第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
4.边边边
@预习导航
1.已知三角形的三边长画三角形
步 骤：(1)画一条线段等于已知线段；
(2)分别以线段的两个端点为圆心，以另两条线段长为半径画弧，两弧的交点即为所求作三角形的第三个顶点；
(3)分别连结第一条线段的两个端点与两弧的交点，即可得到求作的三角形.
2.判断三角形全等的简便方法
基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”.
注 意：(1)三个角对应相等时，画出的两个三角形不是唯一的，所以不一定全等；
(2)两边及其中一边的对角对应相等时，画出的两个三角形不是唯一的，所以不一定全等.
@归类探究
类型之一 利用“SSS”证明两个三角形全等
如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
类型之二 运用全等三角形说明线段(或角)相等
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E.求证：∠DAC＝∠CBD.
@当堂测评
1.在△ABC和△DEF中，若AB＝FD，BC＝DE，CA＝EF，则( )
A.△ABC≌△DEF B.△ABC≌△EDF
C.△ABC≌△DFE D.△ABC≌△FDE
2.[2024·北京改编]下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
3.如图，AB＝AC，BE＝CD，若应用“SSS”判定ABE≌△ACD，则还需添加条件： .
@分层训练
1.如图，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1的度数为( )
A.110° B.40° C.30° D.20°
2.[2023·福建改编]根据如图所示方式作图，一定可以推得的结论是( )
A.∠1＝∠2且CM＝DM B.∠1＝∠3且CM＝DM
C.∠1＝∠2且OD＝DM D.∠2＝∠3且OD＝DM
3.[2024·德州]如图，点C是AB的中点，且CD＝BE，请添加一个条件： ，使得△ACD≌△CBE.
4.如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上的点，AD＝AE，BE与CD相交于点G.
(1)图中有多少对全等三角形？将它们写出来.
(2)请你选出一对全等三角形，说明它们全等的理由.
5.[2024·淄博]如图，已知AB＝CD，点E、F在线段BD上，且AF＝CE.请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是： (只填写一个序号).
添加条件后，请证明AE∥CF.
6.(推理能力)如图，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若AC＝4，BD＝3，求四边形ABCD的面积.
参考答案
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【当堂测评】
1.D 2.A 3.AE＝AD(或BD＝CE)
【分层训练】
1.C 2.A 3.AD＝CE(答案不唯一)
4.(1)图中全等的三角形有四对，分别为
①△DBG≌△ECG；②△ADG≌△AEG；
③△ABG≌△ACG；④△ABE≌△ACD.
(2)略
5.略 6.(1)略 (2)6
。第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
2.边角边
@预习导航
1.已知两边及其夹角画三角形
步 骤：(1)画一个角等于已知角；
(2)以角的顶点为一个端点，在角的两边上分别截取两条线段等于已知线段；
(3)连结这两条线段的另两个端点，即得所求作的三角形.
归 纳：比较所画的三角形，满足这些条件的两个三角形 .
2.判定三角形全等的简便方法
基本事实：两边 分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“ ”.
注 意：(1)使用边角边证两个三角形全等，在排列这三个条件时，要按边角边的顺序来写，应用时一定要保证相等的角必须是相等的两边的夹角，不能出现边边角的错误；
(2)学会找公共边、公共角这些重要的隐含条件.
@归类探究
类型之一 利用“SAS”证明角或线段相等
如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC.
求证：∠D＝∠ABC.
类型之二 利用“SAS”解决实际问题
某厂家生产如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，该厂家将折叠凳撑开后的宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长吗？如果能，请求出BC的长；如果不能，请说明理由.
@当堂测评
1.下图中全等的三角形是( )
A.①和② B.②和③ C.②和④ D.①和③
2.如图，点B、C、F、E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1 (填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
@分层训练
1.如图，AD＝AE，∠1＝∠2，BE＝CD.若∠B＝60°，则∠C的度数为 .
2.如图所示，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，夹这个角的两边分别为2a和a(保留作图痕迹，不写作法).
3.[2024·乐山]如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D.
