第13章 勾股定理
13.2 勾股定理的应用
第2课时 勾股定理的应用(二)
@预习导航
勾股定理与其他知识的综合应用
勾股定理与其他知识的综合应用常见的有：构造直角三角形，添加辅助线作直角三角形等.
@归类探究
类型之一 利用勾股定理画或求长度为无理数的线段
[2024春·忻府区期中]如图，在数轴上点A、B所表示得数分别是－1、1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交数轴于点D(点D在点B的右侧)，则点D所表示的数是 .
类型之二 勾股定理与勾股定理逆定理的综合
(教材P136例4变式)如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，CD＝3，BD＝4，AC＝12，AB＝13.
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
类型之三 勾股定理在折叠问题中的应用
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【点悟】折叠的实质是轴对称，折叠前后的图形全等，对应角相等，对应边相等.
@当堂测评
1.如图，网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，其边长是无理数的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm.将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2
3.[2024秋·山西左权县期中]如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝1，OA在数轴上，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是 .
@分层训练
1.如图，一个门框的尺寸如图所示，下列长方形木板不能从门框内通过的是( )
A.长3m，宽2.2m的长方形木板
B.长3m，面积为6m2的长方形木板
C.长4m，宽2.1m的长方形木板
D.长3m，周长为11m的长方形木板
2.[2024·阳泉一模]某社区准备将一块四边形区域改造为儿童游乐场.如图是某儿童游乐场的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域所需的费用是( )
A.40800元 B.91600元 C.60800元 D.48000元
3.(教材P137习题13.2第5题变式)如图是某婴儿车的简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
4.[2024·巴中]“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC的长为( )
A.8 B.10 C.12 D.13
5.[2024·淮安]如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l，则下列整数与l最接近的是( )
A.14 B.13 C.12 D.11
6.(模型观念、应用意识)如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD.已知AC＝200m，BD＝600m，且CD＝600m.
(1)牧童从A处将牛牵到河边饮水后，再回家，试问在何处饮水所走路程最短？
(2)最短路程是多少？
参考答案
【归类探究】
【例1】 (－1)
【例2】 (1)BC的长为5.
(2)图中阴影部分的面积为24.
【例3】 B
【当堂测评】
1.C 2.C 3.(1－)
【分层训练】
1.D 2.A 3.该车符合安全标准.
4.C 5.B
6.(1)略 (2)最短路程为1000m.
。第13章 勾股定理
13.2 勾股定理的应用
第1课时 勾股定理的应用(一)
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立体图形中的最短路径问题
规 律：将圆柱体(或长方体)展开，利用“在两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论，可以解决立体图形中的最短路径问题.
@归类探究
类型之一 平面展开——最短路径问题
如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的点A处有一只蜘蛛，它想吃到上底面与点C相对的点B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蜘蛛从点A出发，沿着圆柱体的侧面爬到点B，最短路程是多少？(π取3)
【点悟】根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解.圆柱的侧面展开图是长方形.
如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的内部从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
(教材P134例2变式)如图所示为上方是半圆，下方是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2.2m，长方形的另一边为2.3m，有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m，要从此桥洞经过.
(1)卡车是否能通过桥洞？请说明理由.
(2)为了适应车流量的增加，需要把桥洞改为双行道，要使宽为1.5m，高为3.1m的卡车通过，则桥洞的宽至少增加到多少米？
@当堂测评
1.有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱.请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )
A.cm B.cm C.cm D.cm
2.[2024秋·山西迎泽中学月考]如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12cm，高是5cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要 cm.
@分层训练
1.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是( )
A.12cm≤l≤15cm B.9cm≤l≤12cm
C.10cm≤l≤15cm D.10cm≤l≤12cm
2.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距( )
A.15海里 B.20海里 C.35海里 D.40海里
3.如图1，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点G(正方体悬空，底部也是可以爬行的)，怎样爬行路线最短？如图2，网格中已经画出一种最短爬行路线及经过表面的示意图，请仿照这种方法再画出2条最短爬行路线示意图(保持网格中的点A不动).
4.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面圆周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( )
A.13cm B.cm C.cm D.cm
5.[2024秋·山西杏花岭中学月考]如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4、2、9，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计线头长度，细线的最短长度为( )
A.12 B.15 C.18 D.21
6.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的反走私艇B密切注意.A、C两艇的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里，B、C两艇的距离是16海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
7.(模型观念)我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？其意思是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.求葛藤的最短长度.
参考答案
【归类探究】
【例1】 最短路程是25cm.
【例2】 蚂蚁需要爬行的最短距离为20cm.
【例3】 (1)卡车能通过桥洞.理由略.
(2)桥洞的宽至少增加到3.4m.
【当堂测评】
1.C 2.13
【分层训练】
1.A 2.B 3.略 4.A 5.B
6.走私艇C最早会在11时6分进入我国领海.
7.葛藤的最短长度为25尺.
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