第11章 整式的乘除
11.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
@预习导航
1.单项式除以单项式法则
法 则：单项式相除，把 、 分别相除作为商的因式，对于只在 中出现的字母，则连同它的指数一起作为 .
2.单项式除以单项式法则的应用
注 意：在单项式的除法法则中，对运算所得商的要求如下：
(1)商的系数等于被除式的系数除以除式的系数，这是有理数的除法，应先确定符号，再把绝对值相除；
(2)被除式和除式所含的同底数幂分别相除，将所得结果作为商的一个因式，这是同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
(3)只在被除式中出现的字母，则要连同它的指数一起写在商里，千万不要遗漏.
@归类探究
类型之一 应用单项式除以单项式法则计算
计算：
(1)(－x2y3)÷3x2y；
(2)10a4b3c2÷5a3bc；
(3)(2x2y)3·(－7xy2)÷14x4y3.
类型之二 单项式除以单项式法则的应用
月球与地球的距离s≈3.84×105km，地球的半径R≈6.4×103km.问：
(1)s是R的多少倍？
(2)太阳的半径约为地球半径的102倍，则太阳的体积是地球体积的多少倍？(球的体积计算公式为V＝πR3，其中R为半径)
【点悟】 球的体积之比等于半径之比的三次方，表面积之比等于半径之比的平方.
@当堂测评
1.计算3a6÷a的结果是( )
A.3a6 B.2a5 C.2a6 D.3a5
2.[2024·内江期中]计算(－3a3)2÷a2的结果是( )
A.9a3 B.9a4 C.－6a4 D.－6a3
3.下列计算：①(a3)2÷a5＝1；②(－x4)2÷x4＝x4；③(－m)7÷(－m)2＝－m5；④(－a3b)5÷a5b2＝2a4b.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.计算：
(1)28x4y2÷7x3y2＝ ；
(2)8xy2÷(－4xy)＝ .
@分层训练
1.下列计算中，正确的是( )
①－2a2b3÷(－2ab)＝a2b3；②－2a2b4÷(－2ab2)＝a2b3；
③2ab2c÷ab2＝4c；④a2b3c2÷(－5abc)2＝b.
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
2.计算：
(1)25x3y3÷5x2y3＝ ；
(2)9x3÷(－3x2)＝ ；
(3)(－2a2)3b4÷2a4b3＝ .
3.计算：
(1)2a6b3÷a3b2；
(2)x3y2÷x2y；
(3)3m2n2÷(mn)2；
(4)(2x2y)3÷6x3y2.
4.[2024·眉山期中]一个三角形的面积是8(a2b)3，它的一边长是(2ab)2，那么这条边上的高为( )
A.2a4b B.4a4b C.2a3b D.4a3b
5.学校图书馆藏书约3.6×104册，学校现有师生约1.8×103人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅 册图书.
6.计算：
(1)2a2b·(－3b2c)÷4ab3；
(2)(－xy2)2·x2y÷x3y4；
(3)(－2ay2)4·4ay÷(ay2)3.
7.[2024秋·宜宾江安县期中]化简求值：[(x－y)2－x(3x－2y)＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中x＝1，y＝－2.
8.(运算能力)观察下列单项式：x、－2x2、4x3、－8x4、16x5、….
(1)计算一下，这里任意一个单项式与前面相邻单项式的商是多少？据此规律，请你写出第n个单项式.
(2)根据你发现的规律，写出第10个单项式.
参考答案
【预习导航】
1.系数 同底数幂 被除式 商的一个因式
【归类探究】
【例1】 (1)－y2 (2)2ab2c (3)－4x3y2
【例2】 (1)s是R的60倍.
(2)太阳的体积是地球体积的106倍.
【当堂测评】
1.D 2.B 3.C 4.(1)4x (2)－2y
【分层训练】
1.D 2.(1)5x (2)－3x (3)－4a2b
3.(1)2a3b (2)xy (3)3 (4)x3y
4.B 5.20
6.(1)－ac (2)xy (3)512a2y3
7.原式＝－x，当x＝1，y＝－2时，原式＝－.
8.(1)任意一个单项式与前面相邻单项式的商是－2x；第n个单项式是(－2)n－1·xn.