4.[2024·遂宁]如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.[2024·西藏]如图，点C是线段AB的中点，AD＝BE，∠A＝∠B.求证：∠D＝∠E.
6.[2024·云南]如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求证：△ABC≌△AED.
7.(推理能力)如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连结DE.
(1)求证：△ABE≌△DBE；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数.
参考答案
【预习导航】
1.全等
2.及其夹角 SAS
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 BC＝30cm
【当堂测评】
1.D 2.不是 AC＝DF
【分层训练】
1.60° 2.略 3.略 4.D 5.略 6.略
7.(1)略 (2)65°
。第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
1.全等三角形的判定条件
@预习导航
1.全等三角形的概念
定 义：能够 的两个三角形叫做全等三角形.
对应元素：把两个全等三角形重合在一起，相互重合的 叫做对应顶点，相互重合的 叫做对应边，相互重合的 叫做对应角.
表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“ ”.记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应的位置上.
2.全等三角形的性质
性 质：全等三角形的对应边 ，对应角 .
注 意：在两个全等的三角形中，相等的角一定是对应角，相等的边一定是对应边.
3.三角形全等的判定
方 法：若两个三角形三条边与三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.
@归类探究
类型之一 找全等三角形的对应元素
已知△ABC与△EDF全等，其中点A与点E，点B与点D，点C与点F是对应顶点，则对应边为 ，对应角为 .
【点悟】 如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定可以通过平移、旋转、翻折而使它们重合，因而它们的对应边、对应角也必定重合，所以全等的两个三角形的对应边相等，对应角也相等.
类型之二 运用全等三角形的性质解决问题
如图，点E、F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF、DE相交于点M，则∠DCE＝( )
A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB
类型之三 三角形全等的判定
如图，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转25°后得到△DBE.
(1)△ABC和△DBE有什么关系？
(2)求∠CBE的度数.
【点悟】 旋转变换是位置发生变化的全等变换，边、顶点都绕点B旋转相同的角度.
@当堂测评
1.已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，∠F＝ °，EF＝ cm.
2.如图，△ACB≌△DEF，其中点A与点D，点C与点E是对应顶点，请写出对应边和对应角.
@分层训练
1.[2024·济南改编]如图所示，△AOC≌△BOD，C、D是对应顶点，下列结论错误的是( )
A.∠A与∠B是对应角 B.∠AOC与∠BOD是对应角
C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边
2.[2024秋·内江期中]如图所示，△ABC≌△DEF，则∠C的对应角为( )
A.∠F B.∠ABC C.∠AEF D.∠D
3.[2024·眉山期中]如图，点C、F在BE上，且△ABC≌△DEF.若BE＝8，CF＝2，则BC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.[2024·成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 .
5.[2023·宁波期末]如图，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC交BC于点D.
(1)求证：CE⊥AB；
(2)若BC＝7，AD＝5，求AF的长.
6.如图，△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm.
(1)求∠1的度数；
(2)求AC的长.
7.(推理能力)[2024秋·宜宾月考]如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°.
(1)求AE的长；
(2)求∠AED的度数.
参考答案
【预习导航】
1.完全重合 顶点 边 角 全等于 对应顶点
2.相等 相等
【归类探究】
【例1】 AB与ED，AC与EF，BC与DF ∠A与∠E，∠B与∠D，∠C与∠F
【例2】 A
【例3】 (1)△ABC≌△DBE (2)∠CBE＝25°
【当堂测评】
1.61 15
2.对应边：AC与DE，AB与DF，CB与EF；对应角：∠A与∠D，∠C与∠DEF，∠ABC与∠F.
【分层训练】
1.C 2.A 3.C 4.100°
5.(1)略 (2)3
6.(1)62° (2)3cm
7.(1)3 (2)80°
。第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
5.斜边直角边
@预习导航
1.已知一直角边和斜边的长，画一个直角三角形
步 骤：(1)画一条线段等于直角边；
(2)以这条线段的一个端点为顶点，画一个直角；
(3)以这条线段的另一个端点为圆心，以斜边长为半径画弧，交另一条直角边于一点，即为所求作三角形的另一个顶点；
(4)连结这个端点与顶点，即可得到求作的三角形.
