第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
2.幂的乘方
@预习导航
1.幂的乘方法则
法 则：幂的乘方，底数 ，指数 .
表达式：(am)n＝ (m、n为正整数).
拓 展：幂的乘方法则可以推广到多层指数的情形.如[(am)n]p＝amnp，其中m、n、p均为正整数.
2.幂的乘方法则的应用
注 意：(1)在幂的乘方法则中，m、n也可以用表示正整数的其他字母或式子来代替，而底数a不仅可以表示数，也可以表示单项式、多项式等；
(2)不能混淆幂的乘方与同底数幂的乘法，幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变，指数相乘)，而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变，指数相加).
法则逆用：amn＝(am)n＝(an)m(m、n为正整数).
@归类探究
类型之一 运用幂的乘方法则计算
计算：
(1)(103)3；
(2)(xm)2；
(3)－(x4)3；
(4)(am－2)3；
(5)[(a＋2b)4]2.
类型之二 幂的乘方法则的综合应用
已知10a＝2，10b＝3，求：
(1)102a＋103b的值；
(2)102a＋3b的值.
对于整数a、b定义运算：a※b＝(ab)m＋(ba)n，其中m、n为常数，如3※2＝(32)m＋(23)n.
(1)填空：当m＝1，n＝2025时，2※1＝ ；
(2)若1※4＝10，2※2＝15，求42m＋n的值.
@当堂测评
1.[2024·河南]计算()3的结果是( )
A.a5 B.a6 C.aa＋3 D.a3a
2.有一道计算题：计算(－a4)2.李老师发现全班有以下四种解法：
①(－a4)2＝(－a4)·(－a4)＝a4·a4＝a8；
②(－a4)2＝－a4×2＝－a8；
③(－a4)2＝(－a)4×2＝(－a)8＝a8；
④(－a4)2＝(－1×a4)2＝(－1)×a4×(－1)×a4＝a4·a4＝a8.
你认为其中完全正确的是 (填序号).
@分层训练
1.计算(－a2)3的结果是( )
A.－a6 B.a6 C.－a5 D.a5
2.下列运算正确的是( )
A.a2＋a2＝a4 B.a5－a3＝a2 C.a2·a2＝2a2 D.(a5)2＝a10
3.[2024春·内江月考]已知下列算式：①(a3)3＝a6；②a2·a3＝a5；③2m·3n＝6m＋n；④－a2·(－a)3＝a5；⑤(a－b)3·(b－a)2＝(a－b)5.其中计算结果正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如果一个正方体的体积为106cm3，那么这个正方体的棱长为( )
A.10cm B.102cm C.103cm D.106cm
5.若23·25＝x2，则x＝ .
6.计算：
(1)(102)3；
(2)－(a2)4；
(3)(x3)5·x3；
(4)[(－x)2]3；
(5)(－a)2(a2)2；
(6)x·x4－x2·x3.
7.计算：
(1)(－m5)4(－m2)2；
(2)－a·a5－(a2)3－4(－a3)2；
(3)[(x＋y)2]3·[(x＋y)3]4－2[(x＋y)3]6.
8.(1)若3m＝9n＝2，则3m＋2n＝ ；
(2)若(32)m＝2722，则m＝ .
9.(1)若10x＝3，10y＝2，求103x＋4y的值；
(2)已知3m＋2n－6＝0，求8m·4n的值.
10.(模型观念)阅读下列两则材料，解决问题.
材料一：比较322和411的大小.
解：∵411＝(22)11＝222，且3＞2，
∴322＞222，即322＞411.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较28和82的大小.
解：∵82＝(23)2＝26，且8＞6，
∴28＞26，即28＞82.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
【方法运用】
(1)比较344、433、522的大小；
(2)比较8131、2741、961的大小；
(3)已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小.
