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（华东师大2024版）
七年级册数学《第9章 轴对称、平移与旋转》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2024秋 旬阳市期末）下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 钟祥市模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，要把四边形ABCD平移到四边形A′B′C′D′的位置，我们可以通过（ ）来实现．
A．向右平移4个单位后再向下平移2个单位
B．向右平移5个单位后再向下平移2个单位
C．向下平移3个单位后再向右平移3个单位
D．向下平移2个单位后再向右平移4个单位
4．（2024春 晋江市期末）正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
6．（2024春 株洲期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向
6．（2024春 邹平市期末）在△ABC中，BC＝9，∠A＝80°，∠B＝40°，如图，把△ABC沿射线BC的方向平移到△DEF的位置，若CF＝6，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB∥DE B．∠F＝60° C．EC＝3 D．AC⊥DE
7．（2024 同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．（2024秋 蓬莱区期末）如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长．其中说法正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
9．（2024秋 淄博期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10．（2024春 大同期末）如图所示，在一块长52米，宽10米的长方形草坪上修筑宽度均为2米的小路（图中阴影部分），其余部分种草，则种草地面的面积是（ ）
A．400米2 B．416米2 C．500米2 D．520米2
二、填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．（2024秋 松江区期末）如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 cm．
12．（2024 石嘴山校级一模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 ．
13．（2024秋 岱岳区期末）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 种画法．
14．（2024秋 招远市期末）如图，△ABC的边长AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜6cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
15．（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝56°，D为BC上任意一点（不与点B，C重合），将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为 ．
16．（2024春 江山市期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ °．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（2024春 洪洞县期末）如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点．
（1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 ，旋转角度为 ；
（2）若BC＝8，求AC的长．
18．（8分）（2024秋 诸暨市期末）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．
（1）若∠A＝95°，∠F＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若BC＝6，点E是BC的中点，求CF的长．
19．（8分）（2024春 绿园区期末）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．
20．（8分）（2024秋 道外区期末）作图题
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示．现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是点B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接BE和CF；
（3）直接写出三角形ABC的面积为 ．
21．（9分）（2024春 瑞安市期中）已知：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°．△BDE在直线BC的下方，且DE∥AB，∠E＝70°．
（1）判断BE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）沿直线BC平移线段BE至MN，连结DN，若DN⊥直线AB，求∠N的度数．
22．（9分）如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
23．（10分）（2024秋 科左中旗期中）如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°．
（1）求∠FAC的度数；
（2）AF平行于DC吗？说明理由；
（3）求∠BAC的度数．
24．（12分）（2024秋 望城区期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】
（1）在图1中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB的度数；
（2）在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数；
（3）在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由．
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七年级册数学《第9章 轴对称、平移与旋转》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2024秋 旬阳市期末）下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2024 钟祥市模拟）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．如图，要把四边形ABCD平移到四边形A′B′C′D′的位置，我们可以通过（ ）来实现．
A．向右平移4个单位后再向下平移2个单位
B．向右平移5个单位后再向下平移2个单位
C．向下平移3个单位后再向右平移3个单位
D．向下平移2个单位后再向右平移4个单位
【分析】找到一对对应点，例如D与D′，观察图形，根据平移的性质，即可求出答案．
【解答】解：四边形ABCD平移到四边形A′B′C′D′的位置，可把四边形A′B′C′D′看作先将四边形ABCD向右平移5格，再向下平移2格，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
4．（2024春 晋江市期末）正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
【分析】求出正六边形的中心角的度数即可．
【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA60°，
∴绕着点O顺时针或逆时针至少旋转60°才能与原正六边形重合，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，求出正六边形中心角的度数是正确解答的关键．
5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】由旋转的性质可得∠B'＝∠B＝90°，∠DAB'＝45°，由四边形内角和定理可求解．
【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，
∴∠B'＝∠B＝90°，∠DAB'＝45°，
∴∠DOB'＝360°﹣∠D﹣∠B'﹣∠DAB'＝135°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（2024春 株洲期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向
