第11章 整式的乘除
11.5 因式分解
第1课时 提公因式法
@预习导航
1.因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化为几个 的形式，叫做多项式的因式分解.
注 意：(1)因式分解的结果要以积的形式表示，且积中每个因式都必须是整式；
(2)因式分解必须分解到每个多项式都不能 为止.
明 确：整式乘法与因式分解的关系是多项式整式的积.
2.提公因式法
公因式：多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，称之为公因式.
提公因式法：把多项式ma＋mb＋mc中的 提出来使之分解成两个因式m和(a＋b＋c)的 ，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法.
@归类探究
类型之一 因式分解的概念
下列因式分解正确的是( )
A.－a＋a3＝－a(1＋a2)
B.2a－4b＋2＝2(a－2b)
C.a2－4＝(a－2)2
D.a2－2a＋1＝(a－1)2
若关于x的三项式x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则c＝ .
类型之二 用提公因式法进行分解因式
分解因式：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)(x＋3y)2－(x＋3y).
类型之三 利用提公因式法简便运算
利用因式分解计算：
23×3.14＋56×3.14＋21×3.14.
@当堂测评
1.[2024春·眉山期中]下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A.2a2－b2＝(a＋b)(a－b)＋a2
B.2a(b＋c)＝2ab＋2ac
C.x3－2x2＋x＝x(x－1)2
D.x2＋x＝x2
2.(1)[2023·永州]2a2与4ab的公因式为 ；
(2)多项式2x2y－6xy2的公因式是 ；
(3)多项式8a3b2＋12a3bc－4a2b的公因式是 .
3.分解因式：
(1)[2024·遂宁]ab＋4a＝ ；
(2)[2024·内江]m2－5m＝ ；
(3)[2024·陕西]a2－ab＝ .
@分层训练
1.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)·(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
2.[2024春·宜宾月考]把多项式m2(a－2)＋m(2－a)分解因式等于( )
A.(a－2)(m2＋m) B.(a－2)(m2－m)
C.m(a－2)(m－1) D.m(a－2)(m＋1)
3.(1)[2024·福建]x2＋x＝ ；
(2)[2024·江西]a2＋2a＝ ；
(3)[2024·吉林]a2－3a＝ ；
(4)[2024·枣庄]x2y＋2xy＝ ；
(5)x(y－1)＋4(1－y)＝ .
4.分解因式：
(1)9m2＋18mn－27mn2；
(2)2(a－b)－a(b－a)；
(3)(x－3y)(a＋b)－(3x－y)(a＋b).
5.[2023·巴中]若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为( )
A.5 B.7 C.10 D.－13
6.一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则a2b＋ab2的值为( )
A.25 B.50 C.75 D.100
7.[2023·凉山州]已知x2－2x－1＝0，则3x3－10x2＋5x＋2027的值等于 .
8.利用因式分解计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.26＋72×20.26＋13×20.26－20.26×14.
9.(运算能力)认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题.
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ；
(2)分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n分解因式的结果是 .
参考答案
【预习导航】
1.整式的积 再分解
2.公因式m 乘积
【归类探究】
【例1】 D
【例2】 2
【例3】 (1)4ab2(2a2＋3bc)
(2)(x＋3y)(x＋3y－1)
【例4】 314
【当堂测评】
1.C 2.(1)2a (2)2xy (3)4a2b
3.(1)a(b＋4) (2)m(m－5) (3)a(a－b)
【分层训练】
1.C 2.C 3.(1)x(x＋1) (2)a(a＋2) (3)a(a－3) (4)xy(x＋2) (5)(y－1)(x－4)
4.(1)9m(m＋2n－3n2) (2)(a－b)(2＋a)
(3)－2(a＋b)(x＋y)
5.B 6.A 7.2023
8.(1)260 (2)2026
9.(1)提公因式法 (2)(1＋x)4
(3)(1＋x)n＋1
。第11章 整式的乘除
11.5 因式分解
第3课时 利用完全平方公式分解因式
@预习导航
1.利用完全平方公式分解因式
公 式：a2±2ab＋b2＝ .
语言表述：两个数的 加上(或减去)这两个数的积的 ，等于这两个数的 的平方.
