第4节 研究平抛运动的规律
核心素养导学
物理观念 (1)知道平抛运动的受力特点。 (2)理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹是抛物线。
科学思维 (1)会用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析。 (2)会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题。 (3)认识平抛运动研究中等效替代的思想和“化繁为简”的思想。
科学态度与责任 通过对平抛运动规律的研究，能认识物理学是人们有意识探究而形成的对自然现象的描述与解释;认识到平抛运动的普遍性，有学习物理的内在动力，体会物理学的应用价值。
一、平抛运动的实验研究
1.探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)如图所示，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动，同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动。
(2)观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后。
(3)分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复实验，记录实验现象。
2.对平抛运动频闪照片的研究
(1)如图(a)所示，截取钢球做平抛运动的部分图像，并适当放大。
(2)将钢球球心的各位置用一条平滑的曲线连接起来。
(3)以初速度的方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系。
(4)标出小球各位置的x坐标和y坐标，分别为x1、x2、x3、x4、x5及y1、y2、y3、y4、y5。
(5)测量x方向的相等时间间隔的位移，发现Ox1=x1x2=x2x3=x3x4=x4x5，说明钢球沿x轴方向的分运动为匀速直线运动。
(6)测量y方向相等时间间隔的位移，发现Oy1∶y1y2∶y2y3∶y3y4∶y4y5=1∶3∶5∶7∶9。说明钢球沿y方向的分运动是初速度为0的匀加速直线运动。
二、平抛运动的理论探究
1.平抛运动中的位移
(1)水平方向:x= 。(2)竖直方向:y= 。
2.平抛运动中的速度
(1)水平方向: 。(2)竖直方向: 。
3.物体做平抛运动的轨迹
，其中， 与x、y无关，具有y=ax2的形式，它的图像是一条 。
物体平抛后下落时间越长，速度与水平方向的夹角越大，但永远不会达到90°。
1.如图所示，运动员在球场上多次从同一高度以不同的水平速度击出网球，且网球落在同一水平面内。请对以下结论作出判断:
(1)网球的初速度越大，下落得越快。 ( )
(2)网球的初速度越大，抛出的水平距离越大。 ( )
(3)网球做平抛运动到落地的时间与初速度大小无关。 ( )
(4)所有网球做平抛运动的过程中速度变化量都相同。 ( )
2.由静止释放后的小球将从桌子的边缘沿水平方向飞出，开始做平抛运动。
(1)小球的运动轨迹能否被看作是一条抛物线
(2)小球具有什么受力特点
(3)为了研究方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动
新知学习(一) 对平抛运动的理解
[重点释解]
1.平抛运动的性质:加速度为g的匀变速曲线运动。
2.平抛运动的特点
(1)受力特点
只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度:a=g，平抛运动是匀变速曲线运动。
②速度:初速度v0方向水平;任意时刻的瞬时速度的水平分量都等于初速度v0，竖直分量都等于自由落体运动的速度。
③速度变化特点:任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv=gΔt，方向竖直向下，如图所示。
(3)轨迹特点:运动轨迹是抛物线。
[特别提醒] 平抛运动中任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，但是速率的变化却不相等。
[针对训练]
1.(多选)在空气阻力可忽略的情况下，下列物体的运动可视为平抛运动的是 ( )
A.沿水平方向击出的排球
B.沿斜向上方投出的篮球
C.沿水平方向抛出的小石子
D.沿竖直方向向上抛出的橡皮
2.(2023·广东1月学考)(多选)某次演习中，救援飞机水平匀速飞行，朝前方落水者释放救生设备，该设备越过了落水者。再次释放时，设释放点与落水者间的水平距离不变，忽略空气阻力，为了使救生设备准确落到落水者处，则飞机可采取的措施有 ( )
A.高度不变，适当降低飞行速度
B.高度不变，适当增加飞行速度
C.速度不变，适当降低飞行高度
D.速度不变，适当增加飞行高度
新知学习(二) 平抛运动的规律及推论
[重点释解]
1.研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法。
(2)平抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2.运动规律
速度 位移
水平分运动 水平速度vx=v0 水平位移x=v0t
竖直分运动 竖直速度vy=gt 竖直位移y=gt2
合运动 大小:v= 方向:与水平方向夹角为θ，tan θ== 大小:s= 方向:与水平方向夹角为α，tan α==
图示
3.两个推论
(1)推论1:平抛运动的速度偏向角θ与平抛运动的位移偏向角α的关系:tan θ=2tan α。
证明:如图甲所示，速度偏向角tan θ==。
位移偏向角tan α====tan θ。
故有tan θ=2tan α。
(2)推论2:平抛运动在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过对应水平位移的中点。
证明:如图乙所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点。
则OB=v0t，AB==gt2·=gt2·=v0t。
可见AB=OB，所以A点为OB的中点。
即:平抛运动在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过对应水平位移的中点。
[典例体验]
[典例] 体育课上，甲同学在距离地面高h1=2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0=8.0 m/s;乙同学在离地h2=0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。取重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力。求:
(1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x;
(2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向。
尝试解答:
/方法技巧/
解决平抛运动问题的一般思路
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。
这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使复杂问题的解决过程得到简化。
[针对训练]
1.(2024·湖北高考)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 ( )
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
2.如图所示，从某一高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
新知学习(三) 平抛运动与斜面相结合的模型
[例1·沿着斜面平抛] 如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点。A、B两点间的竖直高度h=45 m，斜坡与水平面的夹角α=37°，不计空气阻力(取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)。求:
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小;
(2)运动员落到B点时瞬时速度v1的大小和方向。
尝试解答:
[例2·对着斜面平抛] 如图所示，倾角θ=30°的斜面放在水平地面上，P是斜面底端O点正上方的一点，一物体从P点水平抛出，垂直落到斜面上的A点。A点距离水平面的高度为h，由此可知OP之间的距离为 ( )
A.2h B.2.5h
C.2h D.2h
听课记录:
[内化模型]
平抛运动与斜面结合的两类模型比较
类型 沿着斜面平抛 对着斜面平抛
情景 图例 如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上 如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上
关联 关系 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角
处理 方法 抓住位移的分解 抓住速度的分解
几个重 要关系 (1)水平位移和竖直位移的关系: tan θ=== (2)速度方向与斜面夹角(α-θ)是恒定的 (tan α=2tan θ) (3)运动时间 t= (1)速度方向与斜面垂直 (2)水平分速度与竖直分速度的关系:tan θ== (3)运动时间 t=
