第12章 全等三角形
12.1 命题、定义、定理与证明
2.定义、定理与证明
@预习导航
1.定义、基本事实、定理与证明
定 义：用不同的语句来说明某些名词各自所包含的 ，这样的语句叫做这些名词的定义.
基本事实：一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的命题视为基本事实.
定 理：如果一个命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的 叫做定理.
证 明：根据 、 及 、 等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
2.证明一个命题的方法步骤
步 骤：(1)分清命题的条件和结论，画好图形；
(2)根据已知条件，结合图形写出“已知”；
(3)根据结论，结合图形写出“求证”；
(4)写出证明过程.
@归类探究
类型之一 几何证明的一般步骤
在证明“三角形内角和等于180°”这一命题时，小彬的思路如下.请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明.
已知：如图，△ABC.
求证： .
证明：如图，在BC边上取点D，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2(依据： ).
∵DF∥AC，
类型之二 证明文字叙述的几何命题
求证：如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直.(画出图形，写出已知、求证并完成证明)
【点悟】 (1)初学几何证明时，要把依据写在每一步推理后面的括号里，这样做的目的是训练在证明推理时，每一步都要有理有据，万万不可随意推测和想当然；(2)证明中的依据一般只限于四种：①题设；②定义；③基本事实；④定理.
@当堂测评
1.下列语句属于定义的是( )
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等
D.三条边都相等的三角形叫做等边三角形
2.有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.完成下面的证明.
已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC.
求证：AD∥BC.
证明：∵AB⊥AC(已知)，
∴∠ ＝90°( ).
∵∠1＝30°，∠B＝60°(已知)，
∴∠1＋∠BAC＋∠B＝ ( )，
即∠ ＋∠B＝180°，
∴AD∥BC( ).
@分层训练
1.试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①因为∠A＝∠C(已知)；
②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；
③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；
④所以∠B＝∠D(等量代换)；
⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换).
正确的顺序是( )
A.①→③→②→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④
2.如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.补全下面的证明过程.
证明：∵BE平分∠ABC( )，
∴∠ABC＝2∠1( ).
∵CE平分∠BCD( )，
∴∠BCD＝2∠2( ).
又∵∠1＋∠2＝90°( )，
∴2(∠1＋∠2)＝2×90°，
即∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD( ).
3.[2024春·路桥区期中]如图，已知∠1＝∠2，∠BAC＝70°，∠AGD＝110°.将证明EF∥AD的过程填写完整.
证明：∵∠BAC＝70°，∠AGD＝110°，
∴∠BAC＋∠AGD＝180°，
∴ ∥ ( )，
∴∠1＝ ( ).
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝ ( )，
∴EF∥AD( ).
4.求证：四边形的内角和为360°.(画出图形，写出已知、求证并完成证明)
5.(1)利用“两直线平行，同位角相等”证明：两直线平行，内错角相等.(画出图形，写出已知、求证并完成证明)
(2)已知：如图，直线AB∥CD，∠1，∠2和∠3是直线AB、CD被直线EF所截的角.
求证：∠2＋∠3＝180°.
6.[2024春·嘉兴桐乡市月考]如图，已知∠ABD＝100°，且BC平分∠ABD，∠1＝50°.
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠2的度数.
7.(推理能力)[2024春·眉山期中]如图，已知AB∥DC，AC和BD相交于点O，点E是CD上一点，点F是OD上一点，且∠1＝∠A.
(1)求证：FE∥OC；
(2)若∠BFE＝110°，∠1＝60°，求∠B的度数.
参考答案
【预习导航】
1.确切意义 真命题 条件 定义 基本事实 定理
【归类探究】
【例1】 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 两直线平行，同位角相等 补全证明略
【例2】 略
【当堂测评】
1.D 2.B 3.BAC 垂直的定义 180° 等量关系 BAD 同旁内角互补，两直线平行
【分层训练】
1.C
2.已知 角平分线的定义 已知 角平分线的定义 已知 同旁内角互补，两直线平行
3.DG AB 同旁内角互补，两直线平行 ∠3 两直线平行，内错角相等 ∠3 等量代换 同位角相等，两直线平行
4.略 5.略 6.(1)略 (2)80°
7.(1)略 (2)50°
。第12章 全等三角形
12.1 命题、定义、定理与证明
1.命题
@预习导航
1.命题的概念
命 题：表示判断的语句叫做命题.
