第11章 整式的乘除
11.2 整式的乘法
3.多项式与多项式相乘
@预习导航
1.多项式与多项式相乘
法 则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 分别乘以另一个多项式的 ，再把所得的 .
注 意：(1)要用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，不能遗漏；
(2)两多项式相乘的结果仍是多项式，在没有合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式项数的积；
(3)注意符号，多项式中的每一项均包括它前面的符号，计算时要细心；
(4)结果中若有同类项，应合并，使结果最简.
2.特殊二项式相乘
公 式：(x＋a)(x＋b)＝x2＋ ＋ab.
@归类探究
类型之一 运用多项式与多项式相乘法则计算
计算：
(1)(－7x2－8y2)(－x2＋3y2)；
(2)(3x＋2y)(9x2－6xy＋4y2)；
(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y).
类型之二 多项式与多项式相乘的应用
小丽设计了两张邮票，第一张邮票的宽是mcm，长比宽多xcm；第二张邮票的宽等于第一张的长，且第二张的长比宽多2xcm.
(1)求第一张邮票的面积；
(2)第二张邮票比第一张邮票的面积大多少？
@当堂测评
1.下列计算正确的是( )
A.(2x－5)(3x－7)＝6x2－29x＋35
B.(3x＋7)(10x－8)＝30x2＋36x＋56
C.(－3x＋)(－x)＝3x2＋x＋
D.(1－x)(x＋1)＋(x＋2)(x－2)＝2x2－3
2.计算：
(1)(x2＋2)(2x－5)＝ ；
(2)(a＋3)(a－2)＝ ；
(3)(4x－3)(5x＋6)＝ ；
(4)(1＋2a)(1－2a)＝ ；
(5)(2a－b)(3a－b)＝ .
@分层训练
1.若(x－1)(x＋3)＝x2＋mx＋n，则m、n的值分别是( )
A.m＝1，n＝3 B.m＝4，n＝5
C.m＝2，n＝－3 D.m＝－2，n＝3
2.[2023·随州]设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张.如图，要拼一个边长为a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的长方形，则需要C类纸片的张数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.计算：
(1)(x＋y)(2a＋b)；
(2)(a＋b)(a－b)；
(3)(a－b)(a－)；
(4)(3x－2y)(2x－3y)；
(5)(3x＋2)(－x－2).
4.先化简，再求值，其中a＝2.
(1)(a－1)(a－1)＋2(a＋1)；
(2)(a2＋3)(a－2)－a(a2－2a－2).
5.[2024春·山西左权县月考]如图，某市有一块长为(3a＋b)m，宽为(2a＋b)m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像.
(1)绿化的面积是多少平方米？(用代数式表示)
(2)求出当a＝3，b＝2时的绿化面积.
6.[2023·嘉兴、舟山]已知a2＋3ab＝5，则(a＋b)(a＋2b)－2b2的值为 .
7.[2024秋·长宁县期中]已知(x2＋mx－3)·(2x＋n)的展开式中不含x的一次项，常数项是－6.
(1)求m、n的值.
(2)求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值.
8.甲、乙共同计算一道整式乘法：(2x＋a)·(3x＋b)，由于甲抄错成(2x－a)(3x＋b)，得到的结果为6x2＋11x－10；而乙抄错成(2x＋a)(x＋b)，得到的结果为2x2－9x＋10.
(1)式子中的a、b的值各是多少？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案.
9.(推理能力)综合与实践.
【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法(x＋a)(x＋b)”结果的一般性规律问题：
观察发现：(1)①(x－1)(x－3)＝x2－x－3x＋3＝x2＋(－1－3)x＋3＝x2－4x＋3；
②(x＋2)(x＋5)＝x2＋2x＋5x＋10＝x2＋(2＋5)x＋10＝x2＋7x＋10；
③(x－2)(x＋5)＝ ；
④(x－9)(x＋5)＝ .
【规律总结】(2)(x＋a)(x＋b)＝ .
【应用规律】(3)①若(x＋6)(x－2)＝x2＋ax＋b，求a－b的算术平方根；
②若(x－1)(x＋m)的结果不含x的项，求m的立方根.