[针对训练]
1.如图所示，从倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球 ( )
A.水平位移之比为1∶2
B.下落的高度之比为1∶2
C.在空中飞行的时间之比为1∶2
D.落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2
2.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向夹角θ=60°，AB两点高度差h=1 m，忽略空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为 ( )
A.2 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D. m/s
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
科学思维——步枪打靶问题
1.(选自鲁科版教材课后练习)如图所示，两支步枪先后在同一位置沿水平方向各射出一颗子弹，打在100 m远处的靶子上，两弹孔在竖直方向相距5 cm，其中A为甲枪的子弹孔，B为乙枪的子弹孔。
(1)哪支枪射出的子弹速度较大 为什么
(2)若甲枪子弹射出时的速度为500 m/s，取重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，求乙枪子弹射出时的速度。
科学思维——飞机投弹问题
2.(选自人教版教材例题)如图，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0=2 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h=20 m，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2。
(1)求小球下落的时间。
(2)求小球释放点与落地点之间的水平距离。
分析:忽略空气阻力，小球脱离无人机后做平抛运动，它在竖直方向的分运动是自由落体运动，根据自由落体运动的特点可以求出下落的时间，根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
1.(多选)套圈游戏是一项很受欢迎的群众娱乐活动，如图所示，现在假设要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m的20 cm高的竖直细杆，即为获胜。一身高1.4 m的儿童从距地面1 m高度水平抛出圆环，圆环半径为10 cm，要想套住细杆，他水平抛出的速度可能为(g取10 m/s2) ( )
A.7.4 m/s B.7.6 m/s
C.7.8 m/s D.8.2m/s
2.如图所示，在某次空投演习中，离地距离为H处的飞机发射一颗导弹，导弹以水平速度v1射出，欲轰炸地面上的目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射导弹进行拦截。设飞机发射导弹时与拦截系统的水平距离为s，如果拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足 ( )
A.v1=v2 B.v1= v2
C.v1= v2 D.v1= v2
微专题整合——平抛运动的两类模型
类型一 类平抛运动模型
1.运动建模
当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直，该运动可以称为类平抛运动。
2.模型特点
3.分析方法
与平抛运动的处理方法一致，将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。
4.解答思路
[例1] 如图所示，光滑斜面长L=10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0=10 m/s的初速度水平射入，求:(g取10 m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x;
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
尝试解答:
/方法技巧/
解决类平抛运动问题的步骤
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。
(3)根据题目的已知条件和要求解的未知量，充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。
[应用体验]
1.如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1、P2在同一水平面内，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x12.如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求:
(1)飞机受到的升力大小;
(2)在高度h处飞机的速度大小。
类型二 平抛运动的临界模型
1.模型特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2.求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
[例2] (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
尝试解答:
/易错警示/
对于有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题中数据盲目地代入公式。
[应用体验]
3.如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v0=5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为 ( )
A.6 m/s B.7.5 m/s
C.9 m/s D.11.25m/s
4.如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m。某人在离墙壁距离L=1.4 m，距窗子上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是 ( )
A.v>7 m/s B.v>2.3 m/s
C.3 m/s第4节 研究平抛运动的规律
落实必备知识
[预读教材]
二、
1．(1)v0t (2)gt2 2.(1)vx＝v0 (2)vy＝gt
3．y＝x2 抛物线
[情境创设]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．提示：(1)可以看作一条抛物线。
(2)只受重力作用。
(3)水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
强化关键能力
新知学习(一)
[针对训练]
1．选AC 沿水平方向击出的排球，相对地面初速度沿水平方向，且只受重力，是平抛运动，故A项正确；沿斜向上方投出的篮球的初速度不是沿水平方向，所以不是平抛运动，故B项错误；沿水平方向抛出的小石子相对地面初速度方向水平，且只受重力，是平抛运动，故C项正确；沿竖直方向向上抛出的橡皮的初速度沿竖直方向，不是平抛运动，故D项错误。
2．选AC 根据题意可知，设备越过了落水者，由于x＝v0t，则为了使救生设备准确落到落水者处，可以减小设备的初速度，或减小设备的飞行时间。若高度不变，由h＝gt2可知，飞行时间不变，则需减小设备的初速度，即适当降低飞行速度，故B错误，A正确；若速度不变，则应减小飞行时间，由h＝gt2可知，要减小飞行时间，需适当降低飞行高度，故D错误，C正确。
新知学习(二)
[典例] 解析：(1)设排球在空中飞行的时间为t，则h1－h2＝gt2，解得t＝0.6 s；
则排球在空中飞行的水平距离x＝v0t＝4.8 m。
(2)乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小vy＝gt＝6.0 m/s，
根据v＝得v＝10.0 m/s，
设速度方向与水平方向夹角为θ(如图所示)
则有tan θ＝＝0.75。
答案：(1)4.8 m (2)10.0 m/s，方向与水平方向夹角tan θ＝0.75
[针对训练]
1．选C 青蛙做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x ，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此青蛙应跳到荷叶c上面。故选C。
2．选D 如图所示，小球在竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝ ，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，选项B 错误；由于tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。
新知学习(三)
[例1] 解析：(1)A到B竖直方向，有：h＝gt2，
解得t＝ ＝3 s；
水平方向，有：x＝v0t，又x＝＝60 m，
解得v0＝＝20 m/s。
(2)竖直方向，vy＝gt＝30 m/s，
运动员落到B点时瞬时速度大小v1＝＝10 m/s，
速度方向斜向右下方，与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝1.5。
