第13章 勾股定理 质量评估 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 第13章 勾股定理 质量评估 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-13 21:20:11 | ||
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文档简介
第13章 勾股定理 质量评估
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)
1.在Rt△ABC中，已知两条直角边长a＝1，b＝3，那么斜边c的长为( )
A.2 B.4 C. D.
2.五根木棒的长度(单位：cm)分别为5、9、12、15、17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是( )
A.5、9、12 B.5、12、15 C.9、12、15 D.12、15、17
3.“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：①∴∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②∴∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )
A.①②③④ B.③④②① C.③④①② D.④③②①
4.如图，在数轴上，点A表示实数3，AB垂直数轴于点A，AB＝2，连结OB，以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是( )
A. B.3.5 C. D.
5.在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具.如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形.若书中所描述的“矩尺”的一条直角边长为5尺，斜边比另一条直角边多1尺，则“矩尺”的另一条直角边的长为( )
A.12尺 B.13尺 C.24尺 D.26
6.如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中边BC上的高是( )
A.1.6 B.1.4 C.1.5 D.2
7.如图是两个大小、形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起，其中点A与A'重合，点C'落在边AB上，连结B'C.若∠ACB＝∠AC'B'＝90°，AC＝BC＝3，则B'C的长为( )
A. B.6 C. D.
8.如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要( )
A.11cm B.cm C.(8＋)cm D.(7＋)cm
9.如图，将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为( )
A.b2＋(b－a)2 B.b2＋a2 C.(b＋a)2 D.a2＋2ab
10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P是边BC上异于B、C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( )
A.15 B.25 C.30 D.20
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分)
11.已知△ABC的三边a、b、c满足a＋b2＋｜c－4｜＋12＝4＋6b，则△ABC的面积为 .
12.某数学兴趣小组开展了探究笔记本电脑的张角大小的实践活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为12cm，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为2cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为 .
13.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFHG、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是 .
14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，等边三角形DEF的顶点E在线段AC上，顶点F在BC的延长线上.若CE＝3，DE＝5，则CF＝ .
15.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续画下去，则S2025的值为 .
16.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为20cm，则该圆柱底面周长为 .
三、解答题(共7小题，共86分)
17.(12分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝，CD是斜边AB边上的高，求：
(1)AB的长；
(2)CD的长.
18.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.
19.(12分)消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务.如图，已知云梯最多只能伸长到25m(即AA'＝BB'＝25m)，消防车高4m(即DM＝4m)，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m(即A'M＝19m)高的A'处救人后，还要从24m(即B'M＝24m)高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？
20.(12分)如图，已知某种拉杆箱的箱体长AB为65cm，拉杆最大伸长距离BC为35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD为3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A'处，求拉杆把手C离地面的距离(假设点C的位置保持不变).
21.(12分)定义：若某三角形的三边长a、b、c满足ab＋a2＝c2，则称该三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：
(1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由.
(2)若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，求∠A的度数.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，且∠B＞∠A.求证：△ABC为“类勾股三角形”.
22.(12分)庆庆家附近有一条东西走向的公路AB，一天一辆宣传车从点B开始沿AB所在直线由东向西从这条路上经过.如图，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离AC为400m，与这辆宣传车的起始位置B的距离BC为300m，且∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260m的圆形区域内会听到宣传车的声音.
(1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；
(2)若这辆宣传车的行驶速度为25m/min，则庆庆家会听到宣传车的声音多长时间？
23.(14分)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋(b－a)2，从而得到等式c2＝ab×4＋(b－a)2，化简可得出结论a2＋b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
人们在2010年发现了一个新的证法来证明勾股定理：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA如图2放置，其三边长分别为a、b、c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD.
(1)请用a、b、c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，并证明：a2＋b2＝c2.(提示：对角线相互垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半)
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则边AB上的高为 .
(3)如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值.
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B
7.A 8.B 9.A 10.B 11.6 12.7cm
13. 14.1 15. 16.24cm
17.(1)3 (2) 18.略
19.这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m.
20.拉杆把手C离地面的距离为63cm.
21.(1)等边三角形不是“类勾股三角形”.理由略. (2)∠A的度数为45°. (3)略
22.监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离为500m.
