典例分析
[例1]
如下图， AD是△ABC 的高，AE是△ABC 的外接圆直径，点O为
圆心.△ADC与△ABE相似吗？说明理由
解 △ ADC ∽△ ABE . 理由如下：
∵ AE 为⊙ O 的直径，∴ ∠ ABE = 90°.
∵ AD⊥ BC，∴ ∠ ADC = 90°. ∠ ADC = ∠ ABE .
∵ ∠ ACD =∠ AEB，
∴△ ADC ∽△ ABE .
探究二：推论3
同弧或等弧上的圆周角相等是在圆内判断角的相等关系的重要依据.
已知直径通常作直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，反之有直角作直径.
探究三：推论4
典例分析
如下图，像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 在图中，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形 ABCD 的外接圆.
探究三：推论4
典例分析
问题：∠ A 与∠ C 具有怎样的数量关系？ ∠ B 与∠ D 也具有这样的数量关系吗？
分析：因为
与
由圆周角定理可知， ∠ A +∠ C = 180° .
同理， ∠ B +∠ D = 180° .
归纳总结：推论4　圆内接四边形的对角互补.
的度数之和为360°，
探究三：推论4
[例2]
典例分析
如下图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BOD = 140°，求∠C的度数.
探究三：推论4
[例3]
典例分析
如下图，△ABC 内接于⊙ O，D，F 分别是
与
上的点， ,
连接 AF 并延长交 CB 的延长线于点 E，连接 AD，CD，
求证： ∠ CAD =∠ E .
证明 ∵
，∴ ∠ BAE =∠ ACD .
∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，
∴ ∠ ABC +∠ D = 180°.
∵ ∠ ABC +∠ ABE = 180°，
∴ ∠ ABE =∠ D ,∴△ CDA ∽△ ABE .
∴ ∠ CAD =∠ E .
拓展
推论4的拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
E
如图，四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠CBE=∠ADC.
证明∵四边形 ABCD 内接于⊙ O，
∴ ∠ ADC +∠ ABC = 180°.
又∵∠ CBE +∠ ABC = 180°，
∴∠CBE=∠ADC.
随堂检测
圆周角定理推论2、3、4
课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
B
C
随堂检测
8
C
随堂检测
5.如图，AB是半圆O的直径，AE为弦，C 为
BC交AE于点G．求证：AF＝FC．
的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，
证明：∵点C是的中点，
∴∠B＝∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACF
∴∠B＝∠CAF＝∠ACF，∴AF＝FC．
课堂小结
推论2 同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论3 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论4　圆内接四边形的对角互补.
推论4的拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
这三个推论都是圆中证角或边的最常用的，见到圆周角去找它所对的弧，从而再去找弧所对的圆周角有哪些，已知直径，首先第一反应是找直角.
作业布置
详见教材练习题
P89 T1-2
P87 T1-2
谢
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