四川省自贡一中2015-2016学年高一（下）开学数学试题（含解析）

2015-2016学年四川省自贡一中高一（下）开学数学试卷
　
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题有且只有一项是符合题目要求的．请把机读卡上对应正确答案的番号涂黑．）
1．若cosθ＞0，且tanθ＜0，则角θ的终边所在象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∩B=（　　）
A．{﹣1，1，2，3}
B．{﹣1}
C．{1，2}
D．{3}
3．函数y=的定义域为（　　）
A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，1）
C．（0，1]
D．（0，1）
4．（5分）（2013秋鼎城区校级期中）设f（x）=lg，g（x）=ex+，则
（　　）
A．f（x）与g（x）都是奇函数
B．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
C．f（x）与g（x）都是偶函数
D．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
5．（5分）（2015湖南模拟）要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+）函数的图象（　　）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
6．（5分）（2016春自贡校级月考）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．
B．y=e﹣x
C．y=lg|x|
D．y=﹣x2+1
7．（5分）（2015秋蒙城县校级期末）使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（　　）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
8．（5分）（2016春自贡校级月考）已知函数，那么f（ln2）的值是（　　）
A．0
B．1
C．ln（ln2）
D．2
9．（5分）（2004辽宁）若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（　　）
A．ω=1，φ=
B．ω=1，φ=﹣
C．ω=，φ=
D．ω=，φ=﹣
10．以速度v（常数）向图所示的瓶子注水，则水面高度h与时间t的函数关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡内.
11．（5分）（2014秋克拉玛依区校级期末）计算=　　　　　　．
12．（5分）（2016春自贡校级月考）已知，，c=log32．则a，b，c的大小关系为：　　　　　　．
13．已知log0.6（2m）＜log0.6（m﹣1），则m的取值范围是　　　　　　．
14．已知．若，则自变量x的取值范围是　　　　　　．
15．是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a的值是　　　　　　．
　
三、解答题：（本大题共6小题，第20小题各13分；第21小题14分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（12分）（2014春永寿县校级期中）已知tanα=3，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
17．（12分）（2013秋延庆县期末）如图，定义在[﹣1，5]上的函数f（x）由一段线段和抛物线的一部分组成．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）指出函数f（x）的自变量x在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0或等于0（不需说理由）．
18．（12分）（2016春自贡校级月考）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
19．（12分）（2013秋延庆县期末）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．
20．（13分）（2013秋延庆县期末）已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1+kx），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）当k=﹣2时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数H（x）=f（x）﹣g（x）是奇函数（不为常函数），求实数k的值．
21．（14分）（2013秋延庆县期末）已知函数f（x）=2sinx+1．
（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；
（Ⅱ）设集合，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．
　
2015-2016学年四川省自贡一中高一（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题有且只有一项是符合题目要求的．请把机读卡上对应正确答案的番号涂黑．）
1．若cosθ＞0，且tanθ＜0，则角θ的终边所在象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】利用余弦函数与正切函数的符号判断，可得答案．
【解答】解：∵cosθ＞0，得θ为第一、四象限角；
又tanθ＜0，
∴θ为第四象限角．
故选D．
【点评】本题考查了三角函数的符号．
　
2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∩B=（　　）
A．{﹣1，1，2，3}
B．{﹣1}
C．{1，2}
D．{3}
【分析】求出A中方程的解确定出A，列举出集合B中的元素确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中的方程变形得：（x﹣3）（x+1）=0，
可得x﹣3=0或x+1=0，
解得：x=3或x=﹣1，
即A={﹣1，3}；
∵B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，
∴A∩B={3}．
故选D
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
　
3．函数y=的定义域为（　　）
A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，1）
C．（0，1]
D．（0，1）
【分析】对数函数的真数一定要大于0，且log0.5x大约等于零，列出方程组，从而求出x的取值范围，即为函数的定义域．
【解答】解：要使函数y=有意义，则
解得：0＜x≤1
故函数y=的定义域为（0，1]．
故选：C．
【点评】本题考点是对数的定义域，属于基础题．
　
4．（5分）（2013秋鼎城区校级期中）设f（x）=lg，g（x）=ex+，则
（　　）
A．f（x）与g（x）都是奇函数
B．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
C．f（x）与g（x）都是偶函数
D．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