参考答案
【预习导航】
1.每一项 每一项 积相加
2.(a＋b)x
【归类探究】
【例1】 (1)7x4－13x2y2－24y4 (2)27x3＋8y3
(3)10xy－15x2－y2
【例2】 (1)(m2＋mx)cm2
(2)(3mx＋3x2)cm2
【当堂测评】
1.A 2.(1)2x3－5x2＋4x－10 (2)a2＋a－6 (3)20x2＋9x－18
(4)1－4a2 (5)6a2－5ab＋b2
【分层训练】
1.C 2.C
3.(1)2ax＋bx＋2ay＋by (2)a2－b2
(3)a2－a－ab＋b (4)6x2－13xy＋6y2
(5)－3x2－8x－4
4.(1)原式＝a2＋3.当a＝2时，原式＝7.
(2)原式＝5a－6.当a＝2时，原式＝4.
5.(1)绿化的面积为(5a2＋3ab)m2.
(2)绿化的面积为63m2.
6.5
7.(1)m＝3，n＝2 (2)35
8.(1)a＝－5，b＝－2 (2)6x2－19x＋10
9.(1)③x2＋3x－10 ④x2－4x－45
(2)x2＋(a＋b)x＋ab
(3)①a－b的算术平方根为4.
②m的立方根为1.
。第11章 整式的乘除
11.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
@预习导航
单项式与单项式相乘
法 则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂 ，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为 .
说 明：单项式的乘法可分三部分进行.
(1)系数：积的系数等于各因式系数的积；
(2)相同字母：底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式中出现的字母，连同字母的指数一起作为积的一个因式.
@归类探究
类型之一 运用单项式与单项式相乘法则计算
计算：
(1)2xy2·(xy)；
(2)(－2a2b3)·(－3a)；
(3)2m2·(－2mn)·(－m2n3)；
(4)(－2a2b)·ab·(－8a3bc)2.
类型之二 单项式与单项式相乘的应用
光的速度约为3×105km/s，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102s，地球与太阳的距离约是多少千米？
@当堂测评
1.[2024秋·内江市月考]下列运算正确的是( )
A.m3－m2＝m B.3m2·2m3＝6m5
C.3m2＋2m3＝5m5 D.(2m2)3＝8m5
2.计算(x2)3·(－2x)4的结果是( )
A.16x9 B.16x10 C.16x12 D.16x24
3.计算：(2a)2·a3＝ .
4.计算式子(1.5×105)×(0.38×103)，结果用科学记数法表示为 .
@分层训练
1.[2023·扬州]若( )·2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是( )
A.a B.2a C.ab D.2ab
2.[2023·陕西]计算：6xy2·＝( )
A.3x4y5 B.－3x4y5 C.3x3y6 D.－3x3y6
3.[2024春·眉山期末]已知某个长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为( )
A.9x3y2 B.18x3y2 C.18x2y D.6xy2
4.下列运算正确的是( )
A.(－2ab)·(－3ab)3＝－54a4b4
B.5x2·(3x3)2＝15x12
C.(－0.1b)·(－10b2)3＝－b7
D.(3×10n)(×10n)＝102n
5.卫星脱离地球进入太阳系的速度是1.12×104m/s，则卫星1小时飞行的路程是 m.
6.计算：
(1)(2x)3·(－5xy2)；
(2)(－ab2c)·；
(3)3x3·x3＋(－2x2)3－x8÷x2.
7.计算：
(1)(－x2)·x3·(－2y)3＋(2xy)2·(－x)3y；
(2)·－(－2ab)3；
(3)9x3y3·＋(－x2y)3xy2.
8.已知在1km2的土地上，一年内得到的太阳热辐射能相当于燃烧1.3×105t煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的陆地一年内得到的太阳热辐射能相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？
9.(创新意识)小明计算一道整式乘法题：－2x3m＋1y2n·7xn－6y－3－m.由于小明将第一个单项式中的3m＋1抄成了2m＋1，将第二个单项式中的n－6抄成了6－n，结果得到－14x8y.
(1)根据上述信息，分别计算出m、n的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案.
参考答案
【预习导航】
分别相乘 积的一个因式
【归类探究】
【例1】 (1)x2y3 (2)6a3b3 (3)4m5n4
(4)－6a9b4c2
【例2】 地球与太阳的距离约是1.5×108km.