归 纳：比较所画的直角三角形，所有符合条件的直角三角形都是 .
2.判定直角三角形全等的方法
定 理： 和 分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边直角边”或“HL”.
注 意：直角三角形全等的判定方法HL中，“H”表示斜边，“L”表示直角边.特别要注意的是HL判定法仅适用于两直角三角形全等的判定.
@归类探究
类型之一 运用“HL”证明三角形全等
如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为点B、E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝FB.
类型之二 全等三角形判定的综合运用
[2023春·于洪区期中]求证：一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等.
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM为△ABC的中线，FN为△DEF的中线，且CM＝FN.求证：△ABC≌△DEF.
@当堂测评
1.下列条件中，不能使两个直角三角形全等的是( )
A.一条直角边及其对角对应相等
B.斜边和一条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等
D.两个锐角对应相等
2.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是( )
A.AB＝A'B'＝5，BC＝B'C'＝3
B.AB＝B'C'＝5，∠A＝∠B'＝40°
C.AC＝A'C'＝5，BC＝B'C'＝3
D.AC＝A'C'＝5，∠A＝∠A'＝40°
@分层训练
1.[2024秋·宜宾月考]如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C、D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是( )
A.∠CAB＝∠DBA B.AB＝BD
C.BC＝AD D.∠ABC＝∠BAD
2.如图，已知AC⊥BD，垂足为点P，AP＝CP，请添加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你添加的条件是 .
3.[2024秋·眉山期中]如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C、B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 .
4.已知：线段m、n.
求作：分别以线段m、n为斜边和直角边的直角三角形.
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
5.[2024秋·内江期中]求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.(请画出图形，写出已知、求证并完成证明)
6.(推理能力)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE，垂足为点D，CE⊥DE，垂足为点E，AD＝CE.
(1)若B、C在DE的同侧(如图1)，求证：AB⊥AC.
(2)若B、C在DE的两侧(如图2)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
参考答案
【预习导航】
1.全等的
2.斜边 一条直角边
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【当堂测评】
1.D 2.B
【分层训练】
1.C 2.BP＝DP(∠A＝∠C，AB＝CD或∠B＝∠D等) 3.AB＝DC
4.略 5.略
6.(1)略 (2)AB⊥AC.证明略.
。第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
3.角边角
@预习导航
1.已知两角及其夹边画三角形
步 骤：(1)画一条线段等于已知线段；
(2)以这条线段的两个端点为顶点，以这条线段为公共边，在线段的同侧作两个角分别等于已知角；
(3)两角的另一组边的交点即为所作三角形的第三个顶点.
归 纳：比较所画的三角形，满足这些条件的两个三角形 .
2.判断三角形全等的简便方法
基本事实：两角及其 分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ ”.
定 理：两角分别相等且其中 相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“ ”.
注 意：两个三角形如果具备两个角和一边对应相等就可判定其全等.
@归类探究
类型之一 利用“ASA”证明两个三角形全等
如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.
类型之二 利用“AAS”证明两个三角形全等
如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：AD＝CF.
@当堂测评
1.如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
2.[2023·凉山州]如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠A＝∠D B.∠AFB＝∠DEC
C.AB＝DC D.AF＝DE
3.[2024秋·德州期末]如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E.若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是( )
A.3 B.6 C.12 D.24
@分层训练
1.[2024·牡丹江]如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件： ，使得AE＝CE.(只添加一种情况即可)
2.已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a(保留作图痕迹，不写作法).
3.如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.求证：DE＝BC.
4.[2024·镇江]如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °.
5.[2024秋·东阳市月考]如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，AB＝DE.若BE＝1，EC＝3，求BF的长.
6.(推理能力)(1)如图1，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上.求证：BC＝AB＋CD.
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连结AD.过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长为 .
参考答案
【预习导航】
1.全等
2.夹边 ASA 一组等角的对边 AAS
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【当堂测评】
1.B 2.D 3.C
【分层训练】
1.DE＝EF(或AD＝CF)
2.略 3.略 4.(1)略 (2)20
5.5 6.(1)略 (2)3
。