【分析】根据函数奇偶性的定义，对f（x）与g（x）的奇偶性依次加以验证，可得f（x）是奇函数且g（x）是偶函数，由此即可得到本题答案．
【解答】解：首先，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域都关于原点对称
对于f（x），可得f（﹣x）=lg=lg
∴f（﹣x）+f（x）=lg（×）=lg1=0
由此可得：f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）是奇函数；
对于g（x），可得g（﹣x）==+ex
∴g（﹣x）=g（x），g（x）是定义在R上的偶函数
故选：B
【点评】本题给出两个函数f（x）、g（x），叫我们判断其奇偶性．着重考查了函数的奇偶性的定义及其判断方法的知识，属于基础题．
　
5．（5分）（2015湖南模拟）要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+）函数的图象（　　）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【分析】由于y=sin（2x+）=sin2（x+），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由于y=sin（2x+）=sin2（x+），
故将y=sin（2x+）函数的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2x的图象，
故选D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
　
6．（5分）（2016春自贡校级月考）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．
B．y=e﹣x
C．y=lg|x|
D．y=﹣x2+1
【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】解：y=是偶函数，在（0，+∞）单调递减，故不正确，
y=e﹣x是增函数，但不具备奇偶性，故不正确，
y=lg|x|是偶函数，且x＞0时，y=lgx单调递增，故正确
y=﹣x2+1是偶函数，但在（0，+∞）单调递减，故不正确，
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本函数的奇偶性、单调性可给解决问题带来很大方便．
　
7．（5分）（2015秋蒙城县校级期末）使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（　　）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【分析】由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论．
【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2
∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0
由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点
故选C．
【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
　
8．（5分）（2016春自贡校级月考）已知函数，那么f（ln2）的值是（　　）
A．0
B．1
C．ln（ln2）
D．2
【分析】由ln2＜1，由分段函数得f（ln2）=eln2﹣1，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（ln2）=eln2﹣1=2﹣1=1．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数定义、对数性质的合理运用．
　
9．（5分）（2004辽宁）若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（　　）
A．ω=1，φ=
B．ω=1，φ=﹣
C．ω=，φ=
D．ω=，φ=﹣
【分析】由图象知函数f（x）的最小正周期是4π，进而求得w，再根据f（）=1求得φ．
【解答】解：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=．
又当x=时，y=1，
∴sin（×+φ）=1，
+φ=2kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=．
故选C
【点评】本题主要考查利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象来确定函数解析式得问题．要注意观察图象的周期、与x轴y轴的交点，利用这些特殊点来求．
　
10．以速度v（常数）向图所示的瓶子注水，则水面高度h与时间t的函数关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据圆台型瓶子的特点，即可得到结论．
【解答】解：∵瓶子的形状为圆台型，上面的体积小，下面的体积大，
∴单位时间内水面上升的高度是递增的，但递增的速度越来越快，
对应的图象为B．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的
识别和判断，根据圆台的体积变化特点即可得到结论．比较基础．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡内.
11．（5分）（2014秋克拉玛依区校级期末）计算=　　．
【分析】利用两角差的正切公式把要求的式子化为tan（45°﹣15°）=tan30°，从而求得结果．
【解答】解：
==tan（45°﹣15°）=tan30°=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
　
12．（5分）（2016春自贡校级月考）已知，，c=log32．则a，b，c的大小关系为：　b＜a＜c　．
【分析】化指数式为对数式得到b，再与a化为同底数比较大小，由a，b为负数，c为正数即可得到答案．
【解答】解：
=﹣log23＜0，
由，得＜0，
且﹣log25＜﹣log23，
c=log32＞0．
则b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础题．
　
13．已知log0.6（2m）＜log0.6（m﹣1），则m的取值范围是　m＞1　．
【分析】根据真数大于零和对数函数的单调性列出方程，由此求得实数m的取值范围．
【解答】解：由y=log0.6x在定义域上是减函数和真数大于零得，
，解得：，即m＞1．
∴m的取值范围是m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题主要考查了对数函数的单调性应用，易错点在易忘对数的真数大于零．属于基础题．
　
14．已知．若，则自变量x的取值范围是　　．
【分析】根据正切函数的图象和性质解不等式即可．
【解答】解：∵当时，y=tanx单调递增，
∴由y，即tanx，
得，
即自变量x的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正切函数的图象和性质，利用正切函数的单调性解三角不等式，比较基础．
　
15．是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a的值是　1，3，5或﹣1　．
【分析】由函数在（0，+∞）是减函数得a2﹣4a﹣9＜0，即，由a为整数且函数为偶函数得a的值．
【解答】解：∵函数是（0，+∞）是减函数
∴a2﹣4a﹣9＜0
∴
∵a为整数
∴a=﹣1、0、1、2、3、4、5