(2)庆庆家会听到宣传车的声音8min.
23.(1)略 (2) (3)x＝
。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)
1.在Rt△ABC中，已知两条直角边长a＝1，b＝3，那么斜边c的长为( )
A.2 B.4 C. D.
2.五根木棒的长度(单位：cm)分别为5、9、12、15、17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是( )
A.5、9、12 B.5、12、15 C.9、12、15 D.12、15、17
3.“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：①∴∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②∴∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )
A.①②③④ B.③④②① C.③④①② D.④③②①
4.如图，在数轴上，点A表示实数3，AB垂直数轴于点A，AB＝2，连结OB，以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是( )
A. B.3.5 C. D.
5.在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具.如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形.若书中所描述的“矩尺”的一条直角边长为5尺，斜边比另一条直角边多1尺，则“矩尺”的另一条直角边的长为( )
A.12尺 B.13尺 C.24尺 D.26
6.如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中边BC上的高是( )
A.1.6 B.1.4 C.1.5 D.2
7.如图是两个大小、形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起，其中点A与A'重合，点C'落在边AB上，连结B'C.若∠ACB＝∠AC'B'＝90°，AC＝BC＝3，则B'C的长为( )
A. B.6 C. D.
8.如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要( )
A.11cm B.cm C.(8＋)cm D.(7＋)cm
9.如图，将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为( )
A.b2＋(b－a)2 B.b2＋a2 C.(b＋a)2 D.a2＋2ab
10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P是边BC上异于B、C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( )
A.15 B.25 C.30 D.20
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分)
11.已知△ABC的三边a、b、c满足a＋b2＋｜c－4｜＋12＝4＋6b，则△ABC的面积为 .
12.某数学兴趣小组开展了探究笔记本电脑的张角大小的实践活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为12cm，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为2cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为 .
13.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFHG、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是 .
14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，等边三角形DEF的顶点E在线段AC上，顶点F在BC的延长线上.若CE＝3，DE＝5，则CF＝ .
15.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续画下去，则S2025的值为 .
16.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为20cm，则该圆柱底面周长为 .
三、解答题(共7小题，共86分)
17.(12分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝，CD是斜边AB边上的高，求：
(1)AB的长；
(2)CD的长.
18.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.
19.(12分)消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务.如图，已知云梯最多只能伸长到25m(即AA'＝BB'＝25m)，消防车高4m(即DM＝4m)，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m(即A'M＝19m)高的A'处救人后，还要从24m(即B'M＝24m)高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？
20.(12分)如图，已知某种拉杆箱的箱体长AB为65cm，拉杆最大伸长距离BC为35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD为3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A'处，求拉杆把手C离地面的距离(假设点C的位置保持不变).
21.(12分)定义：若某三角形的三边长a、b、c满足ab＋a2＝c2，则称该三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：
(1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由.
(2)若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，求∠A的度数.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，且∠B＞∠A.求证：△ABC为“类勾股三角形”.
22.(12分)庆庆家附近有一条东西走向的公路AB，一天一辆宣传车从点B开始沿AB所在直线由东向西从这条路上经过.如图，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离AC为400m，与这辆宣传车的起始位置B的距离BC为300m，且∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260m的圆形区域内会听到宣传车的声音.
(1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；
(2)若这辆宣传车的行驶速度为25m/min，则庆庆家会听到宣传车的声音多长时间？
23.(14分)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋(b－a)2，从而得到等式c2＝ab×4＋(b－a)2，化简可得出结论a2＋b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
人们在2010年发现了一个新的证法来证明勾股定理：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA如图2放置，其三边长分别为a、b、c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD.
(1)请用a、b、c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，并证明：a2＋b2＝c2.(提示：对角线相互垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半)
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则边AB上的高为 .
(3)如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值.
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B
7.A 8.B 9.A 10.B 11.6 12.7cm
13. 14.1 15. 16.24cm
17.(1)3 (2) 18.略
19.这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m.
20.拉杆把手C离地面的距离为63cm.
21.(1)等边三角形不是“类勾股三角形”.理由略. (2)∠A的度数为45°. (3)略
22.监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离为500m.
(2)庆庆家会听到宣传车的声音8min.
23.(1)略 (2) (3)x＝
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