6．（2024春 邹平市期末）在△ABC中，BC＝9，∠A＝80°，∠B＝40°，如图，把△ABC沿射线BC的方向平移到△DEF的位置，若CF＝6，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB∥DE B．∠F＝60° C．EC＝3 D．AC⊥DE
【分析】根据平移的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质逐项进行判断即可．
【解答】解：根据平移的性质可知，BC＝EF＝9，∠A＝∠D＝80°，∠B＝∠DEF＝40°，AB∥DE，BE＝CF＝6，
EC＝BC＝BE＝9﹣6＝3，
∠F＝∠ACB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵AB∥DE，
∴∠COE＝∠A＝80°，即AC与DE不垂直，
故选：D．
【点评】本题考查平移的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．
7．（2024 同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．
【解答】解：
连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
8．（2024秋 蓬莱区期末）如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长．其中说法正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据平移的性质逐项进行判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知，
①AB∥DE，AD＝CF＝BE，因此正确；
②由平移的性质可知，∠ACB＝∠DFE，因此②不正确；
③平移的方向是点C到点F的方向或点A到点D的方向或点B到点E的方向，因此正确；
④平移距离为线段BE或线段AD或线段CF的长，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①③，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确判断的前提．
9．（2024秋 淄博期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由全等三角形的性质推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE，由三角形内角和定理求出∠BCE＝40°，即可得到∠ACD＝40°．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE，
∵∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠ACD＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由△ABC≌△DEC，推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE．
10．（2024春 大同期末）如图所示，在一块长52米，宽10米的长方形草坪上修筑宽度均为2米的小路（图中阴影部分），其余部分种草，则种草地面的面积是（ ）
A．400米2 B．416米2 C．500米2 D．520米2
【分析】将小路两旁部分向中间平移，直到小路消失，发现草地是一个长为（52﹣2）米、宽为（10﹣2）米的长方形，根据长方形面积＝长×宽列式计算即可．
【解答】解：由题意，得草地的实际面积为：
（52﹣2）×（10﹣2）＝50×8＝400（m2）．
故选：A．
【点评】此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
二、填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．（2024秋 松江区期末）如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 cm．
【分析】先根据平移的性质得出AD＝BE，△ABC≌△DEF，故可得出AB＝DE，据此可得出结论．
【解答】解：∵△ABC沿BC平移得到△DEF，
∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴△DEF的周长为17cm，
∵四边形ABFD的周长是21cm，
∴2AD+17＝21，
解得DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
12．（2024 石嘴山校级一模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 ．
【分析】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．（2024秋 岱岳区期末）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 种画法．
【分析】根据轴对称图形的性质作出图形即可求解．
【解答】解：根据轴对称图形可作如图所示：
共有5种画法，
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
14．（2024秋 招远市期末）如图，△ABC的边长AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜6cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
【分析】根据平移的性质可得AD＝BE，然后判断出阴影部分的周长＝△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜6cm），得到△DEF，
∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝4+3+6＝13cm，
故答案为：13．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15．（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝56°，D为BC上任意一点（不与点B，C重合），将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为 ．
【分析】连接AD，由对称得∠EAB＝∠DAB，∠DAC＝∠FAC，由三角形内角和定理求得∠BAC即可求解．
【解答】解：连接AD，
∵D点分别以AB，AC为对称轴，对称点分别为E，F，
∴∠EAB＝∠DAB，∠DAC＝∠FAC，
∴∠EAF＝∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC
＝2（∠DAB+∠CAD）
＝2∠BAC；
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝67°，∠C＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝57°，
∴∠EAF＝2×57°＝114°．
故答案为：114°．
【点评】本题考查了对称的性质和三角形内角和定理，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
16．（2024春 江山市期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ °．
【分析】根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，进而利用平角的定义解答即可．
【解答】解：由折叠可知，∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，
∵CB∥AE，
∴∠CBA＝∠BAE，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，
设∠DBE＝3x，∠CAB＝2x，
∴∠CBA＝2x，
∴3x+3x+2x+56°＝180°，
解得：x＝15.5，
∴∠ABC＝31°，
故答案为：31．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2解答．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（2024春 洪洞县期末）如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点．
（1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 ，旋转角度为 ；
（2）若BC＝8，求AC的长．
【分析】（1）根据旋转的概念可得结论；
（2）由点D为BC的中点得出CD＝4，由旋转的性质得AC＝CD＝4．
【解答】解：（1）根据题意得，点C为旋转中心，
由旋转得，∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACE＝130°，
