专题3 全等三角形 期末复习 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 专题3 全等三角形 期末复习 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 665.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-13 21:24:00 | ||
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文档简介
专题3 全等三角形
@考点归类
考点一 全等三角形的概念与性质
如图，△ABC≌△A'B'C'，若∠A'＝26°，∠C＝34°，则∠B的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
1.如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，BC与DF交于点G.若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是( )
A.50° B.44° C.34° D.30°
考点二 全等三角形的判定
如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当条件： ，使△AEH≌△CEB.
【点悟】判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”.
2.[2023秋·忻州期末]如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列条件错误的是( )
A.BF＝CE B.AC∥DF
C.∠B＝∠E D.AB＝DE
3.[2024秋·武乡县期中]如图，在△ABC和△EBD中，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝65°，DE与CA交于点F.已知∠BDE＝80°，求∠CFE的度数.
考点三 全等三角形判定与性质的综合
已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
求证：(1)BD＝CE；
(2)∠M＝∠N.
4.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：
(1)△ABC≌△ADE；
(2)DA平分∠BDE.
考点四 等腰三角形的性质
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数.
5.如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.
(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
(2)若F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B.
考点五 等腰三角形的判定
[2023春·通川区期末]在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上的一个动点(不与点B、C重合)，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连结BE.
(1)如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形.
(2)若∠BAC＝∠DAE≠60°，
①如图2，当点D在线段BC上移动时，判断△BEF的形状并证明.
②当点D在线段BC的延长线上移动时，△BEF是什么形状？请直接写出结论并画出相应的图形.
6.如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是 .
考点六 等边三角形的性质与判定
[2024·襄汾县中学月考]如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明理由.
(2)线段BD、DE、EC三者之间有什么关系？并说明理由.
7.如图，△BAD和△BCE都是等边三角形，连结CD、AE，AE与CD交于点F，与BC交于点M，连结BF.
(1)求证：DC＝AE；
(2)求∠BFE的大小；
(3)若CM＝3BM，FE＝22，求BF的长度.
考点七 角平分线的性质
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【点悟】角平分线上一点到角两边的距离相等；常结合三角形全等证明有关结论.
8.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连结DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积.
考点八 线段的垂直平分线
[2024秋·临平区期中]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且AB＝CE，过点A作AD⊥BC于点D.
(1)若∠BAE＝44°，求∠C的度数.
(2)若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求DC的长.
9.如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线l1交BC于点D，边AC上的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB、OC.若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为14cm.
(1)求线段BC的长；
(2)连结OA，求线段OA的长；
(3)若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数.
考点九 与全等三角形有关的动点问题
[2024秋·牡丹江期中]如图1，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB.点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动.点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连结AM、MN，设移动时间为ts.
(1)点M、N从开始移动到停止，所用时间为 s.
(2)当△ABM与△MCN全等时，求a的值.
(3)如图2，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回.当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动.在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
10.如图1，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为ts.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
(2)如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
@过关训练
1.[2024秋·荆州期中]如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BF＝EC B.AC＝DF
C.∠ACB＝∠DFE D.∠B＝∠E
2.[2024秋·泉州期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，则下列结论：①DC＝BC；②△ADF≌△ABE；③EF＝BE＋DF；④AE平分∠FEB.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为50°，底角∠B的度数为 .
4.[2024秋·大兴区校级月考]课上老师提出了这样一个问题：如图，已知AD＝AE，再添加一个条件，可以证明△ADB≌△AEC.
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一.
同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC的理由是 ；
同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC的理由是 ；
同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC的理由是 .
(2)若添加的条件是OE＝OD，求证：△ADB≌△AEC.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；
(3)若∠A＝∠DEF，请判断△DEF是否为等边三角形.
6.如图，甲、乙两个勘探队对A、B、C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着AB和BC方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P、Q处，连结PC并延长，交AQ于点G.
(1)求证：△PBC≌△QCA.
(2)在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中，∠CGQ的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出∠CGQ的度数.
7.在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE.连结BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F.
(1)如图1，当AB＝AD时，
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF(填“＞”“＜”或“＝”)；
②求证：CE＝2AF.
(2)如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
【例1】 C
【变式跟进】
1.C
【例2】 AE＝CE(答案不唯一)
【变式跟进】
2.A 3.∠CFE的度数是45°.
【例3】 略
【变式跟进】
4.略
【例4】 (1)略 (2)∠BOC＝100°
【变式跟进】
5.(1)∠EDF＝50° (2)略
【例5】 (1)等边 (2)①△BEF为等腰三角形.证明略.
②如答图，△BEF为等腰三角形.理由略.
【变式跟进】
6.5
【例6】 (1)△ODE是等边三角形.理由略.
(2)BD＝DE＝EC.理由略.
【变式跟进】
7.(1)略 (2)∠BFE＝60° (3)BF＝
【例7】 D
【变式跟进】
8.(1)∠CAD＝40° (2)略 (3)S△ABE＝
【例8】 (1)∠C＝34° (2)DC＝5cm
【变式跟进】
9.(1)BC＝6cm (2)OA＝4cm
(3)∠DAE＝20°
【例9】 (1)5 (2)a的值为4或.
(3)t的值为2.5或.
【变式跟进】
10.(1)当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ.理由略.
(2)存在或使得△ACP与△BPQ全等.
【过关训练】
1.A 2.C 3.70°或20°
4.(1)SAS AAS ASA (2)略
5.(1)略 (2)∠DEF＝65°
(3)∠A＝∠DEF，则△DEF是等边三角形.理由略.
6.(1)略 (2)∠CGQ的大小不会发生变化.∠CGQ＝120°.
