第11章 整式的乘除
11.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
@预习导航
1.平方差公式
规 律：两数和与这两数差的积，等于这两数的 .
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ .
公式特征：左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项系数完全相同，另一项系数互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，而且是系数相同项的平方减去系数互为相反数的项的平方.
2.平方差公式的应用
注 意：(1)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；
(2)只要形如两数和与这两数差相乘，符合公式特征，不管字母a、b在哪个位置上，都可以用平方差公式来计算.
@归类探究
类型之一 运用平方差公式进行计算
运用平方差公式计算下列各式：
(1)(3x＋2)(3x－2)＝ ；
(2)(b＋2a)(2a－b)＝ ；
(3)(－x＋2y)(－x－2y)＝ .
类型之二 利用平方差公式简便运算
利用整式乘法公式计算下列各题：
(1)10×9＝ ；
(2)1999×2001＝ .
【点悟】 观察算式特点，构造平方差公式.
类型之三 化简求值
先化简，再求值：(a＋2)(a＋3)＋(1＋a)(1－a)，其中a＝－.
【点悟】 化简中能用平方差公式的要用平方差公式.
@当堂测评
1.下列运算正确的是( )
A.(x＋y)(y－x)＝x2－y2 B.(x＋y)(－y－x)＝x2－y2
C.(x－y)(y－x)＝x2－y2 D.(x＋y)(－y＋x)＝x2－y2
2.[2024·威远中学开学]如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图2所示的长方形，则根据两阴影部分面积相等可以验证的数学公式为( )
A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C.a(a－b)＝a2－ab D.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
3.计算：
(1)(－3x＋y)(3x＋y)＝ ；
(2)(2x＋3)(3－2x)＝ .
(3)(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ .
4.用简便方法计算：
(1)503×497＝ ；
(2)1.02×0.98＝ .
@分层训练
1.[2024春·眉山期中]下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A.(2x＋y)(2y－x) B.(5x－y)(－5x－y)
C.(－x－4y)(x＋4y) D.
2.请你观察图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是 .
3.填空：
(1)(＋ )( －)＝0.09x2－；
(2)( )(m＋n)＝m2－n2；
(3)(－5s＋6t)( )＝25s2－36t2；
(4)(＋ )( －)＝0.04x2－.
4.计算：(x－1)(x＋1)(x2＋1)(x4＋1)＝ .
5.[2024春·山西师大附中月考]已知a2＝b2＋3，则(a＋b)(a－b)＝ .
6.计算：
(1)[2024·内江](x＋2)(x－2)－x2；
(2)2x(2x－3)－(2x＋5)(2x－5).
7.[2024秋·万州期末]有依次排列的2个整式：a＋b、a－b，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：a＋b、a、a－b，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串……依此类推，下列说法：
①第2个整式串为a＋b、a＋、a、a－、a－b；
②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为a2－b2；
③第2024个整式串中，所有整式的和为(22024＋1)a.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.[2024春·山西左权县月考]先化简，再求值：(x＋2y)(x－2y)＋(x＋y)(x2－x＋4y)－3xy，其中x＝－1，y＝2.
9.(运算能力)用简便方法计算：
(1)9×11×101×10001；
(2)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1.
参考答案
【预习导航】
1.平方差 a2－b2
【归类探究】
【例1】 (1)9x2－4 (2)4a2－b2 (3)x2－4y2
【例2】 (1)99 (2)3999999
【例3】 原式＝5a＋7.当a＝－时，原式＝4.
【当堂测评】
1.D 2.B 3.(1)y2－9x2 (2)9－4x2 (3)x2＋2ab＋b2－c2
4.(1)249991 (2)0.9996
【分层训练】
1.B 2.(x＋y)(x－y)＝x2－y2
3.(1)0.3x 0.3x (2)m－n (3)－5s－6t (4)0.2x 0.2x 4.x8－1 5.3
6.(1)25－6x (2)25－6x
7.D
8.原式＝x3＋x2y，把x＝－1，y＝2代入上式，得原式＝1.
9.(1)99999999 (2)264
。第11章 整式的乘除
11.3 乘法公式
2.两数和(差)的平方
@预习导航
1.两数和的平方
规 律：两数和的平方，等于这两数的 加上它们的 .
公 式：(a＋b)2＝ .
2.两数差的平方
规 律：两数差的平方，等于这两数的 减去它们的 .
公 式：(a－b)2＝ .
说 明：由于上述两公式左边是两个数和(或差)的平方，因此把它们称为完全平方公式.
@归类探究
类型之一 运用完全平方公式计算
计算：
(1)(4m＋n)2； (2)(y－)2.
类型之二 利用完全平方公式简便运算
计算：
(1)(60)2； (2)9.82.
类型之三 完全平方公式的综合运用
化简：(a－2b＋3c)(2b－a－3c).
已知a＋b＝3，ab＝－10，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)a2－ab＋b2；
(3)(a－b)2.
@当堂测评
1.下列各式中，能用完全平方公式计算的是( )
A.(3a－2b)(－2b－3a) B.(3a＋2b)(－3a－2b)
C.(3a＋2b)(－2a－3b) D.(3a－2b)(3a＋2b)
2.[2024秋·内江期中]小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是( )
A.＋10xy B.＋10xy或－10xy
C.＋20xy D.＋20xy或－20xy
3.将9.52变形正确的是( )
A.9.52＝92＋0.52
B.9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C.9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
D.9.52＝92＋9×0.5＋0.52
4.将下列各式配成完全平方式：
(1)x2＋6xy＋ ＝ ；
(2) ＋xy＋y2＝ .
5.已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则xy＝ .
@分层训练
1.如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D.(ab)2＝a2b2
2.运用完全平方公式计算：
(1)(5a＋4b)2；
(2)(3x－2y)2；
(3)(－2m－1)2.
3.运用完全平方公式计算：
(1)992；
(2)1012；
(3).
4.[2023·南充]先化简，再求值：(a－2)(a＋2)－(a＋2)2，其中a＝－.
5.若(3x＋2y)2＝(3x－2y)2＋A，则代数式A是( )
A.－12xy B.12xy C.24xy D.－24xy
6.已知实数x满足等式(x－2021)2＋(x－2025)2＝34，则(x－2023)2的值是 .
7.[2024·陕西]先化简，再求值：(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2.
8.(创新意识)[2023·巴中]我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律.
1 ……(a＋b)0＝1
1 1 ……(a＋b)1＝a＋b
1 2 1 ……(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
1 3 3 1 ……(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
… …
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为( )
A.2 B.－4 C.2或4 D.2或－4
参考答案
【预习导航】
1.平方和 积的2倍 a2＋2ab＋b2
2.平方和 积的2倍 a2－2ab＋b2
【归类探究】
【例1】 (1)16m2＋8mn＋n2 (2)y2－y＋
【例2】 (1)3602 (2)96.04
【例3】 －a2－6ac－9c2＋4ab＋12bc－4b2
【例4】 (1)29 (2)39 (3)49
【当堂测评】
1.B 2.D 3.C 4.(1)9y2 (x＋3y)2 (2)x2 (x＋y)2 5.4
【分层训练】
1.A
2.(1)25a2＋40ab＋16b2 (2)9x2－12xy＋4y2
(3)4m2＋4m＋1
3.(1)9801 (2)10201 (3)390
4.原式＝－4a－8.当a＝－时，原式＝－2.
5.C 6.B
7.原式＝2x2＋y2，当x＝1，y＝－2时，原式＝6.
8.C
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