3.4 第4课时　切线长定理 课件 (共22张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共22张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.4 直线与圆的位置关系
第4课时 切线长定理
课前小测
城市广场有一个圆形的喷水池，如图中的圆环部分是喷水池的围墙.为了测量圆环的面积，小亮与小莹取来一根卷尺，拉直后使它与内圆相切，与外圆交于A , B 两点，量得AB 的长为12 m ，你能由此求出圆环的面积吗？
A
B
C
O
∵AB与小圆相切于点C，
∴OC垂直平分AB.
解：如图，连接OA，OC.
情境引入
问题：过圆上一点能作几条切线？
情境引入
从⊙O上任取一点A，过点A能作圆的几条切线？
过圆上一点只能作一条切线.
A
情境引入
过圆外一点能作圆的几条切线呢？
合作探究
探究：切线长定理
问题1：从情境导入图中⊙O 的切线上任取一点P，过点P作⊙O的切线能作几条？怎么作呢？
把画出的图形沿直线 PO 对折，点 A关于 PO 的对称点 B 在⊙O 上.连接PB，则 PB 与⊙O 相切，点 B 是切点，由于 PA 与 PB关于 PO 成轴对称，可以发现经过圆外一点可以画圆的两条切线PA， PB，并且PA = PB .
A
P
O
B
合作探究
探究：切线长定理
问题2：能证明你的结论是正确的吗？
如下图，已知 P 是⊙O 外一点， PA 是⊙O 的切线. 过切点 A 作 PO 的垂线，垂足为点 C，交⊙ O 于点B，连接 PB， OA， OB.
A
P
O
B
C
解：∵ OA = OB， OP⊥ AB，
∴ ∠ AOP =∠ BOP . ∵ OP = OP，
∴ △ OPA ≌△ OPB（ SAS）.
∵ ∠ OAP = 90°，
∴ ∠ OBP =∠ OAP = 90°.
∴ PB 是⊙ O 的切线，且 PA = PB .
B
合作探究
定义：
经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
归纳小结：
切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
几何语言
∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB.
问题3：切线与切线长有区别吗？
有区别：切线是直线，是图形，不能度量;
切线长是线段的长，可以度量.
典例分析
[例1]
如下图，P 为⊙O 外一点， PA， PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是
切点， BC 是⊙ O 的直径.
（1）求证： AC∥OP；
（2）如果∠ APB = 70°，求
的度数.
A

P

B

O

C

D
∵ PA， PB 分别切⊙ O 于 A， B 两点.
∴ OA = OB， PA = PB， OP = OP，△ AOP ≌△ BOP .
∴ ∠ OPA =∠ OPB， OP 平分∠ APB .
∴ PD⊥AB， ∠ PDA = 90°.
又∵ BC 是⊙ O 的直径，∴ ∠ CAB = 90°.∴ AC ∥ OP .
（1）证明：连接 OA， AB， AB 交 PO 于点 D .
典例分析
A

P

B

O

C

D
[例1]
如图，P 为⊙O 外一点， PA， PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， BC 是⊙ O 的直径.
（1）求证： AC∥OP；
（2）如果∠ APB = 70°，求
的度数.
[例2]
典例分析
如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4 cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：
（1）△PDE的周长；（2）∠DOE的度数.
解：(1) ∵ PA、PB、DE是切线,
∴ PA=PB，AD=DC，EC=BE,
∴PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PA+PB=8 cm.
典例分析
∵ PA、DE是切线∴ ∠OAD=∠OCD=90
又∵OA=OC，OD=OD∴⊿ ADO≌⊿ COD
∴∠DOA=∠DOC。同理 ∠COE=∠BOE
∴∠DOE=∠AOB
∵PA、PB是切线∴ ∠OAP=∠OBP=90
∴∠AOB=180°-∠P=140 ， ∴∠DOE= ∠AOB=70
（2）连接OA、OB、OC.
[例2]
如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4 cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：
（1）△PDE的周长；（2）∠DOE的度数.
归纳小结
例1和例2都是切线长定理的应用，当已知一条切线时，连半径，得垂直.已知过圆外一点的两条切线时，重点用切线长定理的结论，切线长相等来推理.
随堂检测
切线长定理 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1. 如图，正方形ABCD 边长为4cm，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC 相交于E点，则△ADE 的面积（　　）
12 B．24 C．8 D．6
D
随堂检测
2. 如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是 (　 　)
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
D
随堂检测
3．如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧EDF上．若∠BAC＝66°，则∠EPF= 度．
57°
随堂检测
4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC.
证明:（1）连接OB
∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB.
∵AO=BO，PO=PO.
∴Rt△PAO≌Rt△PBO.∴∠APO=∠BPO.
即PO平分∠APC.
随堂检测
（2）由（1）可知Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠AOP=∠BOP.
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBC=90°.
∵∠C=30°，∴∠BOC=60°.
∴∠BOD=60°.∵OB=OD,
∴∠OBD=60°.∴∠OBD=∠BOC.∴DB∥AC.
4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC.
课堂小结
一、定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
二、切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
几何语言:∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB.
切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，可以度量.
作业布置
详见教材练习题
P98 T1-2
谢
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