(2)第10个单项式为－512x10.
。第11章 整式的乘除
11.4 整式的除法
2.多项式除以单项式
@预习导航
1.多项式除以单项式的法则
法 则：先用这个多项式的每一项除以这个 ，再把所得的 .
表达式：(am＋bm＋cm)÷m＝ ＝a＋b＋c.
2.多项式除以单项式法则的应用
注 意：在应用多项式除以单项式法则时应注意以下几点：
(1)这个法则的基本思想是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，然后把所得的商相加；
(2)多项式除以单项式所得的商仍然是多项式，并且商的项数和原多项式的项数相等；
(3)注意确定商中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”；
(4)这个法则的适用范围是多项式除以单项式，单项式除以多项式是不能这样计算的.
@归类探究
类型之一 运用多项式除以单项式的法则计算
计算：
(1)(9x2y－6xy2)÷3xy；
(2)(3x2y－xy2＋xy)÷(－xy).
类型之二 多项式除以单项式法则的应用
已知一个多项式与单项式－7x5y4的积为21x5y7－14x7y4＋y(7x3y2)2，求该多项式.
先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝.
@当堂测评
1.[2024·内江东兴区校级开学]下列计算正确的是( )
A.(－2a2b3)÷(－2ab)＝a2b2
B.(3x2y－6xy)÷6xy＝0.5x
C.(21x5y2－9x4y3)÷3x3y2＝7x2－3xy
D.(3x2y＋xy)÷xy＝3x
2.计算：
(1)(3a2＋2a)÷a＝ ；
(2)(12x3－6x2＋3x)÷3x＝ ；
(3)(4a3b4－2a2b3)÷(－2ab)＝ .
3.[2023·萧山月考]若多项式A与单项式－ab的积为－4a3b3＋3a2b2－ab，则A为 .
@分层训练
1.[2024·威远县校级期中]下列计算正确的是( )
A.(－2x2y＋y)÷y＝－2x2＋1
B.x5y4÷＝x4y2
C.2x5y5÷3x3y2÷3xy2＝2x3y5
D.2x2y÷3xy＝x2y2
2.已知长方形的面积为ab2－a2b，一边长为ab，则该长方形的另一边长为 .
3.计算：
(1)(5a3＋20a2－15a)÷5a；
(2)(3a3b－12a2b2－6ab3)÷(－3ab)－4ab；
(3)(2x3y2－3x2y3)÷.
4.[2024·南充]先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x，其中x＝－2.
5.点点同学在复习《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中有一部分被墨水弄污了.具体情况如下：(15x3y5－★－20x3y2)÷(－5x3y2)＝▲＋2xy2＋4，被除式的第二项被墨水弄污成★，商的第一项也被墨水弄污成▲，请你求出这两处被弄污了的内容.
6.(创新意识)观察下列各式.
第一个等式：(x2－1)÷(x－1)＝x＋1；
第二个等式：(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1；
第三个等式：(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1；
第四个等式：(x5－1)÷(x－1)＝x4＋x3＋x2＋x＋1；
……
根据上述规律，回答下列问题：
(1)(x6－1)÷(x－1)＝ ；
(2)写出第n个等式： ；
(3)计算2＋22＋23＋…＋262＋263的值.
参考答案
【预习导航】
1.单项式 商相加 am÷m＋bm÷m＋cm÷m
【归类探究】
【例1】 (1)3x－2y (2)－6x＋2y－1
【例2】 －3y3＋2x2－7xy
【例3】 原式＝－x2＋3y2.当x＝－1，y＝时，原式＝8.
【当堂测评】
1.C 2.(1)3a＋2 (2)4x2－2x＋1
(3)－2a2b3＋ab2 3.8a2b2－6ab＋1
【分层训练】
1.A 2.b－a
3.(1)a2＋4a－3 (2)－a2＋2b2 (3)8x－12y
4.原式＝4x＋1.当x＝－2时，原式＝－7.
5.▲＝－3y3，★＝10x4y4.
6.(1)x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1
(2)(xn＋1－1)÷(x－1)＝xn＋xn－1＋…＋x＋1
(3)264－2
。