7.(1)①＝ ②略
(2)上述①②结论仍然成立.证明略.
。
@考点归类
考点一 全等三角形的概念与性质
如图，△ABC≌△A'B'C'，若∠A'＝26°，∠C＝34°，则∠B的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
1.如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，BC与DF交于点G.若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是( )
A.50° B.44° C.34° D.30°
考点二 全等三角形的判定
如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当条件： ，使△AEH≌△CEB.
【点悟】判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”.
2.[2023秋·忻州期末]如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列条件错误的是( )
A.BF＝CE B.AC∥DF
C.∠B＝∠E D.AB＝DE
3.[2024秋·武乡县期中]如图，在△ABC和△EBD中，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝65°，DE与CA交于点F.已知∠BDE＝80°，求∠CFE的度数.
考点三 全等三角形判定与性质的综合
已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
求证：(1)BD＝CE；
(2)∠M＝∠N.
4.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：
(1)△ABC≌△ADE；
(2)DA平分∠BDE.
考点四 等腰三角形的性质
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数.
5.如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.
(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
(2)若F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B.
考点五 等腰三角形的判定
[2023春·通川区期末]在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上的一个动点(不与点B、C重合)，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连结BE.
(1)如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形.
(2)若∠BAC＝∠DAE≠60°，
①如图2，当点D在线段BC上移动时，判断△BEF的形状并证明.
②当点D在线段BC的延长线上移动时，△BEF是什么形状？请直接写出结论并画出相应的图形.
6.如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是 .
考点六 等边三角形的性质与判定
[2024·襄汾县中学月考]如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明理由.
(2)线段BD、DE、EC三者之间有什么关系？并说明理由.
7.如图，△BAD和△BCE都是等边三角形，连结CD、AE，AE与CD交于点F，与BC交于点M，连结BF.
(1)求证：DC＝AE；
(2)求∠BFE的大小；
(3)若CM＝3BM，FE＝22，求BF的长度.
考点七 角平分线的性质
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【点悟】角平分线上一点到角两边的距离相等；常结合三角形全等证明有关结论.
8.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连结DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积.
考点八 线段的垂直平分线
[2024秋·临平区期中]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且AB＝CE，过点A作AD⊥BC于点D.
(1)若∠BAE＝44°，求∠C的度数.
(2)若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求DC的长.
9.如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线l1交BC于点D，边AC上的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB、OC.若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为14cm.
(1)求线段BC的长；
(2)连结OA，求线段OA的长；
(3)若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数.
考点九 与全等三角形有关的动点问题
[2024秋·牡丹江期中]如图1，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB.点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动.点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连结AM、MN，设移动时间为ts.
(1)点M、N从开始移动到停止，所用时间为 s.
(2)当△ABM与△MCN全等时，求a的值.
(3)如图2，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回.当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动.在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
10.如图1，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为ts.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
(2)如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
@过关训练
1.[2024秋·荆州期中]如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BF＝EC B.AC＝DF
C.∠ACB＝∠DFE D.∠B＝∠E
2.[2024秋·泉州期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，则下列结论：①DC＝BC；②△ADF≌△ABE；③EF＝BE＋DF；④AE平分∠FEB.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为50°，底角∠B的度数为 .
4.[2024秋·大兴区校级月考]课上老师提出了这样一个问题：如图，已知AD＝AE，再添加一个条件，可以证明△ADB≌△AEC.
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一.
同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC的理由是 ；
同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC的理由是 ；
同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC的理由是 .
(2)若添加的条件是OE＝OD，求证：△ADB≌△AEC.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；
(3)若∠A＝∠DEF，请判断△DEF是否为等边三角形.
6.如图，甲、乙两个勘探队对A、B、C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着AB和BC方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P、Q处，连结PC并延长，交AQ于点G.
(1)求证：△PBC≌△QCA.
(2)在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中，∠CGQ的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出∠CGQ的度数.
7.在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE.连结BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F.
(1)如图1，当AB＝AD时，
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF(填“＞”“＜”或“＝”)；
②求证：CE＝2AF.
(2)如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
【例1】 C
【变式跟进】
1.C
【例2】 AE＝CE(答案不唯一)
【变式跟进】
2.A 3.∠CFE的度数是45°.
【例3】 略
【变式跟进】
4.略
【例4】 (1)略 (2)∠BOC＝100°
【变式跟进】
5.(1)∠EDF＝50° (2)略
【例5】 (1)等边 (2)①△BEF为等腰三角形.证明略.
②如答图，△BEF为等腰三角形.理由略.
【变式跟进】
6.5
【例6】 (1)△ODE是等边三角形.理由略.
(2)BD＝DE＝EC.理由略.
【变式跟进】
7.(1)略 (2)∠BFE＝60° (3)BF＝
【例7】 D
【变式跟进】
8.(1)∠CAD＝40° (2)略 (3)S△ABE＝
【例8】 (1)∠C＝34° (2)DC＝5cm
【变式跟进】
9.(1)BC＝6cm (2)OA＝4cm
(3)∠DAE＝20°
【例9】 (1)5 (2)a的值为4或.
(3)t的值为2.5或.
【变式跟进】
10.(1)当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ.理由略.
(2)存在或使得△ACP与△BPQ全等.
【过关训练】
1.A 2.C 3.70°或20°
4.(1)SAS AAS ASA (2)略
5.(1)略 (2)∠DEF＝65°
(3)∠A＝∠DEF，则△DEF是等边三角形.理由略.
6.(1)略 (2)∠CGQ的大小不会发生变化.∠CGQ＝120°.
7.(1)①＝ ②略
(2)上述①②结论仍然成立.证明略.
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