答案：(1)20 m/s (2)10 m/s，方向斜向右下方，与水平方向夹角的正切值为1.5
[例2] 选B 设OP之间的距离为H，物体做平抛运动的水平位移为s，则H－h＝vy·t，s＝v0t，两式相除＝，因为＝，s＝，所以H＝h＋，代入数据求得H＝2.5h，B正确。
[针对训练]
1．选C 因为两个小球均落到斜面上，所以二者的位移偏转角相同，又由于初速度之比为1∶2，所以根据位移偏转角的正切值tan θ＝，所以运动时间之比为1∶2，C正确；再结合x＝v0t，可得水平位移之比为1∶4，A错误；再根据h＝gt2，下落的高度之比为1∶4，B错误；再根据速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍可知，速度偏转角相同，速度方向与斜面夹角之比为1∶1，D错误。
2．选C 根据h＝gt2得，t＝ ＝ s＝ s，竖直分速度：vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根据平行四边形定则知，球刚要落到球拍上时速度大小v＝＝4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
浸润学科素养和核心价值
一、
1．解析：(1)甲枪射出的子弹速度较大，因为甲的弹孔A的位置较高，说明甲枪中射出的子弹在竖直方向下落的高度较小，由h＝gt2可知，甲枪中子弹运动时间较短，而水平距离相同，说明甲枪射出的子弹速度较大。
(2)对甲枪射出的子弹，由x＝vAtA、yA＝gtA2，
可得yA＝0.2 m，
对乙枪射出的子弹，
由x＝vBtB，yA＋h＝gtB2，可得vB＝200 m/s。
答案：(1)见解析 (2)200 m/s
2．解析：(1)以小球从无人机释放时的位置为原点O建立平面直角坐标系，
x轴沿初速度方向，y轴竖直向下。设小球的落地点为P，下落的时间为t，则满足h＝gt2
所以小球落地的时间
t＝ ＝ s＝2 s。
(2)因此，小球落地点与释放点之间的水平距离
l＝v0t＝2×2 m＝4 m
小球落地的时间为2 s，落地点与释放点之间的水平距离为4 m。
答案：(1)2 s (2)4 m
二、
1．选BC 圆环做平抛运动，圆环距杆上端的竖直距离为H＝0.8 m，又知圆环在竖直方向做自由落体运动，则有H＝gt2，解得t＝0.4 s，若圆环后端刚好到达杆的上端点，则有(3＋0.2)m＝v1·t，得v1＝8 m/s；若圆环前端刚好到达杆的上端点，则有3 m＝v2·t，得v2＝7.5 m/s，所以要想套住杆，圆环水平抛出的速度范围为7.5 m/s2．选B 设经过时间t拦截成功，此时飞机发射的导弹在竖直方向上下落了h(导弹做平抛运动)，则拦截系统的导弹竖直上升了H－h。由题意知，水平方向上有s＝v1t，竖直方向上有h＝gt2，H－h＝v2t－gt2，联立以上三式得，v1、v2的关系为v1＝ v2，故B正确。
微专题整合——平抛运动的两类模型
类型一
[例1] 解析：(1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma，
又L＝at2，解得t＝
所以x＝v0t＝v0 ＝20 m。
(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用v表示，则有
vx＝v0＝10 m/s，vy2＝2aL＝2gsin 30°·L＝gL
故v＝＝10 m/s。
答案：(1)20 m (2)10 m/s
[应用体验]
1．选C 设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A质点做平抛运动，运动的时间为tA＝ ；B质点做类平抛运动，在斜面上沿垂直v0方向有＝gtB2sin θ(θ为斜面与水平面的夹角)，解得tB＝ ，可知tB>tA。质点沿x轴方向的位移为x＝v0t，可得x12．解析：(1)飞机水平速度不变，在水平方向：l＝v0t，
竖直方向加速度恒定：h＝，消去t解得a＝，
由牛顿第二定律：F＝mg＋ma＝mg。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小：v＝＝v0。
答案：(1)mg (2)v0
类型二
[例2] 解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝vy2，
可得落到水面上时的竖直速度vy＝，
由题意可知，≤tan θ，
即v0≥，石子抛出速度的最小值为。
答案：
[应用体验]
3．选B 设A、B两个平台水平距离为x，竖直高度差为h，由平抛运动的规律可知：x＝v01t1，h＋6.25 m＝gt12；当小球恰能落到平台B上时，x＝v02t2，h＝gt22，联立解得：v02＝7.5 m/s，故选项B正确。
4．选C 小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入解得vmax＝7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，解得vmin＝3 m/s；故v的取值范围是3 m/s4 / 13(共120张PPT)
研究平抛运动的规律
第4节
核心素养导学
物理观念 (1)知道平抛运动的受力特点。
(2)理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹是抛物线。
科学思维 (1)会用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析。
(2)会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题。
(3)认识平抛运动研究中等效替代的思想和“化繁为简”的思想。
科学态度与责任 通过对平抛运动规律的研究，能认识物理学是人们有意识探究而形成的对自然现象的描述与解释；认识到平抛运动的普遍性，有学习物理的内在动力，体会物理学的应用价值。
续表
1
四层学习内容1落实必备知识
2
四层学习内容2强化关键能力
3
四层学习内容3·4浸润学科素养和核心价值
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
四层学习内容1落实必备知识
一、平抛运动的实验研究
1.探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)如图所示，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动，同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动。
(2)观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后。
(3)分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复实验，记录实验现象。
2.对平抛运动频闪照片的研究
(1)如图(a)所示，截取钢球做平抛运动的部分图像，并适当放大。
(2)将钢球球心的各位置用一条平滑的曲线连接起来。
(3)以初速度的方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系。
(4)标出小球各位置的x坐标和y坐标，分别为x1、x2、x3、x4、x5及y1、y2、y3、y4、y5。
(5)测量x方向的相等时间间隔的位移，发现Ox1=x1x2=x2x3=x3x4=x4x5，说明钢球沿x轴方向的分运动为匀速直线运动。
(6)测量y方向相等时间间隔的位移，发现Oy1∶y1y2∶y2y3∶y3y4∶y4y5=1∶3∶5∶7∶9。说明钢球沿y方向的分运动是初速度为0的匀加速直线运动。
二、平抛运动的理论探究
1.平抛运动中的位移
(1)水平方向：x=________。
(2)竖直方向：y=________。
2.平抛运动中的速度
(1)水平方向：_______。
(2)竖直方向：_________。
v0t
gt2
vx=v0
vy=gt
3.物体做平抛运动的轨迹
______________，其中，________与x、y无关，具有y=ax2的形式，它的图像是一条__________。
y=x2
抛物线
[微点拨]
物体平抛后下落时间越长，速度与水平方向的夹角越大，但永远不会达到90°。
1.如图所示，运动员在球场上多次从同一高度以不同的水平速度击出网球，且网球落在同一水平面内。请对以下结论作出判断：
(1)网球的初速度越大，下落得越快。 ( )
(2)网球的初速度越大，抛出的水平距离越大。( )
(3)网球做平抛运动到落地的时间与初速度大小无关。( )
(4)所有网球做平抛运动的过程中速度变化量都相同。( )
×
√
√
√
2.由静止释放后的小球将从桌子的边缘沿水平方向飞出，开始做平抛运动。
(1)小球的运动轨迹能否被看作是一条抛物线
提示：可以看作一条抛物线。
(2)小球具有什么受力特点
提示：只受重力作用。
(3)为了研究方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动
提示：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
四层学习内容2强化关键能力
1.平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2.平抛运动的特点
(1)受力特点
只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
新知学习(一) 对平抛运动的理解
重点释解
(2)运动特点
①加速度：a=g，平抛运动是匀变速曲线运动。