参考答案
【预习导航】
1.不变 相乘 amn
【归类探究】
【例1】 (1)109 (2)x2m (3)－x12 (4)a3m－6 (5)(a＋2b)8
【例2】 (1)31 (2)108
【例3】 (1)3 (2)324
【当堂测评】
1.D 2.①④
【分层训练】
1.A 2.D 3.B 4.B 5.±16
6.(1)106 (2)－a8 (3)x18 (4)x6 (5)a6 (6)0
7.(1)m24 (2)－6a6 (3)－(x＋y)18
8.(1)4 (2)33
9.(1)432 (2)64
10.(1)344＞433＞522 (2)8131＞2741＞961
(3)a＜b
。第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
3.积的乘方
@预习导航
积的乘方
法 则：积的乘方，等于 ，再把 相乘.
表达式：(ab)n＝ (n为正整数).
拓 展：积的乘方可以推广为
(1)(abc)n＝an·bn·cn(n为正整数)；
(2)[(a＋b)(a－b)]n＝(a＋b)n·(a－b)n(n为正整数).
@归类探究
类型之一 运用积的乘方法则计算
计算：
(1)(2a)3；
(2)(－5b)3；
(3)(xy2)2；
(4)(－2x3)4.
【点悟】 正确运用(ab)n＝anbn进行计算，注意结果的正负性.
类型之二 积的乘方与幂的乘方法则的综合应用
计算：
(x2y)2·(x2y)－(－2x2y)3＋x4·(x2y3).
【点悟】 做混合运算时，先要认真分析题目包含的运算，确定应采用的运算顺序等，然后灵活运用所学运算法则(性质)计算，并注意符号.
类型之三 逆用积的乘方法则
简便计算：
(1)(－9)3×(－)3×()3；
(2)×(23)3；
(3)(－0.25)5×210.
【点悟】 逆用同底数幂相乘、幂的乘方以及积的乘方，可以简化计算.
@当堂测评
1.计算(3a)2的结果是( )
A.5a B.3a2 C.6a2 D.9a2
2.[2023·衡阳]计算的结果是( )
A.x6 B.x6 C.x5 D.x9
3.[2024秋·忻州月考]计算(－2a3b)3的结果是( )
A.－6a6b3 B.－8a6b3
C.－6a9b3 D.－8a9b3
4.计算(－3)100×(－)101的结果是( )
A.－1 B.1 C.－ D.
5.计算a·a5－(2a3)2的结果是( )
A.a6－2a5 B.－a6 C.a6－4a5 D.－3a6
@分层训练
1.下列运算错误的是( )
A.(2mn)2＝4m2n2 B.(－2mn)2＝4m2n2
C.(2m2n2)3＝8m6n6 D.(－2m2n2)3＝－8m5n5
2.[2024春·宜宾期中]下列运算中，计算结果正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(2a2)3＝6a5
C.(a2b)2＝a4b2 D.a3＋a3＝2a6
3.计算－(－3a)2的结果是( )
A.－6a2 B.－9a2 C.6a2 D.9a2
4.计算(2×106)3的结果是( )
A.6×109 B.8×109 C.2×1018 D.8×1018
5.计算：
(1)(a3b)4＝ ；
(2)[(xy2)3]2＝ ；
(3)(－a2b2)2·a＝ .
6.运用积的乘方法则进行计算：
(1)[(－a2bn)3·(an－1b2)3]5；
(2)(－x4)4＋(－x2)3·x10－x4·(－x4)3；
(3)(a－b)n·[(b－a)n]2.
7.已知n为正整数，且x2n＝2，则(3x3n)2－4(x2)2n＝ .
8.小明做了这样一道题，他的方法如下：
310×＝310××＝×＝1×＝.
请你用他的方法计算：
(1)×(－0.75)2026；
(2)2025n×.
9.已知10a＝20，100b＝50，求a＋b＋的值.
10.(运算能力)(1)已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值；
(2)已知3×2x＋3×4x＋3＝96，求x的值.
参考答案
【预习导航】
把积的每一个因式分别乘方 所得的幂 anbn
【归类探究】
【例1】 (1)8a3 (2)－125b3 (3)x2y4 (4)16x12
【例2】 10x6y3
【例3】 (1)8 (2)8 (3)－1
【当堂测评】
1.D 2.B 3.D 4.C 5.D
【分层训练】
1.D 2.C 3.B 4.D
5.(1)a12b4 (2)x6y12 (3)a5b4
6.(1)－a15n＋15b15n＋30 (2)x16 (3)(a－b)3n
7.56
8.(1)－ (2)
9.3
10.(1)x＝7 (2)x＝－
。第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
@预习导航
1.同底数幂的乘法法则
法 则：同底数幂相乘，底数 ，指数 .
