第13章 勾股定理
13.1 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形三边的关系
第2课时 勾股定理的简单应用
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勾股定理的简单应用
规 律：已知直角三角形中任意两边的长，就一定可以求出第三边的长.
关系式：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则有c＝，a＝，b＝(c＞a＞0，c＞b＞0).
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类型之一 梯子问题
如图，一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的底端B距墙角6m.
(1)如果梯子的顶端向下滑动1m，那么梯子的底端水平向外滑动多少米？
(2)如果梯子的底端水平向外滑动1m，那么梯子的顶端向下滑动多少米？
(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
类型之二 距离问题
如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少需要飞行 m.
【点悟】 将所给的实际问题转化为数学问题，即在直角三角形中，已知两边求第三边问题.
@当堂测评
1.王大爷从家出门散步，他先向正北走了700m，接着又向正东走了2400m，此时他离家的直线距离为( )
A.1000m B.1500m C.2000m D.2500m
2.如图，一文物C(看作一点)被探明位于地面A点垂直往下36m处，由于A点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点15m的B处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC上，则要取出文物C至少要挖( )
A.39m B.3m C.42m D.51m
3.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？其意思是：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少(1丈＝10尺)？如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 .
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1.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面2m，则小巷的宽度为( )
A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m
2.在我国古代数学著作的《九章算术》“勾股”章有一题：今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.其意思是：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度AB(两扇门宽度的和)为( )
A.100寸 B.101寸 C.102寸 D.103寸
3.某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元.
4.如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C.已知两只猴子经过的路程都是15m，求树高AB.
5.(模型观念、应用意识)[2024·陕西]如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上.求证：∠ABC＝∠DFE.
参考答案
【归类探究】
【例1】 (1)梯子的底端水平向外滑动(－6)m.
(2)梯子的顶端向下滑动(8－)m.
(3)滑动的距离是2m.
【例2】 10
【当堂测评】
1.D 2.A 3.(x－6)2＋x2＝102
【分层训练】
1.C 2.B 3.420
4.树高AB为12m.
5.略
。第13章 勾股定理
13.1 勾股定理及其逆定理
3.反证法
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反证法的原理和步骤
原 理：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
步 骤：(1)假设：假设命题的结论的反面成立；
(2)推理导出矛盾：从假设出发推理，推出与基本事实、已证定理、定义或命题中已知条件相矛盾；
(3)肯定假设错误，命题的结论正确.
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类型 用反证法证明
用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.补全下面的证明过程.
已知：如图，直线l1、l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°.
求证：l1与l2不平行.
证明：假设l1 l2，则∠1＋∠2＝180°.
这与 矛盾，故 不成立，
所以 .
用反证法证明：等腰三角形的两个底角都是锐角.
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1.用反证法证明在同一平面内有三条直线a、b、c，若a∥b，c与a相交，则c与b也相交，第一步应假设( )
A.c与a平行 B.c与b相交
C.c与b不相交 D.以上都不对
2.用反证法证明“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”时，应假设( )
A.AB＝AC B.∠B＝∠C C.AB≠AC D.∠B≠∠C
3.写出与下列结论相反的结论：
(1)a＜b， ；
(2)m是正数， ；
(3)∠A＝∠B， .
4.如图，∠AOB为一锐角，直线l1⊥OA，l2⊥OB.求证：l1与l2必相交.
(1)用反证法证明上述命题时，第一步是假设 ；
(2)∵l1∥l2，l1⊥OA，
∴ .
又∵l2⊥OB，
∴ ，
这与 矛盾，
∴假设不成立，
∴l1与l2 .
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1.用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF.证明的第一步应是( )
A.假设CD∥EF
B.假设CD不平行于EF
C.假设AB∥EF
D.假设AB不平行于EF
2.[2024·山西月考]阅读下列证明过程并补充完整.
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O、O'.
求证：∠1＝∠2.
(1)将下面证明过程补充完整.
证明：假设 .
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠2.
∴A'B'∥CD( ).
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O，
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
∴∠1＝∠2.
(2)上述证明过程中提到的基本事实是 .(填序号)
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.如图，若直线a⊥l于点A，b⊥l于点B.
求证：a∥b.(用反证法证明)
4.求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.(画出图形，写出已知、求证，并运用反证法进行证明)
5.(推理能力)如图，点P是△ABC内的一点，若AB＝AC，∠APB≠∠APC.求证：PB≠PC.(用反证法证明)
参考答案
【归类探究】
【例1】 ∥ ∠1＋∠2≠180° 假设 l1与l2不平行
【例2】 略
【当堂测评】
1.C 2.A 3.(1)a≥b (2)m是负数或零
(3)∠A＞∠B或∠A＜∠B
4.(1)l1∥l2 (2)l2⊥OA OA∥OB ∠AOB是锐角 必相交
【分层训练】
1.B
2.(1)∠1≠∠2 同位角相等，两直线平行 (2)②
3.略 4.略 5.略
。第13章 勾股定理
13.1 勾股定理及其逆定理
2.直角三角形的判定
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1.直角三角形的判定
方 法：如果三角形的三边长a、b、c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
说 明：该判定方法就是勾股定理的逆定理.