②速度：初速度v0方向水平；任意时刻的瞬时速度的水平分量都等于初速度v0，竖直分量都等于自由落体运动的速度。
③速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv=gΔt，方向竖直向下，如图所示。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
[特别提醒] 平抛运动中任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，但是速率的变化却不相等。
1.(多选)在空气阻力可忽略的情况下，下列物体的运动可视为平抛运动的是 ( )
A.沿水平方向击出的排球
B.沿斜向上方投出的篮球
C.沿水平方向抛出的小石子
D.沿竖直方向向上抛出的橡皮
针对训练
√
√
解析：沿水平方向击出的排球，相对地面初速度沿水平方向，且只受重力，是平抛运动，故A项正确；沿斜向上方投出的篮球的初速度不是沿水平方向，所以不是平抛运动，故B项错误；沿水平方向抛出的小石子相对地面初速度方向水平，且只受重力，是平抛运动，故C项正确；沿竖直方向向上抛出的橡皮的初速度沿竖直方向，不是平抛运动，故D项错误。
2.(2023·广东1月学考)(多选)某次演习中，救援飞机水平匀速飞行，朝前方落水者释放救生设备，该设备越过了落水者。再次释放时，设释放点与落水者间的水平距离不变，忽略空气阻力，为了使救生设备准确落到落水者处，则飞机可采取的措施有 ( )
A.高度不变，适当降低飞行速度
B.高度不变，适当增加飞行速度
C.速度不变，适当降低飞行高度
D.速度不变，适当增加飞行高度
√
√
解析：根据题意可知，设备越过了落水者，由于x=v0t，则为了使救生设备准确落到落水者处，可以减小设备的初速度，或减小设备的飞行时间。若高度不变，由h=gt2可知，飞行时间不变，则需减小设备的初速度，即适当降低飞行速度，故B错误，A正确；若速度不变，则应减小飞行时间，由h=gt2可知，要减小飞行时间，需适当降低飞行高度，故D错误，C正确。
1.研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法。
(2)平抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
新知学习(二) 平抛运动的规律及推论
重点释解
2.运动规律
速度 位移
水平分运动 水平速度vx=v0 水平位移x=v0t
竖直分运动 竖直速度vy=gt
合运动
速度 位移
图示
3.两个推论
(1)推论1：平抛运动的速度偏向角θ与平抛运动的位移偏向角α的关系：tan θ=2tan α。
证明：如图甲所示，速度偏向角tan θ==。
位移偏向角tan α====tan θ。
故有tan θ=2tan α。
(2)推论2：平抛运动在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过对应水平位移的中点。
证明：如图乙所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点。
则OB=v0t，AB==gt2·=gt2·=v0t。
可见AB=OB，所以A点为OB的中点。
即：平抛运动在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过对应水平位移的中点。
[典例] 体育课上，甲同学在距离地面高h1=2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0=8.0 m/s；乙同学在离地h2=0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。取重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力。求：
典例体验
(1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
[解析] 设排球在空中飞行的时间为t，则h1-h2=gt2，解得t=0.6 s；
则排球在空中飞行的水平距离x=v0t=4.8 m。
[答案] 4.8 m
(2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向。
[解析] 乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小vy=gt=6.0 m/s，
根据v=得v=10.0 m/s，
设速度方向与水平方向夹角为θ(如图所示)
则有tan θ==0.75。
[答案] 10.0 m/s，方向与水平方向夹角tan θ=0.75
/方法技巧/
解决平抛运动问题的一般思路
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。
这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使复杂问题的解决过程得到简化。
1.(2024·湖北高考)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 ( )
针对训练
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
解析：青蛙做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，可得v=x，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此青蛙应跳到荷叶c上面。故选C。
√
2.如图所示，从某一高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
√
解析：如图所示，小球在竖直方向的速度为vy=
gt，则初速度为v0=，选项A错误；平抛运动的时
间t=，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，tan α===，tan θ==，则tan θ=2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ=，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。
[例1·沿着斜面平抛] 如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点。A、B两点间的竖直高度h=45 m，斜坡与水平面的夹角α=37°，不计空气阻力(取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)。求：
新知学习(三) 平抛运动与斜面相结合的模型
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；
[解析] A到B竖直方向，有：h=gt2，解得t==3 s；
水平方向，有：x=v0t，又x==60 m，解得v0==20 m/s。
[答案] 20 m/s
(2)运动员落到B点时瞬时速度v1的大小和方向。
[解析] 竖直方向，vy=gt=30 m/s，
运动员落到B点时瞬时速度大小v1==10 m/s，
速度方向斜向右下方，与水平方向夹角为θ，tan θ==1.5。
[答案] 10 m/s，方向斜向右下方，与水平方向夹角的正切值为1.5
[例2·对着斜面平抛] 如图所示，倾角θ=30°的斜面放在水平地面上，P是斜面底端O点正上方的一点，一物体从P点水平抛出，垂直落到斜面上的A点。A点距离水平面的高度为h，由此可知OP之间的距离为 ( )
A.2h B.2.5h
C.2h D.2h
√
[解析] 设OP之间的距离为H，物体做平抛运动的水平位移为s，则H-h=vy·t，s=v0t，两式相除=，因为=，s=，所以H=h+，代入数据求得H=2.5h，B正确。
平抛运动与斜面结合的两类模型比较
内化模型
类型 沿着斜面平抛 对着斜面平抛
情景图例 如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上 如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上
类型 沿着斜面平抛 对着斜面平抛
关联关系 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角
处理方法 抓住位移的分解 抓住速度的分解
类型 沿着斜面平抛 对着斜面平抛
几个重要关系
1.如图所示，从倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球 ( )
A.水平位移之比为1∶2
B.下落的高度之比为1∶2
C.在空中飞行的时间之比为1∶2
D.落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2
针对训练
√
解析：因为两个小球均落到斜面上，所以二者的位移偏转角相同，又由于初速度之比为1∶2，所以根据位移偏转角的正切值tan θ=，所以运动时间之比为1∶2，C正确；再结合x=v0t，可得水平位移之比为1∶4，A错误；再根据h=gt2，下落的高度之比为1∶4，B错误；再根据速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍可知，速度偏转角相同，速度方向与斜面夹角之比为1∶1，D错误。
2.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向夹角θ=60°，AB两点高度差h=1 m，忽略空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为 ( )