∴∠ACB+∠DCE＝360°﹣∠ACE＝360°﹣130°＝230°，
∴∠ACB＝115°，
∴旋转角度为115°，
故答案为：C；115°；
（2）∵BC＝8，且点D为BC的中点，
∴，
由旋转得，AC＝CD＝4．
【点评】本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
18．（8分）（2024秋 诸暨市期末）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．
（1）若∠A＝95°，∠F＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若BC＝6，点E是BC的中点，求CF的长．
【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形内角和计算出∠DEF即可；
（2）根据全等三角形性质及线段的和差计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D＝95°，∠F＝∠ACB＝55°，
∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣95°﹣55°＝30°；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝6，
∵点E是BC的中点，
∴CEBC＝3，
∴CF＝EF﹣CE＝6﹣3＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．
19．（8分）（2024春 绿园区期末）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．
【分析】根据轴对称的性质作图即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（8分）（2024秋 道外区期末）作图题
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示．现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是点B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接BE和CF；
（3）直接写出三角形ABC的面积为 ．
【分析】（1）由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，结合平移的性质画图即可．
（2）直接连接BE和CF即可．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，
如图，三角形DEF即为所求．
（2）如图，线段BE，CF即为所求．
（3）三角形ABC的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
21．（9分）（2024春 瑞安市期中）已知：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°．△BDE在直线BC的下方，且DE∥AB，∠E＝70°．
（1）判断BE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）沿直线BC平移线段BE至MN，连结DN，若DN⊥直线AB，求∠N的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再由DE∥AB得出∠BDE的度数，由三角形内角和定理得出∠DBE的度数，进而可得出结论；
（2）根据图形平移的性质得出∠CMN的度数，故可得出∠DMN的度数，由DE∥AB，DN⊥直线AB可知DN⊥DE，故∠EDN＝90°，据此可得出∠NDM的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）BE∥AC，理由：
∵∠A＝70°，∠ABC＝50°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABC＝50°，
∵∠E＝70°，
∴∠DBE＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠DBE＝∠C，
∴BE∥AC；
（2）∵直线BC平移线段BE至MN，
∴BE∥MN，
∴∠NMC＝∠DBE＝60°，
∴∠DMN＝180°﹣60°＝120°，
∵DE∥AB，DN⊥直线AB，
∴DN⊥DE，
∴∠EDN＝90°，
∴∠NDM＝180°﹣∠BDE﹣∠EDN＝180°﹣50°﹣90°＝40°，
∴∠N＝180°﹣∠NDM﹣∠DMN＝180°﹣40°﹣120°＝20°．
【点评】本题考查的是平移的性质及平行线的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
22．（9分）如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
【解答】证明：（1）∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）∠F＝∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，
∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，
∴∠F＝∠MCD．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．
23．（10分）（2024秋 科左中旗期中）如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°．
（1）求∠FAC的度数；
（2）AF平行于DC吗？说明理由；
（3）求∠BAC的度数．
【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠DAC＝∠FAB，然后证明∠DAB＝∠FAC即可；
（2）由DA∥BF可知∠DAF+∠F＝180°，由全等三角形的性质可知：∠D＝∠F，从而可得到∠DAF+∠D＝180°；
（3）由AF∥DC，可知∠F＝∠FEC＝110°，然后由DA∥BF可求得∠DAF＝70°，从而可求得∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵△ADC≌△AFB，
∴∠DAC＝∠FAB．
∴∠DAC﹣∠BAC＝∠FAB﹣∠BAC．
∴∠FAC＝∠DAB＝20°；
（2）∵DA∥BF，
∴∠DAF+∠F＝180°．
∵△ADC≌△AFB，
∴∠D＝∠F．
∴∠DAF+∠D＝180°．
∴AF∥DC．
（3）∵AF∥DC，
∴∠F＝∠FEC＝110°．
∵AD∥BF，
∴∠DAF+∠F＝180°．
∴∠DAF＝180°﹣110°＝70°．
∠BAC＝∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB＝70°﹣20°﹣20°＝30°．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）（2024秋 望城区期末）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】
（1）在图1中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB的度数；
（2）在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数；
（3）在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质，可得∠AOA′＝2∠AOE，即可求解；
（2）①根据折叠的性质，可得，，从而得到，即可求解；
②分两种情况：当点B′在点A′的左侧时，当点B′在点A′的右侧时，即可求解．
【解答】解：（1）由折叠性质可知：∠AOE＝∠A′OE，
∵∠AOE＝35°，
∴∠AOA′＝∠AOE+∠A′OE＝2∠AOE＝70°，
∴∠A′OB＝180°﹣∠AOA′＝180°﹣70°＝110°；
（2）由折叠性质可知：，，
∵∠AOA′+∠BOB′＝180°，
∴
＝90°，
即∠EOF＝90°；
（3）∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
或．
理由：由折叠性质可知：，，
①当点B′在点A′的左侧时，如图3，
∠AOA′+∠BOB′﹣∠A′OB′＝180°，
∴，
∴；
②当点B′在点A′的右侧时，如图4，
∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′＝180°，
∴，
∴，
综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
或．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，角的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．
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