∴当a=﹣1时，y=x﹣4是偶函数；
当a=0时，y=x﹣9是奇函数；
当a=1时，y=x﹣12是偶函数；
当a=2时，y=x﹣13是奇函数；
当a=3时，y=x﹣12是偶函数
当a=4时，y=x﹣9是奇函数；
当a=5时，y=x﹣4是偶函数．
∴a=﹣1、1、3、5
故答案为：﹣1、1、3、5．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性，体现了分类的数学思想．
　
三、解答题：（本大题共6小题，第20小题各13分；第21小题14分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（12分）（2014春永寿县校级期中）已知tanα=3，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值；
（2）原式分子利用同角三角函数间基本关系化简后，再利用同角三角函数间基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵tanα=3，
∴原式===2014；
（2）∵tanα=3，
∴原式====1．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
　
17．（12分）（2013秋延庆县期末）如图，定义在[﹣1，5]上的函数f（x）由一段线段和抛物线的一部分组成．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）指出函数f（x）的自变量x在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0或等于0（不需说理由）．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据函数的图象确定函数值对应的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当﹣1≤x≤0时，直线过点（0，1）和（﹣1，﹣1），则对应的直线方程为f（x）=kx+1，
∵f（﹣1）=﹣k+1=﹣1，
∴k=2，即f（x）=2x+1，
当0≤x≤5时，抛物线与x轴的交点为（1，0）和（4，0），
∴设f（x）=a（x﹣1）（x﹣4），
∵f（0）=4a=1，
∴a=，
即f（x）=（x﹣1）（x﹣4），0≤x≤5．
（Ⅱ）由f（x）=2x+1=0，得x=﹣，
∴当﹣＜x＜1或4＜x＜5时，函数值大于0，
当﹣1＜x＜﹣或1＜x＜4时，函数值小于0，
当x=﹣或x=1或x=45时，函数值等于0．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，利用待定系数法是解决本题的关键．
　
18．（12分）（2016春自贡校级月考）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，利用周期公式即可得解f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（3）由，得，进而可得，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）f（x）=cos2x﹣sinxcosx
=…3分
=
=，…5分
所以f（x）的最小正周期．…6分
（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．…7分
（3）由，得，
所以，…8分
所以当，即x=0时，；
…10分
当，即时，．…12分．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．
　
19．（12分）（2013秋延庆县期末）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．
【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．
【解答】解：（Ⅰ）设x∈（﹣∞，0），
则﹣x∈（0，+∞），
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=
∴f（﹣x）=，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）=﹣，x∈（﹣∞，0），
∴f（x）=．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴只需要证明函数f（x）在[0，+∞）上单调递增即可，
设x2＞x1≥0，
则，
∵x2＞x1≥0，
∴x2﹣x1＞0，，
即＞0，
∴f（x2）＞f（x1），即函数在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在定义域R上是增函数．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的定义证明函数单调性的方法，要求熟练掌握相关的定义．
　
20．（13分）（2013秋延庆县期末）已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1+kx），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）当k=﹣2时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数H（x）=f（x）﹣g（x）是奇函数（不为常函数），求实数k的值．
【分析】（Ⅰ）当k=﹣2时，由函数h（x）的定义，可得，解得x的范围，可得函数h（x）的定义域．
（Ⅱ）由于函数H（x）=是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=0，由此求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）当k=﹣2时，求函数h（x）=f（x）+g（x）=loga（1+x）+loga（1﹣2x）=loga（1+x）（1﹣2x），
由，
解得﹣1＜x＜，
故函数h（x）的定义域为（﹣1，）．
（Ⅱ）由于函数H（x）=f（x）﹣g（x）=是奇函数，
故有f（﹣x）=﹣f（x），
即=﹣，
∴+==0，
∴k=±1．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，求函数的定义域、函数的奇偶性的判断，属于中档题．
　
21．（14分）（2013秋延庆县期末）已知函数f（x）=2sinx+1．
（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；
（Ⅱ）设集合，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[﹣，]，ω＞0，可得x∈[﹣，]，利用f（ωx）在区间上单调递增，可得不等式组，解不等式组，即可求实数ω的取值范围；
（Ⅱ）求出函数的值域，根据A∪B=B，可得A B，从而可得不等式组，解不等式，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[﹣，]，ω＞0，可得x∈[﹣，]，
∵f（ωx）在区间上单调递增，
∴，
∴0＜ω≤；
（Ⅱ）∵A∪B=B，
∴A B，
∵|f（x）﹣m|＜2，
∴m﹣2＜f（x）＜m+2，
∵，
∴，
∴2≤f（x）≤3，
∴，
∴1＜m＜4．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查函数的值域，考查集合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦函数的单调性是关键．