A.2 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D. m/s
√
解析：根据h=gt2得，t== s= s，
竖直分速度：vy=gt=10× m/s=2 m/s，根据平
行四边形定则知，球刚要落到球拍上时速度大小v==4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
四层学习内容3·4浸润学科
素养和核心价值
科学思维——步枪打靶问题
1.(选自鲁科版教材课后练习)如图所示，两支步枪先后在同一位置沿水平方向各射出一颗子弹，打在100 m远处的靶子上，两弹孔在竖直方向相距5 cm，其中A为甲枪的子弹孔，B为乙枪的子弹孔。
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
(1)哪支枪射出的子弹速度较大 为什么
解析：甲枪射出的子弹速度较大，因为甲的弹孔A的位置较高，说明甲枪中射出的子弹在竖直方向下落的高度较小，由h=gt2可知，甲枪中子弹运动时间较短，而水平距离相同，说明甲枪射出的子弹速度较大。
答案：见解析
(2)若甲枪子弹射出时的速度为500 m/s，取重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，求乙枪子弹射出时的速度。
解析：对甲枪射出的子弹，由x=vAtA、yA=g，
可得yA=0.2 m，对乙枪射出的子弹，
由x=vBtB，yA+h=g，可得vB=200 m/s。
答案：200 m/s
科学思维——飞机投弹问题
2.(选自人教版教材例题)如图，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0=2 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h=20 m，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2。
分析：忽略空气阻力，小球脱离无人机后做平抛运动，它在竖直方向的分运动是自由落体运动，根据自由落体运动的特点可以求出下落的时间，根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。
(1)求小球下落的时间。
解析：以小球从无人机释放时的位置为原点O建立平面直角坐标系，
x轴沿初速度方向，y轴竖直向下。设小球的落地点为P，下落的时间为t，则满足h=gt2
所以小球落地的时间t== s=2 s。
答案： 2 s
(2)求小球释放点与落地点之间的水平距离。
解析：因此，小球落地点与释放点之间的水平距离
l=v0t=2×2 m=4 m
小球落地的时间为2 s，落地点与释放点之间的水平距离为4 m。
答案：4 m
1.(多选)套圈游戏是一项很受欢迎的群众娱乐活动，如图所示，现在假设要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m的20 cm高的竖直细杆，即为获胜。一身高1.4 m的儿童从距地面1 m高度水平抛出圆环，圆环半径为10 cm，要想套住细杆，他水平抛出的速度可能为(g取10 m/s2) ( )
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
A.7.4 m/s B.7.6 m/s
C.7.8 m/s D.8.2 m/s
解析：圆环做平抛运动，圆环距杆上端的竖直距离为H=0.8 m，又知圆环在竖直方向做自由落体运动，则有H=gt2，解得t=0.4 s，若圆环后端刚好到达杆的上端点，则有(3+0.2)m=v1·t，得v1=8 m/s；若圆环前端刚好到达杆的上端点，则有3 m=v2·t，得v2=7.5 m/s，所以要想套住杆，圆环水平抛出的速度范围为7.5 m/s√
√
2.如图所示，在某次空投演习中，离地距离为H处的飞机发射一颗导弹，导弹以水平速度v1射出，欲轰炸地面上的目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射导弹进行拦截。设飞机发射导弹时与拦截系统的水平距离为s，如果拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足 ( )
A.v1=v2 B.v1= v2
C.v1= v2 D.v1= v2
√
解析：设经过时间t拦截成功，此时飞机发射的导弹在竖直方向上下落了h(导弹做平抛运动)，则拦截系统的导弹竖直上升了H-h。由题意知，水平方向上有s=v1t，竖直方向上有h=gt2，H-h=v2t-gt2，联立以上三式得，v1、v2的关系为v1= v2，故B正确。
1.运动建模
当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直，该运动可以称为类平抛运动。
微专题整合——平抛运动的两类模型
类型一 类平抛运动模型
2.模型特点
3.分析方法
与平抛运动的处理方法一致，将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。
4.解答思路
[例1] 如图所示，光滑斜面长L=10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0=10 m/s的初速度水平射入，求：(g取10 m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
[解析] 小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°=ma，
又L=at2，解得t=，所以x=v0t=v0=20 m。
[答案] 20 m
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
[解析] 小球运动到斜面底端时的速度大小用v表示，则有
vx=v0=10 m/s，=2aL=2gsin 30°·L=gL
故v==10 m/s。
[答案] 10 m/s
/方法技巧/
解决类平抛运动问题的步骤
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。
(3)根据题目的已知条件和要求解的未知量，充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。
1.如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1、P2在同一水平面内，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x1应用体验
√
解析：设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A质点做平抛运动，运动的时间为tA=；B质点做类平抛运动，在斜面上沿垂直v0方向有=gsin θ(θ为斜面与水平面的夹角)，解得tB=，可知tB>tA。质点沿x轴方向的位移为x=v0t，可得x12.如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
解析：飞机水平速度不变，在水平方向：l=v0t，
竖直方向加速度恒定：h=，消去t解得a=，
由牛顿第二定律：F=mg+ma=mg。
答案： mg
(2)在高度h处飞机的速度大小。
解析：在高度h处，飞机竖直方向的速度vy=at=
则速度大小：v==v0。
答案：v0
1.模型特点
(1)若题目中有“刚好” “恰好” “正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
类型二 平抛运动的临界模型
2.求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
[例2] (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
[解析] 石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh=，
可得落到水面上时的竖直速度vy=，
由题意可知，≤tan θ，即v0≥，石子抛出速度的最小值为。
[答案]
/易错警示/
对于有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题中数据盲目地代入公式。
3.如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v0=5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为 ( )
A.6 m/s B.7.5 m/s
C.9 m/s D.11.25 m/s
应用体验
√
解析：设A、B两个平台水平距离为x，竖直高度差为h，由平抛运动的规律可知：x=v01t1，h+6.25 m=g；当小球恰能落到平台B上时，x=v02t2，h=g，联立解得：v02=7.5 m/s，故选项B正确。
4.如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m。某人在离墙壁距离L=1.4 m，距窗子上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是 ( )
A.v>7 m/s B.v>2.3 m/s
C.3 m/s√
解析：小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L=vmaxt，h=gt2，代入解得vmax=7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有L+d=vmint'，H+h=gt'2，解得vmin=3 m/s；故v的取值范围是3 m/s课时跟踪检测