公式特征：(1)左边是三项式，其中有两项分别是两数(或两个式子)的平方，且这两项的符号相同，第三项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负都可以；
(2)右边是这两个数(或这两个式子)的和(或差)的平方.
2.因式分解的一般方法和步骤
步 骤：(1)若有公因式，应先提取公因式；
(2)若多项式是两项，可尝试用平方差公式；
(3)若是三项式，可考虑用完全平方公式；
(4)分解到每一个多项式的因式不能再分解为止.
@归类探究
类型之一 运用完全平方公式分解因式
分解因式：
(1)x2－12xy＋36y2；
(2)16a4＋24a2b2＋9b4；
(3)－2xy－x2－y2.
把下列多项式分解因式：
(1)a2b＋2ab＋b；
(2)－a3＋a2b－ab2；
(3)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1；
(4)(x＋y)2－6x2＋6y2＋9(x－y)2.
类型之二 利用完全平方公式求值
已知x2＋y2＋2x－6y＋10＝0，求x＋y的值.
@当堂测评
1.下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2＋1 B.x2＋2x＋4 C.x2－2x＋1 D.x2＋x＋1
2.在横线上填上适当的因式：
(1)25x2＋10x＋1＝ ；
(2)x2＋4x＋ ＝(x＋ )2；
(3)4m2± ＋9n2＝( )2.
3.分解因式：
(1)[2024·兰州]a2－2a＋1＝ ；
(2)x2－4xy＋4y2＝ ；
(3)(a＋1)2－4a＝ ；
(4)[2024·威海](x＋2)(x＋4)＋1＝ .
@分层训练
1.把多项式2x3－4x2＋2x分解因式，其结果是( )
A.2x(x－1)2 B.2x(x＋1)2 C.x(2x－1)2 D.x(2x＋1)2
2.把2x2－2x＋分解因式，其结果是( )
A.2(x－)2 B.(x－)2 C.(x－1)2 D.(2x－)2
3.分解因式：
(1)[2024·达州]3x2－18x＋27＝ ；
(2)[2024·内蒙古]a＋2ab＋ab2＝ ；
(3)[2024·通辽]3ax2－6axy＋3ay2＝ .
4.分解因式：
(1)x3－2x2y＋xy2；
(2)－2a3＋12a2－18a；
(3)m2－2mn＋3n2；
(4)4x2－4x＋1－y2.
5.已知4x2－x＋m是一个两数和或差的平方式，则m＝ .
6.分解因式：
(1)9(x＋2)2＋25(x－3)2－30(x＋2)·(x－3)；
(2)(a2＋b2)2－4a2b2；
(3)(x＋y)2－4(x＋y－1).
7.(推理能力)有一系列等式：
1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；
2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；
3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；
4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；
……
(1)根据你观察、归纳、发现的规律，计算：8×9×10×11＋1＝ ；
(2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一个数的平方，并予以证明.
参考答案
【预习导航】
1.(a±b)2 平方和 2倍 和(或差)
【归类探究】
【例1】 (1)(x－6y)2 (2)(4a2＋3b2)2
(3)－(x＋y)2
【例2】 (1)b(a＋1)2 (2)－a(a－b)2
(3)(x－1)4 (4)4(x－2y)2
【例3】 2
【当堂测评】
1.C 2.(1)(5x＋1)2 (2)4 2 (3)12mn 2m±3n
3.(1)(a－1)2 (2)(x－2y)2 (3)(a－1)2 (4)(x＋3)2
【分层训练】
1.A 2.A 3.(1)3(x－3)2 (2)a(b＋1)2 (3)3a(x－y)2
4.(1)x(x－y)2 (2)－2a(a－3)2
(3)(m－3n)2 (4)(2x－1＋y)(2x－1－y)
5.
6.(1)(21－2x)2 (2)(a＋b)2(a－b)2
(3)(x＋y－2)2
7.(1)892
(2)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.理由略.
。第11章 整式的乘除
11.5 因式分解
第2课时 利用平方差公式分解因式
@预习导航
1.公式法因式分解的概念
公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行 ，这种因式分解的方法称为公式法.
2.利用平方差公式分解因式
公 式：a2－b2＝ .
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的积.
注 意：利用公式法因式分解的关键是掌握公式的特征.