表达式：am·an＝ (m、n为正整数).
拓展：am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p(其中m、n、…、p均为正整数).
2.同底数幂的乘法法则的逆用
表达式：am＋n＝am·an(m、n为正整数).
注 意：(1)逆用同底数幂的乘法法则，可以把一个幂分解成两个或两个以上同底数幂的积，其中它们的底数与原来的幂的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数；
(2)对于含有(－x)n的形式的式子，可利用下面的计算方法化简：
(－x)n＝
@归类探究
类型之一 利用同底数幂的乘法法则计算
计算：
(1)－a·(－a)3＝ ；
(2)27×3n＝ ；
(3)(a－b)2·(a－b)3＝ ；
(4)(a－b)2·(b－a)3＝ .
把下列各式化成(a－b)p的形式：
(1)(a－b)3[－(a－b)q＋5](b－a)2；
(2)(a－b)(b－a)4(b－a)5.
类型之二 同底数幂的乘法法则的逆用
已知xm＝2，xn＝3，化简下列各式：
(1)xm＋1；
(2)xn＋3；
(3)xm＋n＋2.
@当堂测评
1.下列计算结果正确的是( )
A.a3·a3＝a9 B.m2·n2＝mn4 C.xm·x3＝x3m D.y·yn＝yn＋1
2.[2024·宜宾月考]化简(－x)3(－x)2，结果是( )
A.－x6 B.x6 C.x5 D.－x5
3.计算：
(1)28×27＝ ；
(2)(a－b)2·(a－b)＝ ；
(3)－a2·a6＝ .
@分层训练
1.下列计算中，正确的是( )
A.a2·a4＝a8 B.a5·a5＝2a10
C.b2＋b2＝b4 D.a10·a＝a11
2.已知2m·2m＝218，则m的值是( )
A.3 B.4 C.8 D.9
3.设5m＝x，5n＝y，则5m＋n＋3＝( )
A.125xy B.x＋y＋15
C.x＋y＋125 D.15xy
4.计算：
(1)x3·x2；
(2)y·y2·y3；
(3)3×34×36；
(4)xm·x3m＋1.
5.计算：
(1)(－5)×(－5)2×(－5)3；
(2)－a·(－a)5；
(3)－a3·(－a)2；
(4)(a－b)3·(a－b)5；
(5)(a＋1)2·(1＋a)·(a＋1)3.
6.[2024春·内江期中]已知x＋y－3＝0，则2x×2y的值为( )
A.64 B.8 C.6 D.12
7.[2025·嘉峪关一模]我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，如f(6)＝f(3＋3)＝f(3)·f(3).若f(2)＝k(k≠0)，则f(128)的结果是( )
A.128k B.64k C.264k D.k64
8.规定a*b＝2a×2b.
(1)计算：1*3＝ ；
(2)若2*(2x＋1)＝64，求x的值.
9.(创新意识)阅读下列材料.
小明为了计算1＋2＋22＋…＋22024＋22025的值，采用以下方法：
设S＝1＋2＋22＋…＋22024＋22025， ①
则2S＝2＋22＋23＋…＋22025＋22026， ②
②－①，得S＝22026－1.
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1＋2＋22＋…＋29＝ ；
(2)3＋32＋…＋310＝ ；
(3)求1＋a＋a2＋…＋an的值.(a＞0，n是正整数，请写出计算过程)
参考答案
【预习导航】
1.不变 相加 am＋n
【归类探究】
【例1】 (1)a4 (2)33＋n (3)(a－b)5 (4)(b－a)5
【例2】 (1)－(a－b)10＋q (2)－(a－b)10
【例3】 (1)2x (2)3x3 (3)6x2
【当堂测评】
1.D 2.D
3.(1)215 (2)(a－b)3 (3)－a8
【分层训练】
1.D 2.D 3.A
4.(1)x5 (2)y6 (3)311 (4)x4m＋1
5.(1)56 (2)a6 (3)－a5 (4)(a－b)8
(5)(a＋1)6
6.B 7.D
8.(1)16 (2)x＝1.5
9.(1)210－1 (2)
(3)1＋a＋a2＋…＋an＝
。第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
4.同底数幂的除法
@预习导航
1.同底数幂的除法法则
法 则：同底数幂相除，底数不变，指数 .