【当堂测评】
1.B 2.B 3.4a5 4.5.7×107
【分层训练】
1.A 2.B 3.B 4.D 5.4.032×107
6.(1)－40x4y2 (2)a3b3c3 (3)－6x6
7.(1)4x5y3 (2)a3b3 (3)0
8.我国9.6×106km2的陆地一年内得到的太阳热辐射能相当于燃烧1.248×1012t煤所产生的能量.
9.(1)m的值为2，n的值为3.
(2)这道整式乘法题的正确答案为－14x4y.
。第11章 整式的乘除
11.2 整式的乘法
2.单项式与多项式相乘
@预习导航
单项式与多项式相乘
法 则：单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的 ，再将所得的 .
表达式：m(a＋b＋c)＝ .
实 质：单项式与多项式相乘的实质就是应用乘法分配律，把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题.
注 意：(1)单项式与多项式相乘，其结果是一个多项式，这个多项式的项数与因式中的多项式的项数相等，在运算过程中，不要因漏乘而造成漏项；
(2)注意积的符号的确定.一个多项式的每一项都包括它前面的符号，当单项式的系数为正时，积中各项的符号与原多项式中各项的符号一致；当单项式的系数为负时，积中各项的符号与原多项式中各项的符号相反；
(3)在混合运算中，还要严格按运算顺序进行，最终结果中不能含有同类项.
@归类探究
类型之一 运用单项式与多项式相乘法则计算
计算：
(1)2x·(3x2－x－5)＝ ；
(2)(ab2－4a2b)(－4ab)＝ ；
(3)(b2－4a2)(－4ab)＝ .
类型之二 单项式与多项式相乘的应用
解方程：
x(2x－4)＋3x(x－1)＝5x(x－3)＋8.
小明家新买了一套商品房，户型结构如图，小明的爸爸打算把除卫生间外的地面都铺上地板，请你帮小明算一算，至少需要买多少平方米的地板？
@当堂测评
1.计算x(x2－1)的结果是( )
A.x3－1 B.x3－x C.x3＋x D.x2－x
2.下列计算正确的是( )
A.(6xy2－4x2y)·3xy＝18xy2－12x2y
B.(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋x
C.(－3x2y)(－2xy＋3yz－1)＝6x3y2－9x2y2z2－3x2y
D.(an＋1－b)·2ab＝an＋2b－ab2
3.计算a(a＋1)－a的结果是( )
A.1 B.a2 C.a2＋2a D.a2－a＋1
@分层训练
1.计算(－2m)2·(－m·m2＋3m3)的结果是( )
A.8m5 B.－8m5 C.8m6 D.－4m4＋12m5
2.小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3－9x2＋■.“■”的地方被墨水弄污了，你认为“■”处应该是( )
A.1 B.－1 C.3x D.－3x
3.[2023·甘肃]计算：a(a＋2)－2a＝ .
4.计算：
(1)(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；
(2)(－m2n－mn＋1)(－m3n)；
(3)9x(－2x2－xy＋y2)(－xy).
5.计算下列棱柱的体积.
6.[2024秋·内江期中]若a2＋3a＝2，则代数式5a(a＋3)－2的值是 .
7.[2024·眉山期末]先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
8.[2024·山西期中]已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的计算结果中不含x3项，求m的值.
9.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式.请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整.
先去括号，再合并同类项： m(A)－6(m＋1). 解：m(A)－6(m＋1) ＝m2＋6m－6m－6 ＝ .
10.(运算能力)某同学在计算多项式A乘2x2时，因抄错运算符号，算成了加2x2，得到的结果是x2－4x＋1，那么正确的计算结果是 .
参考答案
【预习导航】
每一项 积相加 ma＋mb＋mc
【归类探究】
【例1】 (1)6x3－2x2－10x (2)－2a2b3＋16a3b2 (3)－4ab3＋16a3b
【例2】 x＝1
【例3】 至少需要买(20a2＋4ab)m2的地板.
【当堂测评】
1.B 2.B 3.B
【分层训练】
1.A 2.C 3.a2
4.(1)－6a3b＋4a2b2＋8ab3
(2)m5n2＋m4n2－m3n
(3)18x4y＋9x3y2－9x2y3
5.6x3＋15x2
6.8
7.原式＝－20a2＋9a，当a＝－2时，原式＝－98.
8.m＝0
9.m2－6 A为m＋6.
10.－2x4－8x3＋2x2
。