2.勾股数
定 义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
关系式：满足a2＋b2＝c2的三个正整数.
规 律：(1)若a、b、c满足a2＋b2＝c2，且a、b、c都是正整数，则na、nb、nc(n为正整数)也是勾股数；
(2)对于正整数n：2n＋1、2n2＋2n、2n2＋2n＋1构成勾股数；
(3)对于正整数n(n＞1)：2n、n2－1、n2＋1构成勾股数；
(4)对于任意的正整数m、n(m＞n)：m2－n2、2mn、m2＋n2构成勾股数.
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类型之一 直角三角形的判定
下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A.1，2， B.5，4，3
C.17，8，15 D.2，3，4
类型之二 勾股定理及其逆定理的应用
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝2EC，FC＝DC，连结AE、AF、EF.求证：△AEF是直角三角形.
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1.下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.2，3，4 B.3，4，5 C.4，5，6 D.6，7，8
2.[2024秋·眉山期中]下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A.a∶b∶c＝7∶25∶24
B.b2＝(a＋c)(a－c)
C.∠C＝∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °(点A、B、P都在网格线的格点上).
4.若一个三角形的三边长分别为m＋1，8，m＋5，当m＝ 时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m＋5.
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1.[2023·泸州]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a、b、c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3，4，5 B.5，12，13
C.6，8，10 D.7，24，25
2.如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，BD＝4，DC＝5，AD＝.判断△ABC的形状，并说明理由.
3.[2024·玉环市期末]如图，△ABC是等腰三角形，其中AC＝AB，BC＝3，点D是线段AB上一点，满足BD＝1.8，连结CD，CD＝2.4.
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长.
4.[2024秋·登封市校级期中]如图，点D是△ABC边BC的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点D，BD＝5，DE＝，AE＝，AC＝6，△ABC是直角三角形吗？请通过计算说明理由.
5.(创新意识)如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点.已知点A、B、C都在格点上.
(1)小明发现图中∠ABC是直角，请补全他的思路.
先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB＝ ，BC＝ ，AC＝ .从而可得三边数量关系为 ，根据 ，可以证明∠ABC是直角.
(2)请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角.
参考答案
【预习导航】
1.a2＋b2＝c2
【归类探究】
【例1】 D
【例2】 略
【当堂测评】
1.B 2.D 3.45 4.5
【分层训练】
1.C
2.△ABC是直角三角形.理由略.
3.(1)略 (2)2.5
4.△ABC是直角三角形，理由略.
5.(1) AB2＋BC2＝AC2 勾股定理的逆定理
(2)略
。第13章 勾股定理
13.1 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理
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1.勾股定理
文字表述：直角三角形两直角边的 等于斜边的 .
表达式：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2.
意 义：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.
2.用拼图的方法说明勾股定理
面积法：用面积验证勾股定理要通过变形寻找原图形与转化后图形的面积的等量关系.
注 意：(1)图形变了，面积不变；
(2)图形的整体面积表示为部分面积之和；
(3)把不规则的图形分割成特殊图形.
@归类探究
类型之一 勾股定理的计算
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)若a＝12，b＝5，则c＝ ；
(2)若a＝3，c＝4，则b＝ ；
(3)若c＝10，b＝9，则a＝ .
类型之二 勾股定理的验证
如图是由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成的，恰好拼成一个大直角梯形，能用来证明勾股定理，请你写出证明过程.
@当堂测评
1.如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的图案，其所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块正方形纸片的面积分别可以是( )
A.1，2，3 B.2，3，4
C.3，4，5 D.4，5，6
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠C的对边为c.
(1)若a＝25，b＝15，则c＝ ；
(2)若a＝5，c＝9，则b＝ ；
(3)若b＝5，c＝15，则a＝ .
@分层训练
1.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为 .
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，BC＝6，AC＝8，则AB＝ ，CD＝ .
3.[2023·重庆B卷]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线.若AB＝5，BC＝6，则AD的长为 .
4.[2024秋·槐荫区期末]“勾股树”是以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第七代勾股树中正方形有( )
A.127个 B.129个 C.255个 D.257个
5.[2024·眉山]如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图案.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.44
6.(创新意识、推理能力)根据勾股定理知识迁移，完成下列应用.
(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间满足的等量关系是 .
(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆.若a＝3，c＝5，求图中阴影部分的面积.
参考答案
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1.平方和 平方
【归类探究】
【例1】 (1)13 (2) (3)
【例2】 略
【当堂测评】
1.A 2.(1) (2) (3)
【分层训练】
1.5或 2.10 4.8 3.4 4.C 5.D
6.(1)S1＋S2＝S3 (2)6
。
