第12章 全等三角形
12.3 等腰三角形
2.等腰三角形的判定
@预习导航
1.等腰三角形的判定
判定定理：有两个角 的三角形是等腰三角形.(简写成“ ”)
2.等边三角形的判定
判定定理1：三个角都 的三角形是等边三角形；
判定定理2：有 的等腰三角形是等边三角形.
@归类探究
类型之一 等腰三角形判定定理的运用
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.
类型之二 等边三角形的性质与判定的综合运用
如图，△ABC为等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，试问△DEF是等边三角形吗？为什么？
@当堂测评
1.下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A.有两个内角是60°的三角形
B.有两边相等且是轴对称图形的三角形
C.有一个角是60°且是轴对称图形的三角形
D.三边都相等的三角形
2.[2024秋·宁波期中]下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠B＝40°，∠C＝80°
B.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C.2∠A＝∠B＋∠C
D.三个内角的度数之比是2∶2∶1
3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，若AB＝5，AC＝3，则△AEF的周长是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
4.如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB、AC于点D、E，若AD＝2，则DE的长为 .
@分层训练
1.如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是 三角形.
3.如图，△ABC是等边三角形，点D、E在直线BC上，DB＝EC.求证：∠D＝∠E.
4.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB，垂足为点D.求证：AD＝BD.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC.点E是AB的中点，连结ED并延长，交BC的延长线于点F，连结AF.
(1)求∠BAC和∠ACB的度数；
(2)求证：△ACF是等腰三角形.
6.[2024·广州]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( )
A.18 B.9 C.9 D.6
7.[2024·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长为 .
8.如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O分别交AB、AC于点M、N，且MN∥BC.
(1)求证：MN＝BM＋CN.
(2)若AB＝12，AC＝18，求△AMN的周长；
(3)如图2，若点E是∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，线段MN、BM、CN之间有何数量关系？请给予证明.
9.(推理能力)在等边三角形ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED.
(1)如图1，若E是AB的中点，求证：BD＝AE.
(2)如图2，若点E不是AB的中点，(1)中的结论“BD＝AE”是否仍成立？若不成立，请直接写出BD与AE之间的数量关系；若成立，请给予证明.
参考答案
【预习导航】
1.相等 等角对等边
2.相等 一个角是60°
【归类探究】
【例1】 (1)略
(2)∠BDE的度数为30°.
【例2】 △DEF是等边三角形.理由略.
【当堂测评】
1.B 2.D 3.C 4.2
【分层训练】
1.C 2.等腰 3.略 4.略
5.(1)∠BAC＝36°，∠ACB＝70° (2)略
6.C 7.2 8.(1)略 (2)30
(3)MN＝BM－CN.证明略.
9.(1)略 (2)成立.证明略.
。第12章 全等三角形
12.3 等腰三角形
1.等腰三角形的性质
@预习导航
1.等腰三角形
定 义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 .
性 质：(1)等腰三角形的两底角 (简写成“等边对等角”)；
(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(简写成“等腰三角形的三线合一”).
2.等边三角形
定 义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形.
性 质：(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°；
(2)等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.
@归类探究
类型之一 等腰三角形的性质
如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝AC，求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
类型之二 在等腰三角形中利用方程思想进行角度计算
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD.
(1)求证：∠BAD＝∠C；
(2)若CA＝CD，求∠B的度数.
类型之三 等边三角形的性质
如图，△ABC是等边三角形，AD为△ABC的中线，AD＝AE，求∠EDC的度数.
@当堂测评
1.[2024·河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( )
A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线
2.[2023·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
3.如图，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则∠B＝ °，∠ADB＝ °，∠BAC＝ °，∠BAD＝ °.
4.[2024·湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
@分层训练
1.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
2.[2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )
A.100° B.115° C.130° D.145°
3.如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点D是AB边上的中点，DE∥AC，交BC于点E.若∠A＝40°，则∠CDE的度数是( )
A.40° B.35° C.50° D.45°
4.[2024·泰安]如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B、C分别落在直线l、m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
5.如图，AB∥CD，M、N为直线AB上的两点，连结CN，作ME⊥CN于点E，点F在CN上，连结DF，且CF＝DF，若∠EMN＝70°，则∠D的度数为( )
A.20° B.30° C.40° D.45°
6.[2024秋·宿迁期末]如图，在△ABC中，角平分线BO和CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC＝2a，则△OEF的周长为 .
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAC.
8.[2024·内江]如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 °.
9.[2023·苏州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连结DE、DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数.
10.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD，垂足为点Q.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPQ的度数.
11.(推理能力)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连结MN交AC于点P，过点M作MH⊥AC，垂足为点H.
(1)求证：MP＝NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
参考答案
【预习导航】
1.腰 底边 顶角 底角 相等
【归类探究】
【例1】 ∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.
【例2】 (1)略 (2)∠B＝36°
【例3】 15°
【当堂测评】
1.B 2.C 3.60 90 60 30 4.100
【分层训练】
1.B 2.B 3.C 4.B 5.A
6.2a 7.略 8.100°
9.(1)略 (2)20° 10.(1)略 (2)略
11.(1)略 (2)PH＝a
。