公式特征：(1)对于二项式的因式分解，可考虑平方差公式；
(2)构成二项式的两项必须异号；
(3)异号的两项在不考虑符号时，均可以写成一个数或式子的 的形式；
(4)右边是两数 与两数 的积的形式，要注意符号，原来是被减数的，分解后仍是被减数，如－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)，而不能写成－a2＋b2＝(a＋b)(a－b).
@归类探究
类型之一 利用平方差公式分解因式
把下列多项式分解因式：
(1)25x2y2－1＝ ；
(2)－a2＋b2＝ ；
(3)9(m＋n)2－(m－n)2＝ ；
(4)4x3－16x＝ .
类型之二 利用平方差公式分解因式的应用
若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝ .
利用因式分解计算：
(1)492－482；
(2)(39)2－(10)2.
如图是一块边长为acm的正方形纸板，在正中央剪去一个边长为bcm的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积.
@当堂测评
1.下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是( )
A.－x2＋y2 B.4a2－(a＋b)2 C.a2－8b2 D.x2y2－1
2.分解因式：1－4y2＝( )
A.(1－2y)(1＋2y) B.(2－y)(2＋y)
C.(1－2y)(2＋y) D.(2－y)(1＋2y)
3.分解因式：
(1)[2023·宁波]x2－y2＝ ；
(2)[2023·丽水]x2－9＝ ；
(3)4a2－9＝ .
4.[2023·嘉兴、舟山]一个多项式，把它因式分解后其中一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式： .
@分层训练
1.[2024·云南]分解因式：a3－9a＝( )
A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9)
C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9)
2.分解因式：
(1)[2024·甘肃]2x2－8＝ ；
(2)[2024·北京]x3－25x＝ ；
(3)[2024·绥化]2mx2－8my2＝ ；
(4)[2024·齐齐哈尔]2a3－8ab2＝ .
3.计算：
(1)49.62－50.42＝ ；
(2)13.32－11.72＝ .
4.分解因式：
(1)16x2－64；
(2)a2(x－y)－b2(x－y)；
(3)(y＋2x)2－(x＋2y)2.
5.某学校打算在操场的圆环形跑道上铺塑胶路面.已知跑道外圆半径R＝30.5m，内圆半径r＝24.5m，请你帮助学校计算出需要铺塑胶的总面积.(π取3.14)
6.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美.现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱游 B.中华美 C.我爱中华 D.美我中华
7.[2024秋·嘉定期中]定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且m－n＝2，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当m＝3，n＝1时，8＝32－12，8是一个智慧优数.若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 .
8.因式分解：
(1)p4－1；
(2)(x－2y)2－4x2；
(3)(4a＋b)2－4(a＋b)2；
(4)9(x＋y)2－4(x－y)2.
9.(创新意识)[2023·嘉兴、舟山]观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，……
(1)写出192－172的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
参考答案
【预习导航】
1.因式分解 2.(a＋b)(a－b) 和 差 平方 和 差
【归类探究】
【例1】 (1)(5xy＋1)(5xy－1)
(2)(b＋a)(b－a)
(3)4(2m＋n)·(m＋2n)
(4)4x(x＋2)(x－2)
【例2】 2
【例3】 (1)97 (2)1450
【例4】 阴影部分的面积为25cm2.
【当堂测评】
1.C 2.A 3.(1)(x＋y)(x－y) (2)(x＋3)·(x－3) (3)(2a＋3)(2a－3)
4.x2－1(答案不唯一)
【分层训练】
1.A 2.(1)2(x＋2)(x－2) (2)x(x＋5)·(x－5) (3)2m(x＋2y)(x－2y) (4)2a(a＋2b)·(a－2b)
3.(1)－80 (2)40
4.(1)16(x＋2)(x－2)
(2)(x－y)(a＋b)(a－b)
(3)3(x＋y)(x－y)
5.需要铺塑胶的总面积约为1036.2m2.
6.C
7.8100
8.(1)(p2＋1)(p＋1)(p－1)
(2)－(3x－2y)(x＋2y)
(3)3(2a＋b)(2a－b)
(4)(5x＋y)(x＋5y)
9.(1)192－172＝8×9.
(2)(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n.
(3)略
。
