浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高三上学期10月初检测数学试题
一、单项选择题（6*7分=42分 ）
1．（2024高三上·建德月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知集合，因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式易得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·建德月考）设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据复数代数形式的除法运算法则计算即可.
3．（2024高三上·建德月考）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴
故答案为：D
【分析】由两向量垂直时坐标公式求出答案。
4．（2024高三上·建德月考）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．7 B．8 C．10 D．16
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列中，，，
则，即，解得.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质计算即可.
5．（2024高三上·建德月考）已知，则（ ）
A．- B．- C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，即，
则.
故答案为：C.
【分析】原式平方后相加，利用同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求解即可.
6．（2024高三上·建德月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，
则，解得，故的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由于函数在上单调递增， 则指数函数以及一次函数均单调递增，结合分界点处的函数列不等式组，求解即可.
二、多选题（2*7分=14分 ）
7．（2024高三上·建德月考）若函数的图象经过点，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点为函数图象的对称中心
C．直线为函数图象的对称轴
D．函数的单调增区间为
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由可得函数f(x) 的最小正周期为，故A正确；
由函数的图象经过点 ，得，即，又由得，
故 ，则 ，故B错误；
由得直线为函数图象的对称轴 ，故C正确；
由得
故函数f (x)的单调增区间为 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 先求出f (x)的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
8．（2024高三上·建德月考）已如函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数存在最小值
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由可得．
由可得：．由可得：．
所以在单调递减，在单调递增，A不正确，C符合题意：
对于B：在单调递增，
因为，所以，B符合题意；
对于D：方程即，有一根为，令．则
，
令可得或，
令可得，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由结合求导的方法判断函数的单调性；再利用函数的单调性，可得在单调递增，再利用，所以；再利用函数的单调性求出函数的最小值；再结合两函数的图象的交点的横坐标等价于方程的根的等价关系， 从而得出对于任意实数k，方程最多有4个实数解，进而找出结论正确的选项。
三、填空题（2*7分=14分 ）
9．（2024高三上·建德月考）在等比数列中，，则的值为 .
【答案】1或
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
又因为，所以，所以，
当时，，解得；
当时，，解得，
则的值为1或.
故答案为：1或.
【分析】设等比数列的公比为，由利用等比数列的性质求得，再由求得公比q，再分情况结合等比数列的通项公式求的值即可.
10．（2024高三上·建德月考）设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，易知均为单调递增函数，
令，则，要时，且，
则，，即，则，
令，则，
当时，即时，在内恒成立，函数在上单调递减，
则，解得，经检验满足题意；
当时，即时，令，解得；令，解得；
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，与矛盾，舍去；
综上所述：．
故答案为：1.
【分析】令，由图象可知，由题意可得则，，即，则，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数最小值即可得a的值.
四、解答题（30分）
11．（2024高三上·建德月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）证明：，由正弦定理、余弦定理可得：
，
化简整理得：，则；
（2）解：若，则，
因为的面积为，所以，所以，
由余弦定理：，可得，
因为，所以，即，
则的周长为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理化简证明即可；
（2）根据同角三角函数关系求得，再由三角形面积公式得，利用（1）中结论，结合余弦定理求得，再计算周长即可.
（1）由正弦定理及余弦定理可得：
化简得：.
（2）因为，且为三角形内角，
.
，所以.
由余弦定理可得：，
所以，
，
，即，
所以周长为.
12．（2024高三上·建德月考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性
（2）当时，证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在上为单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数的递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：当时，函数的定义域为，
由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入函数解析式，利用（1）的结论，求函数的最值，即可证明.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，在上为单调递增；
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，的递增区间为；
当时，的递增区间，递减区间为.
（2）证明：当时，函数的定义域为，
由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
所以.
1 / 1浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高三上学期10月初检测数学试题
一、单项选择题（6*7分=42分 ）
1．（2024高三上·建德月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·建德月考）设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·建德月考）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·建德月考）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．7 B．8 C．10 D．16
5．（2024高三上·建德月考）已知，则（ ）
A．- B．- C． D．
6．（2024高三上·建德月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（2*7分=14分 ）
7．（2024高三上·建德月考）若函数的图象经过点，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点为函数图象的对称中心
C．直线为函数图象的对称轴
D．函数的单调增区间为
8．（2024高三上·建德月考）已如函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数存在最小值
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
三、填空题（2*7分=14分 ）
9．（2024高三上·建德月考）在等比数列中，，则的值为 .
10．（2024高三上·建德月考）设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为 ．
四、解答题（30分）
11．（2024高三上·建德月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，的面积为，求的周长．
12．（2024高三上·建德月考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性
（2）当时，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知集合，因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式易得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据复数代数形式的除法运算法则计算即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴
故答案为：D
【分析】由两向量垂直时坐标公式求出答案。
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列中，，，
则，即，解得.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质计算即可.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，即，
则.
故答案为：C.
【分析】原式平方后相加，利用同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，
则，解得，故的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由于函数在上单调递增， 则指数函数以及一次函数均单调递增，结合分界点处的函数列不等式组，求解即可.
7．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由可得函数f(x) 的最小正周期为，故A正确；
由函数的图象经过点 ，得，即，又由得，
故 ，则 ，故B错误；
由得直线为函数图象的对称轴 ，故C正确；
由得
故函数f (x)的单调增区间为 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 先求出f (x)的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
8．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由可得．
由可得：．由可得：．
所以在单调递减，在单调递增，A不正确，C符合题意：
对于B：在单调递增，
因为，所以，B符合题意；
对于D：方程即，有一根为，令．则
，
令可得或，
令可得，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由结合求导的方法判断函数的单调性；再利用函数的单调性，可得在单调递增，再利用，所以；再利用函数的单调性求出函数的最小值；再结合两函数的图象的交点的横坐标等价于方程的根的等价关系， 从而得出对于任意实数k，方程最多有4个实数解，进而找出结论正确的选项。
9．【答案】1或
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
又因为，所以，所以，
当时，，解得；
当时，，解得，
则的值为1或.
故答案为：1或.
【分析】设等比数列的公比为，由利用等比数列的性质求得，再由求得公比q，再分情况结合等比数列的通项公式求的值即可.
10．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，易知均为单调递增函数，
令，则，要时，且，
则，，即，则，
令，则，
当时，即时，在内恒成立，函数在上单调递减，
则，解得，经检验满足题意；
当时，即时，令，解得；令，解得；
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，与矛盾，舍去；
综上所述：．
故答案为：1.
【分析】令，由图象可知，由题意可得则，，即，则，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数最小值即可得a的值.
11．【答案】（1）证明：，由正弦定理、余弦定理可得：
，
化简整理得：，则；
（2）解：若，则，
因为的面积为，所以，所以，
由余弦定理：，可得，
因为，所以，即，
则的周长为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理化简证明即可；
（2）根据同角三角函数关系求得，再由三角形面积公式得，利用（1）中结论，结合余弦定理求得，再计算周长即可.
（1）由正弦定理及余弦定理可得：
化简得：.
（2）因为，且为三角形内角，
.
，所以.
由余弦定理可得：，
所以，
，
，即，
所以周长为.
12．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在上为单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数的递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：当时，函数的定义域为，
由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入函数解析式，利用（1）的结论，求函数的最值，即可证明.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，在上为单调递增；
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，的递增区间为；
当时，的递增区间，递减区间为.
（2）证明：当时，函数的定义域为，
由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
所以.
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