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(选择题1~9小题，每小题4分；11~12小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级 学考达标
1.(多选)物体在做平抛运动的过程中，下列哪些量是不变的( )
A.物体运动的加速度
B.物体沿水平方向运动的分速度
C.物体沿竖直方向运动的分速度
D.物体运动的位移方向
√
√
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：做平抛运动的物体，只受重力作用，所以运动过程中的加速度始终为g，A正确；水平方向不受力，做匀速直线运动，速度不变，所以B正确；竖直方向做自由落体运动，即v=gt，速度均匀增加，C错误；位移方向时刻变化，故D错误。
1
2
3
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5
1
5
6
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13
2.(多选)如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地面高0.45 m，假定从喷嘴水平喷出的水做平抛运动，喷灌半径为3 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则 ( )
A.水从喷嘴喷出至落地的位移为3 m
B.水从喷嘴喷出至地面的时间为0.3 s
C.水从喷嘴喷出落地时的速度大小为10 m/s
D.水从喷嘴喷出的速度大小为10 m/s
2
3
4
√
√
1
5
6
7
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12
13
解析：喷嘴距地面高0.45 m，喷灌半径为3 m，则水的位移大于3 m，故A错误；根据h=gt2，得：t== s=0.3 s ，故B正确；水从喷嘴喷出的速率为v0== m/s=10 m/s，水从喷嘴喷出在竖直方向上做加速运动，速度增大，则落地的速度大于10 m/s，故C错误，D正确。
2
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4
1
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12
13
3.如图，某公园有喷水装置，若水从小鱼模型口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，则 ( )
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出
到落入池中的时间越长
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出
到落入池中的时间越短
C.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远
D.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
2
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√
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5
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13
解析：据题可将水的运动看作平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则有：竖直方向h=gt2，t=，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A、B错误；水平方向有：x=v0t=v0，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远，故C正确，D错误。
2
3
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1
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12
13
4.一个晴朗无风的冬日，滑雪运动员从雪坡上以v0的水平速度滑出，落在雪坡下面的水平面上，运动员在空中保持姿势不变。当v0增大时 ( )
A.落地时间增大 B.飞出的水平距离增大
C.落地时速度减小 D.落地时速度方向不变
2
3
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√
1
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12
13
解析：设运动员下落的高度为h，根据位移时间关系可得h=gt2，解得t=，可知落地时间与初速度v0无关，故落地时间不变，A错误；根据x=v0t可知，t不变，当v0增大时飞出的水平距离增大，故B正确；落地时速度v==，g、h不变，故当v0增大时落地时的速度增大，C错误；设落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，根据速度的合成与分解可得tan θ==，g、t不变，当v0增大时，θ减小，故D错误。
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5.(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则 ( )
A.A和B的位移大小相等
B.A的运动时间是B的2倍
C.A的初速度是B的
D.A的末速度比B的大
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√
√
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解析：由题意可知，落地后，小球A的位移的大小为sA== =l，小球B的位移的大小为sB===l，显然小球A、B的位移大小相等，A正确；小球A的运动时间为tA= =，小球B的运动时间为tB= =，则tA∶tB=∶1，B错误；
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小球A的初速度为vxA===，小球B的初速度为vxB===，则vxA∶vxB=1∶2，C错误；落地瞬间，小球A竖直方向的速度为vyA=，小球B竖直方向的速度为vyB=，则落地瞬间小球A的速度为vA== ，小球B的速度为vB==，显然vA>vB，D正确。
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6.一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 ( )
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A.小球落在P点的时间是
B.Q点在P点的下方
C.v1>v2
D.小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
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解析：以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，根据几何知识知tan θ==，所以t1=，故A错误；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰，此时速度与斜面垂直，根据几何知识知tan θ=，所以t2=，根据速度偏角的正切值等于位移偏角正切值的2倍，知Q点在P点的上方，t2x1，所以v2>v1，故B、C错误；小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比=，故D正确。
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7.如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球，它们到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1'、t2'、t3'。下列关于时间的关系不正确的是 ( )
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A.t1>t3>t2 B.t1=t1'、t2=t2'、t3=t3'
C.t1'>t3'>t2' D.t1√
解析：静止释放三个小球时，对a：=g·sin 30°·，则=；对b：h=g，则=；对c：=gsin 45°·，则=；所以t1>t3>t2，A正确，不符合题意。当平抛三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面上做类平抛运动，沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1=t1'，t2=t2'，t3=t3'。B、C正确，不符合题意，故选D。
