第12章 全等三角形
12.4 逆命题与逆定理
1.互逆命题和互逆定理
@预习导航
1.互逆命题
互逆命题：在 个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这 个命题叫做互逆命题.
注 意：(1)如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题；
(2)每一个命题都有逆命题，但是原命题正确，它的逆命题不一定正确.
2.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题也是 ，那么这 叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的 定理.
注 意：一个定理的逆命题可真可假，所以并不是每一个定理一定都有逆定理.
@归类探究
类型之一 命题与逆命题
写出下列定理的逆命题，并判断其真假：
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)等腰三角形的两底角相等；
(3)同位角相等.
类型之二 证明逆命题
已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”.
(1)写出逆命题.
(2)逆命题是真命题，还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”，再进行证明；如果是假命题，请举反例说明.
@当堂测评
1.下列命题的逆命题是真命题的( )
A.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B.内错角相等
C.全等三角形的对应角相等
D.等边三角形是等腰三角形
2.[2024秋·内江期中]下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.若a＝b，则｜a｜＝｜b｜
B.如果x＝y，那么＝
C.对顶角相等
D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
3.写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
(1)两直线平行，同旁内角互补.
逆命题： .
( )
(2)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.
逆命题： .
( )
@分层训练
1.下列各命题的逆命题是假命题的是( )
①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形；
②全等三角形对应边上的高相等；
③全等三角形的周长相等；
④两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形.
A.①② B.①③ C.②③ D.①④
2.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
3.命题“如果一个三角形有两个锐角互余，那么它是直角三角形”的逆命题是 .
4.下列命题中，其逆命题是真命题的是 (填序号).
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
5.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，请举出一个反例说明.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)等底等高的三角形面积相等.
6.命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题，还是假命题？若是真命题，请证明；若是假命题，请举反例说明.
7.(推理能力)学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为该定理的逆命题应该也是真命题，于是他做了如下探究.
(1)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求证：AB＝AC.请你帮助他完成证明.
(2)接下来，他又想到一个问题：“如图2，若在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，则AB＝AC”.请你判断该问题是否一定成立，若一定成立，请你证明；若不一定成立，请说明理由.
参考答案
【预习导航】
1.两 结论 条件 两
2.定理 两个定理 逆
【归类探究】
【例1】 (1)同位角相等，两直线平行.(真命题)
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.(真命题)
(3)相等的角是同位角.(假命题)
【例2】 (1)逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形.
(2)逆命题是真命题.
【当堂测评】
1.A 2.B 3.(1)同旁内角互补，两直线平行 真命题 (2)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0 假命题
【分层训练】
1.C 2.假 3.直角三角形的两个锐角互余
4.①
5.(1)同位角相等，两直线平行，真命题.
(2)在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线，真命题.
(3)内错角相等，假命题.
(4)面积相等的三角形等底等高，假命题.例如，底边是2，高是4的三角形与底边是4，高是2的三角形.
6.逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形.该逆命题是真命题.证明略.
7.略
。第12章 全等三角形
12.4 逆命题与逆定理
3.角平分线
@预习导航
1.角平分线的性质定理
性 质： 到角两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理
判 定： 的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线的性质
性 质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离 .
证明方法：证明三角形中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上.
@归类探究
类型之一 角平分线的性质
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E.若AB＝10，CD＝3.求：
(1)DE的长；
(2)△ADB的面积.
类型之二 角平分线的判定
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线.
@当堂测评
1.[2024·青海]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C、D，则下列结论错误的是( )
A.PC＝PD B.∠CPD＝∠DOP
C.OC＝OD D.∠CPO＝∠DPO
3.在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E.若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 .
@分层训练
1.到三角形三条边的距离相等的点是( )
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.以上答案都不正确
2.[2024·常州]如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等
C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等
3.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D分别为垂足，CF＝CB.求证：BE＝FD.
4.如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是点M、N.求证：PM＝PN.
5.[2024·绵阳]如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，△ABD的面积为5，则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
6.[2024·湖南]如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA、BC上分别截取线段BE、BF，使BE＝BF；分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝ .
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.求证：AD垂直平分EF.
8.(推理能力)(1)如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；
(2)如图2，若∠ABC的平分线与△ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP，若∠BAC＝62°，则∠PAC的度数为 .
参考答案
【预习导航】
1.角平分线上的点
2.角的内部到角两边距离相等
3.相等
【归类探究】
【例1】 (1)DE＝3 (2)15
【例2】 略
【当堂测评】
1.C 2.B 3.2.4
【分层训练】
1.A 2.A 3.略 4.略 5.B 6.6
7.略 8.(1)略 (2)59°
。第12章 全等三角形
12.4 逆命题与逆定理
2.线段垂直平分线
@预习导航
线段垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到 的距离相等.
判定定理：到线段两端距离相等的点在 .
拓 展：(1)上述两条定理互为逆定理；
(2)三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形的三个 的距离相等.
@归类探究
类型之一 线段垂直平分线的性质
如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线.
(1)若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
(2)若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长.
类型之二 线段垂直平分线的判定
如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB＋BD＝DE.求证：点C在AE的垂直平分线上.
@当堂测评
1.如图是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是( )
A.∠B＝45° B.AE＝EB
C.AC＝BC D.AB⊥CD
2.[2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E、F，过点E、F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为( )
A.7 B.8 C.10 D.12
@分层训练
1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.[2024·凉山州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC＋BC＝( )
A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm
3.[2024·镇江]如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝ .
4.[2023·陕西]如图，已知△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使PB＝PC，且∠PBC＝24°.(保留作图痕迹，不写作法)
5.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，分别作边AB、BC的垂直平分线，垂足分别为点E、F，两线相交于点P.
求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A、B、C的距离相等.
证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点，
∴ ＝ ( ).
同理可得PB＝ ，
∴PA＝PB＝ ，
∴ (到线段两端距离相等的点在线段的 )，
∴AB、BC、AC的垂直平分线 ，且点P到点A、B、C的距离相等.
6.(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE＋EP＝AC；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AC＝6cm，AP＝3cm，求△APE的周长.
7.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.
(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；
(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数.
8.[2024·南充]如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
9.(推理能力)如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，点E、G分别为垂足.
(1)直接写出∠BAC的度数；
(2)求∠DAF的度数；
(3)若△DAF的周长为20，求BC的长.
参考答案
【预习导航】
线段两端 线段的垂直平分线上 顶点
【归类探究】
【例1】 (1)30° (2)△BDC的周长是14.
【例2】 略
【当堂测评】
1.A 2.C
【分层训练】
1.B 2.C 3.3 4.略
5.PA PB 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 PC PC 点P是AC边的垂直平分线上的一点 垂直平分线上 相交于点P
6.(1)略 (2)9cm
7.(1)略 (2)∠EBC＝21°，∠F＝23°.
8.略 9.(1)100° (2)20° (3)20
。
