第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
1.平方根
@预习导航
1.平方根的概念
定 义：如果一个数的 等于a，那么这个数叫做 ，即如果 ＝a，那么 就叫做a的平方根.
2.平方根的性质
性 质：(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0只有一个平方根，就是0本身；
(3)负数没有平方根.
3.算术平方根的概念
定 义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，a称为被开方数.
注 意：(1)当a≥0时，表示a的算术平方根，±表示a的平方根；
(2)由于一个正数a有两个平方根且互为相反数，因此当已知a的算术平方根为时，可以得到它的另一个平方根为－.
4.开平方的概念
定 义：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
注 意：“开平方”就是求一个数的平方根；开平方与平方互为逆运算，负数不能进行开平方运算.
5.用计算器求一个非负数的算术平方根
目 的：使用计算器可以求出任何非负数的算术平方根(有时得到的是近似值)，然后根据平方根与算术平方根的关系，便可以写出其平方根.
步 骤：先按开机键，然后按“”键，再输入被开方数，最后按“”键.
@归类探究
类型之一 平方根与算术平方根的概念
求下列各数的平方根与算术平方根：
(1)25；
(2)0；
(3).
类型之二 开平方运算
将下列各数开平方：
(1)144；
(2)0.81；
(3)；
(4)(－17)2.
类型之三 用计算器求算术平方根
用计算器求的值(精确到0.01)，结果为( )
A.6.69 B.6.7
C.6.70 D.±6.70
@当堂测评
1.[2024·内江]16的平方根是( )
A.2 B.－4 C.4 D.±4
2.[2024秋·金水区校级月考]“的平方根是±”的数学表达式是( )
A.±＝± B.＝±
C.＝ D.±＝
3.下列说法不正确的是( )
A.6是36的平方根 B.－6是36的平方根
C.36的平方根是±6 D.36的平方根是6
4.(1)[2024·广安]3－＝ ；
(2)[2024·德阳]＝ .
@分层训练
1.[2024秋·内江期中]下列说法正确的是( )
A.1的平方根与算术平方根都是1
B.－4的算术平方根是2
C.的平方根是±4
D.4的平方根是±2
2.[2024·广东]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 .
3.求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
4.计算：
(1)＋2×(－3)；
(2)＋｜－5｜－22.
5.[2024春·宜宾月考]若≈6.753，≈67.53，则x＝ .
6.一个正数a的平方根是2b－1和b＋4，则a＋b－1的平方根为 .
7.[2024秋·洪雅县期末]已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，那么a－2b的平方根是 .
8.可用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间.某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560m2，这个足球场能用于国际比赛吗？请说明理由.
9.(创新意识、推理能力)已知实数a、b、c满足：＋｜b＋4｜＋(c－3)2＝0，求：
(1)a，b，c的值；
(2)a＋b＋c的平方根.
参考答案
【预习导航】
1.平方 a的平方根 x2 x
【归类探究】
【例1】 (1)25的平方根是±5，算术平方根是5.
(2)0的平方根是0，算术平方根是0.
(3)的平方根是±，算术平方根是.
【例2】 (1)144的平方根为±12.
(2)0.81的平方根为±0.9.
(3)的平方根为±.
(4)(－17)2的平方根为±17.
【例3】 C
【当堂测评】
1.D 2.A 3.D 4.(1)0 (2)3
【分层训练】
1.D 2.5
3.(1)9 (2) (3)1000
4.(1)0 (2)4
5.4560 6.± 7.±1
8.这个足球场能用于国际比赛.理由略.
9.(1)a＝5，b＝－4，c＝3
(2)a＋b＋c的平方根为±2.
。第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
2.立方根
@预习导航
1.立方根的概念
定 义：如果一个数的 等于a，那么这个数叫做a的立方根.数a的立方根，记作，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
性 质：任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是 .
注 意：中的根指数3不能省略，因为当根指数3省略时，表示a的算术平方根.
2.开立方的概念
定 义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注 意：(1)开立方与立方互为逆运算；
(2)＝－；
(3)利用计算器可以求出任何数的立方根.
@归类探究
类型之一 立方根的概念
求下列各数的立方根：
(1)－27；
(2)；
(3)0.216.
求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)()3；
(4).
类型之二 开立方的应用
求下列各式中x的值：
(1)8x3＝27；
(2)－27x3＝64；
(3)(x－1)3＝125.
已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积等于原正方体的体积的8倍，求要做的正方体的棱长.
类型之三 用计算器求立方根
用计算器求下列各数的立方根：
(1)2197；
(2)－512；
(3)9.261.
@当堂测评
1.[2024春·内江期末]下列说法正确的是( )
A.－4的平方根是－2 B.－8的立方根是±2
C.负数没有立方根 D.－1的立方根是－1
2.用计算器求39800的立方根，结果是( )
A.3.414 B.34.14 C.15.9 D.1.59
3.[2024秋·周口期末]已知＝1－a2，则a的值为( )
A.± B.0或±1
C.0或± D.0、±1或±
@分层训练
1.[2024秋·宜宾月考]下列计算正确的是( )
A.＝2 B.＝－0.4
C.()3＝21 D.－＝－2
2.(1)[2024·巴中]27的立方根是 ；
(2)[2024·大庆]＝ ；
(3)[2024·包头]＋(－1)2024＝ .
3.求下列各数的立方根：
(1)729；
(2)106；
(3)－.
4.求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
5.[2023·内江]若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a＋2b－c＝ .
6.[2024秋·山西期中]如图是一块体积为343cm3的立方体铁块.
(1)求这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个小立方体铁块的体积为218cm3，求另一个小立方体铁块的棱长.
7.已知2a－1的立方根是3，4是3a＋b－1的平方根，求a－2b的算术平方根.
8.(数据观念、推理能力)(1)填写下表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
上表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？这个规律用倍数关系的语言应该怎样叙述？
(2)利用规律计算：已知＝b，＝m，＝n，求m、n的值(用b表示).
(3)根据(2)，若＝100b，求x的值.
参考答案
【预习导航】
1.立方 正数 负数 0
【归类探究】
【例1】 (1)－3 (2) (3)0.6
【例2】 (1)－8 (2)4 (3)0.7 (4)－
【例3】 (1)x＝ (2)x＝－ (3)x＝6
【例4】 要做的正方体的棱长为10cm.
【例5】 (1)13 (2)－8 (3)2.1
【当堂测评】
1.D 2.B 3.D
【分层训练】
1.B 2.(1)3 (2)－2 (3)3
3.(1)9 (2)100 (3)－
4.(1)0.3 (2)－0.8 (3)
5.－2
6.(1)这个铁块的棱长为7cm.
(2)另一个小立方体铁块的棱长为5cm.
7.a－2b的算术平方根是8.
8.(1)0.01 0.1 1 10 100
(1)规律：被开方数扩大(或缩小)为原来的1000倍(或)，它的立方根就相应地扩大(或缩小)为原来的10倍(或).
(2)m＝，n＝10b. (3)x＝12000000
。