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8.(多选)西班牙某小镇举行了西红柿狂欢节，若一名儿童站在自家的平房顶上，向与他水平距离为L的对面的竖直高墙上投掷西红柿，第一次水平抛出的速度是v0，第二次水平抛出的速度是2v0，则比较前后两次被抛出的西红柿在碰到墙过程中，有(不计空气阻力) ( )
A.运动时间之比是2∶1 B.下落的高度之比是2∶1
C.下落的高度之比是4∶1 D.运动的加速度之比是1∶1
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解析：西红柿在两次抛出后都碰到了墙，所以水平位移相同，西红柿的运动可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动；水平位移相同，初速度之比为1∶2，根据t=可知，运动时间之比是2∶1，故A正确；下落的高度h=gt2，则下落高度之比为4∶1，故B错误，C正确；两次都做平抛运动，加速度都是重力加速度，即加速度之比是1∶1，故D正确。
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9.有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)，不计空气阻力。从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是 ( )
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A.小球下落时间与小球质量m有关
B.小球下落时间与小球初速度v有关
C.小球下落时间与水井井口直径d有关
D.小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
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解析：因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条做平抛运动的抛物线，可知小球在竖直方向做自由落体运动，由t=可知，下落时间与小球的质量m、小球初速度v以及井口直径均无关，只与井口到水面高度差h有关。
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10.(14分)(2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
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(1)水从管口到水面的运动时间t；
解析：水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h=gt2
解得水从管口到水面的运动时间t=。
答案：
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(2)水从管口排出时的速度大小v0；
解析：由平抛运动规律得，水平方向d=v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
答案：d
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(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
解析：管口单位时间内流出水的体积
Q=Sv0=Sd。
答案：Sd
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B级 选考进阶
11.羽毛球运动员在某节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是运动员表演时的羽毛球场地示意图，图中运动员距乙鼓较近。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高。若运动员每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
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A.击中甲、乙的两球初速度v甲=v乙
B.击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙
C.假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
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解析：由题图可知，甲、乙高度相同，所以从发球到击中甲、乙鼓用时相同，但由于离运动员的水平距离不同，甲的水平距离较远，所以由v=可知，击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙，故A错误，B正确；由题图可知，甲、丁两鼓不在同一直线上，所以用击中甲鼓的速度发球不可能击中丁鼓，故C错误；由于丁与丙高度相同，但由题图可知，丁离运动员的水平距离最大，所以击中丁的初速度一定大于击中丙的初速度，故D错误。
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12.有一台阶，如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲落在第四级台阶上，则v的取值范围是 ( )
A. m/sB.2 m/sC. m/sD.2 m/s2
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解析：根据平抛运动规律有：x=vt，y=gt2，根据几何关系有：vt=gt2，得v=gt，如果落到第四级台阶上有：3×0.4 m2
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13.(18分)跳台滑雪是在利用依山势特别建造的跳台上进行的，运动员踩着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，设一位运动员由A点沿水平方向跃出，到B点着陆，测得AB间距离L=75 m，山坡倾角θ=37°，试计算：(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
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(1)运动员在空中飞行的时间t；
解析：运动员从起跳到落地的竖直位移
y=gt2，而y=Lsin θ，
将g=10 m/s2，L=75 m，θ=37°代入以上两式，
解得t=3 s。
答案： 3 s
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(2)运动员起跳时的速度v0；
解析：运动员的水平位移x=v0t，x=Lcos θ，
将t=3 s，L=75 m，θ=37°代入求得v0=20 m/s。
答案：20 m/s
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(3)落地前瞬间速度的大小。
解析：运动员落地时的竖直分速度
vy=gt=10×3 m/s=30 m/s
所以他落地时速度大小
v== m/s≈36.1 m/s。
答案：36.1 m/s
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4课时跟踪检测(三) 研究平抛运动的规律
(选择题1～9小题，每小题4分；11～12小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级——学考达标
1．(多选)物体在做平抛运动的过程中，下列哪些量是不变的( )
A．物体运动的加速度
B．物体沿水平方向运动的分速度
C．物体沿竖直方向运动的分速度
D．物体运动的位移方向
2．(多选)如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地面高0.45 m，假定从喷嘴水平喷出的水做平抛运动，喷灌半径为3 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则( )
A．水从喷嘴喷出至落地的位移为3 m
B．水从喷嘴喷出至地面的时间为0.3 s
C．水从喷嘴喷出落地时的速度大小为10 m/s
D．水从喷嘴喷出的速度大小为10 m/s
3．如图，某公园有喷水装置，若水从小鱼模型口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，则( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越长
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
C．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远
D．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
4．一个晴朗无风的冬日，滑雪运动员从雪坡上以v0的水平速度滑出，落在雪坡下面的水平面上，运动员在空中保持姿势不变。当v0增大时( )
A．落地时间增大
B．飞出的水平距离增大
C．落地时速度减小
D．落地时速度方向不变
5．(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
6．一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球落在P点的时间是