表达式：am÷an＝am－n(m、n为正整数，m＞n，a≠0).
2.同底数幂的除法法则的应用
注 意：(1)运用法则的关键是看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；
(2)因为零不能作除数，所以底数a≠0，这是运用此法则的前提条件；
(3)注意指数为“1”的情况，如a，不能把a的指数当作0；
(4)多个同底数幂相除时，应按顺序计算.
@归类探究
类型之一 运用同底数幂的除法法则计算
计算：
(1)x7÷x6；
(2)m4÷m；
(3)(－a)10÷(－a)7；
(4)(xy)5÷(xy)3.
计算：
(1)(x2y)5÷(x2y)2；
(2)(a10÷a2)÷a3；
(3)a2·a5÷a5.
类型之二 同底数幂的除法法则的逆用
已知5m＝6，5n＝3，求5m－n的值.
【点悟】 对于am÷an＝am－n，反过来即为am－n＝am÷an.在逆用同底数幂的除法法则时，要注意底数要相同，且不为0.
@当堂测评
1.[2024秋·太原月考]计算x6÷x3的结果是( )
A.x3 B.x2 C.2x2 D.1
2.[2024·湖南]下列计算正确的是( )
A.3a2－2a2＝1 B.a3÷a2＝a(a≠0)
C.a2·a3＝a6 D.(2a)3＝6a3
3.计算：
(1)x5÷x3＝ ；
(2)(－x)6÷(－x)3＝ ；
(3)(－x)6÷x3＝ ；
(4)(xy)4÷(xy)＝ ；
(5)b2m＋2÷bm－1＝ ；
(6)(m－n)5÷(n－m)3＝ .
@分层训练
1.[2024·连云港]下列运算结果等于a6的是( )
A.a3＋a3 B.a·a6 C.a8÷a2 D.(－a2)3
2.下列计算正确的是( )
A.a3÷a＝a2 B.(2x)3÷2x＝x2
C.(－x)6÷(－x)3＝x3 D.a10÷(－a2)3＝a4
3.计算106×(102)3÷104的结果是( )
A.108 B.109 C.1010 D.1012
4.[2024·宜宾]下列计算正确的是( )
A.a＋a＝a2 B.5a－3a＝2
C.3x·2x＝6x2 D.(－x)3÷(－x)2＝x
5.计算(x－y)3÷(x－y)2的结果是 .
6.用一个容量为2GB(1GB＝210MB)的便携式U盘存储数码照片，若每张数码照片的文件大小都约为16MB，则理论上可以存储 张照片.
7.计算：
(1)(ax)5÷(ax)3；
(2)(x2)5÷(x2)2；
(3)(a3)2÷(a2)3；
(4).
8.[2023·乐山]若m、n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝ .
9.计算：
(1)a7·a6÷(a4)3；
(2)(a－b)9÷(a－b)2·(a－b)3.
10.[2024秋·洪雅县期中]若2m＝3，4n＝8，求23m－2n＋1的值.
11.(运算能力)某种液体每升含有1012个有害细菌，某种消毒液1滴可以杀死109个这种有害细菌.若10滴该种消毒液的体积为升，现要将2升该种液体中的有害细菌杀死，要用这种消毒液多少滴？相当于多少升？
参考答案
【预习导航】
1.相减
【归类探究】
【例1】 (1)x (2)m3 (3)－a3 (4)x2y2
【例2】 (1)x6y3 (2)a5 (3)a2
【例3】 2
【当堂测评】
1.A 2.B 3.(1)x2 (2)－x3 (3)x3 (4)x3y3 (5)bm＋3 (6)－(m－n)2
【分层训练】
1.C 2.A 3.A 4.C 5.x－y 6.27
7.(1)a2x2 (2)x6 (3)1 (4)－125
8.16
9.(1)a (2)(a－b)10
10.
11.要用这种消毒液2000滴，相当于0.2升.
。