注 意：不是所有的句子都可以称为命题，只有那些能判断是非、辨别真假的句子才称为命题.
2.命题的结构、形式
结 构：命题由 和 两部分组成. 是已知事项， 是由已知事项推出的事项.
形 式：命题可以写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是 ，而用“那么”开始的部分就是 .
3.真命题与假命题
真 命 题：如果条件成立，那么结论 ，像这样的命题，叫做真命题.
假 命 题：有些命题，当条件成立时， 保证结论总是正确，也就是说结论不成立，像这样的命题，叫做假命题.
说 明：(1)判断真命题，可以用演绎推理加以论证；
(2)判断假命题的方法是举反例.
@归类探究
类型之一 把命题改写成“如果……，那么……”的形式
把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论.
(1)平行于同一直线的两条直线平行；
(2)任意两个直角都相等；
(3)同角的补角相等.
【点悟】 将一个命题改写成“如果……，那么……”的形式，首先要弄清命题的条件和结论，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，然后再添加一些辅助语言，使句子通顺.
类型之二 判断命题的真假
下列命题中，是假命题的是( )
A.两点之间，线段最短
B.对顶角相等
C.直角的补角仍然是直角
D.同旁内角互补
@当堂测评
1.下列语句中，属于命题的是( )
A.直线AB和CD垂直吗
B.过线段AB的中点C作AB的垂线
C.同旁内角不互补，两直线不平行
D.连结A、B两点
2.[2024·内江期末]下列命题是真命题的是( )
A.相等的角是对顶角
B.若数a、b满足a2＝b2，则a＝b
C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D.垂线段最短
@分层训练
1.[2024秋·眉山期末]下列命题是真命题的是( )
A.内错角相等
B.三角形内角和是180°
C.是有理数
D.若｜a｜＝1，则a＝1
2.[2024秋·宜宾期中]对于命题“如果x为任意实数，那么＝x”，能说明它是假命题的反例是( )
A.x＝0 B.x＝3 C.x＝0.5 D.x＝－1
3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论.
(1)等角的余角相等；
(2)小于直角的角是锐角；
(3)两点确定一条直线.
4.判断下列命题是真命题，还是假命题.如果是假命题，请举一个反例.
(1)若a2＞b2，则a＞b；
(2)同位角相等，两直线平行；
(3)一个角的余角小于这个角；
(4)一个钝角与一个锐角的和必为一个平角；
(5)两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(6)如果n是自然数，那么n2＋n＋17是质数.
5.(推理能力)[2023春·顺庆区月考]已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥EF，试探究：
(1)如图1，∠B与∠E的数量关系是 ；
(2)如图2，写出∠B与∠E的数量关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题.
参考答案
【预习导航】
2.条件 结论 条件 结论 条件 结论
3.一定成立 不能
【归类探究】
【例1】 (1)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.
条件是“两条直线平行于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”.
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
条件是“两个角都是直角”，结论是“这两个角相等”.
(3)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
条件是“两个角是同一个角的补角”，结论是“这两个角相等”.
【例2】 D
【当堂测评】
1.C 2.D
【分层训练】
1.B 2.D
3.(1)如果两个角相等，那么它们的余角也相等.条件是“两个角相等”，结论是“它们的余角也相等”.
(2)如果一个角小于直角，那么这个角是锐角.条件是“一个角小于直角”，结论是“这个角是锐角”.
(3)如果过已知两点画直线，那么能且只能画一条直线.条件是“过已知两点画直线”，结论是“能且只能画一条直线”.
4.(1)假命题.反例：a＝－3，b＝0，
∵9＞0，即a2＞b2，但是－3＜0，即a＜b.
(2)真命题.
(3)假命题.反例：若∠α＝20°，则∠α的余角为70°，70°＞20°，此时∠α的余角大于∠α.
(4)假命题.反例：100°＋30°＝130°＜180°，此时钝角100°与锐角30°的和不为平角.
(5)假命题.反例：在任意三角形中，其中两边所在直线被第三边所在直线所截，此时的同旁内角为三角形两内角，显然不互补.
(6)假命题.反例：n＝17时，此数为合数.
5.(1)∠B＝∠E
(2)∠B＋∠E＝180°.理由略.
(3)归纳：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
。