B．Q点在P点的下方
C．v1>v2
D．小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
7．如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球，它们到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系不正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
8．(多选)西班牙某小镇举行了西红柿狂欢节，若一名儿童站在自家的平房顶上，向与他水平距离为L的对面的竖直高墙上投掷西红柿，第一次水平抛出的速度是v0，第二次水平抛出的速度是2v0，则比较前后两次被抛出的西红柿在碰到墙过程中，有(不计空气阻力)( )
A．运动时间之比是2∶1
B．下落的高度之比是2∶1
C．下落的高度之比是4∶1
D．运动的加速度之比是1∶1
9．有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)，不计空气阻力。从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球下落时间与小球质量m有关
B．小球下落时间与小球初速度v有关
C．小球下落时间与水井井口直径d有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
10．(14分)(2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
B级——选考进阶
11．羽毛球运动员在某节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是运动员表演时的羽毛球场地示意图，图中运动员距乙鼓较近。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高。若运动员每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
A．击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B．击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙
C．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓
D．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
12．有一台阶，如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲落在第四级台阶上，则v的取值范围是( )
A. m/sB．2 m/sC. m/sD．2 m/s13．(18分)跳台滑雪是在利用依山势特别建造的跳台上进行的，运动员踩着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，设一位运动员由A点沿水平方向跃出，到B点着陆，测得AB间距离L＝75 m，山坡倾角θ＝37°，试计算：(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)运动员起跳时的速度v0；
(3)落地前瞬间速度的大小。
课时跟踪检测(三)
1．选AB 做平抛运动的物体，只受重力作用，所以运动过程中的加速度始终为g，A正确；水平方向不受力，做匀速直线运动，速度不变，所以B正确；竖直方向做自由落体运动，即v＝gt，速度均匀增加，C错误；位移方向时刻变化，故D错误。
2．选BD 喷嘴距地面高0.45 m，喷灌半径为3 m，则水的位移大于3 m，故A错误；根据h＝gt2，得：t＝ ＝ s＝0.3 s ，故B正确；水从喷嘴喷出的速率为v0＝＝ m/s＝10 m/s，水从喷嘴喷出在竖直方向上做加速运动，速度增大，则落地的速度大于10 m/s，故C错误，D正确。
3．选C 据题可将水的运动看作平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则有：竖直方向h＝gt2，t＝ ，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A、B错误；水平方向有：x＝v0t＝v0 ，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远，故C正确，D错误。
4．选B 设运动员下落的高度为h，根据位移时间关系可得h＝gt2，解得t＝ ，可知落地时间与初速度v0无关，故落地时间不变，A错误；根据x＝v0t可知，t不变，当v0增大时飞出的水平距离增大，故B正确；落地时速度v＝＝，g、h不变，故当v0增大时落地时的速度增大，C错误；设落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，根据速度的合成与分解可得tan θ＝＝，g、t不变，当v0增大时，θ减小，故D错误。
5．选AD 由题意可知，落地后，小球A的位移的大小为sA＝＝ ＝l，小球B的位移的大小为sB＝＝＝l，显然小球A、B的位移大小相等，A正确；小球A的运动时间为tA＝ ＝ ，小球B的运动时间为tB＝ ＝ ，则tA∶tB＝∶1，B错误；小球A的初速度为vxA＝＝＝ ，小球B的初速度为vxB＝＝＝，则vxA∶vxB＝1∶2，C错误；落地瞬间，小球A竖直方向的速度为vyA＝，小球B竖直方向的速度为vyB＝，则落地瞬间小球A的速度为vA＝＝ ，小球B的速度为vB＝＝，显然vA＞vB，D正确。
6．选D 以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，根据几何知识知tan θ＝＝，所以t1＝，故A错误；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰，此时速度与斜面垂直，根据几何知识知tan θ＝，所以t2＝，根据速度偏角的正切值等于位移偏角正切值的2倍，知Q点在P点的上方，t2x1，所以v2>v1，故B、C错误；小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比＝，故D正确。
7．选D 静止释放三个小球时，对a：＝g·sin 30°·t12，则t12＝；对b：h＝gt22，则t22＝；对c：＝gsin 45°·t32，则t32＝；所以t1＞t3＞t2，A正确，不符合题意。当平抛三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面上做类平抛运动，沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′。B、C正确，不符合题意，故选D。
8．选ACD 西红柿在两次抛出后都碰到了墙，所以水平位移相同，西红柿的运动可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动；水平位移相同，初速度之比为1∶2，根据t＝可知，运动时间之比是2∶1，故A正确；下落的高度h＝gt2，则下落高度之比为4∶1，故B错误，C正确；两次都做平抛运动，加速度都是重力加速度，即加速度之比是1∶1，故D正确。
9．选D 因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条做平抛运动的抛物线，可知小球在竖直方向做自由落体运动，由t＝ 可知，下落时间与小球的质量m、小球初速度v以及井口直径均无关，只与井口到水面高度差h有关。
10．解析：(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h＝gt2，解得水从管口到水面的运动时间t＝ 。
(2)由平抛运动规律得，水平方向d＝v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0＝d 。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q＝Sv0＝Sd 。
答案：(1) (2)d (3)Sd
11．选B 由题图可知，甲、乙高度相同，所以从发球到击中甲、乙鼓用时相同，但由于离运动员的水平距离不同，甲的水平距离较远，所以由v＝可知，击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙，故A错误，B正确；由题图可知，甲、丁两鼓不在同一直线上，所以用击中甲鼓的速度发球不可能击中丁鼓，故C错误；由于丁与丙高度相同，但由题图可知，丁离运动员的水平距离最大，所以击中丁的初速度一定大于击中丙的初速度，故D错误。
12．选A 根据平抛运动规律有：x＝vt，y＝gt2，根据几何关系有：vt＝gt2，得v＝gt，如果落到第四级台阶上有：3×0.4 m13．解析：(1)运动员从起跳到落地的竖直位移
y＝gt2，而y＝Lsin θ，
将g＝10 m/s2，L＝75 m，θ＝37°代入以上两式，解得t＝3 s。
(2)运动员的水平位移x＝v0t，x＝Lcos θ，
将t＝3 s，L＝75 m，θ＝37°代入求得v0＝20 m/s。
(3)运动员落地时的竖直分速度
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
所以他落地时速度大小
v＝＝ m/s≈36.1 m/s。
答案：(1)3 s (2)20 m/s (3)36.1 m/s
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