课件19张PPT。第五章 一元一次方程
第一节 认识一元一次方程(一)阅读章前图：
丢番图（Diophantus）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一， 又过十二分之一他两颊长出了胡须， 再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途.
——出自《希腊诗文选》（T h e G r e e kAnthology）第 126 题
1、你能找到题中的等量关系，列出方程吗？
2、你对方程有什么认识？
3、列方程解决实际问题的关键是什么？
解： 设丟番图的年龄为x岁，则：
http://www.bnup.com.cn学习目标：
学习本章内容，你将感受方程是刻画现实生活中等量关系的有效模型。
掌握等式的基本性质，能解一元一次方程。
能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。
在探索一元一次方程解法的过程中，感受转化思想。http://www.bnup.com.cn你今年几岁了(一) 小彬，我能猜出你年龄。不信 你的年龄乘2减5得数是多少？
21如果设小彬的年龄为x岁，那么“乘2再减5”就是_______，所以得到等式： __ ______。2x-52x-5=21情境 1http://www.bnup.com.cn 上面的问题中包含 哪些已知量、未知量和等量关系?想一想 小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周升高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？
情境 2思考下列情境中的问题，列出方程。情境1如果设x周后树苗升高到1米，那么可以得到方程：
___ 。
40+15χ=100 甲、乙两地相距 22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走1 km，因此提前 12 min 到达乙地，张叔叔原计划每时行走多少千米？
解：设张叔叔原计划每时行走 x km，可以得到方程： 情境 3情境 4 第六次全国人口普查统计数据，截至2010年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为8930人，比2000年第五次全国人口普查时增长了147.30%. 2000年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化度？ 如果设2000年6月每10万人中约有x人具有大学文化程度，那么可以得到方程：χ(1+147.30%)=8930情境 5
某长方形足球场的面积为5850平方米，长和宽之差为25米，这个足球场的长与宽分别是多少米？ 如果设这个足球场的宽为x米，那么长为(x +25)米。由此可以得到方程：_____ _____。http://www.bnup.com.cn 注意⑴ 40+15χ=100⑶ χ(1+147.30%)=8930⑵ 2[χ+(χ+25)]=310五个情境中的三个方程为： 在一个方程中，只含有一个未知数χ(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3χ-1=0 ( )
(3) y=3 ( ) (4) χ+y=2 ( )
(5) 2χ-5χ+1=0 ( ) (6) χy-1=0 ( )
(7) 2m -n ( ) (8) S=πr 2 ( ) 判断一元一次方程 ①有一个未知数
②指数是1了解一元一次方程的解的含义
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
随堂练习2题：
x = 2 是下列方程的解吗？
（1）3 x + ( 10 - x ) = 20；
（2）2 x2 + 6 = 7 xhttp://www.bnup.com.cn 1、随堂练习1、某数的一半减去该数的等于6，若设此数为x，
则可列出方程： 2、甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22 分，甲队胜了多少场？平了多少场？
解：设甲队胜了x场，则甲平了（10 －x）场
由题意得: 3 x+(10－x)=22 2、达标练习：
1如果 =8是一元一次方程，那么m = .
2、下列各式中，是方程的是 （只填序号）
① 2x=1 ② 5-4=1 ③ 7m-n+1 ④ 3(x+y)=4
3、下列各式中，是一元一次方程的是 （只填序号）
① x-3y=1 ② 2x+3=0 ③ x=7 ④ 2x-y=0
4、a的20％加上100等于x . 则可列出方程： .
5、某数的一半减去该数的等于6，若设此数为x，则可列出方程 6、一桶油连桶的重量为8千克，油用去一半后，连桶重量为4.5千克，桶内有油多少千克？设桶内原有油x千克，则可列出方程___________________
7、小颖的爸爸今年44岁，是小颖年龄的3倍还大2岁，设小明今 年x岁，则可列出方程： ___________________
8、 3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各是多少岁？设3年前儿子年龄为x岁，则可列出方程：______ ____
http://www.bnup.com.cnhttp://www.bnup.com.cn 1.通过对“你今年几岁了”的探讨，我们
知道数学就在我们身边，并在对其它实际问题研究中感受了方程作为刻画现实世界有效模型的作用。
2.通过观察归纳出方程及一元一次方程的概念．
3. 在分析课本设置的例题的过程中初步体会了列方程的“核心”与“关键”。小结http://www.bnup.com.cn 1、习题5.1
2、思考：如何得到所列一元一次方程的解？
布置作业：阅读：
丢番图（Diophantus）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一， 又过十二分之一他两颊长出了胡须， 再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途.
——出自《希腊诗文选》（T h e G r e e kAnthology）第 126 题
你能找到题中的等量关系，列出方程吗？
解： 设丟番图的年龄为x岁，则：
http://www.bnup.com.cnhttp://www.bnup.com.cn谢谢！《应用一元一次方程—水箱变高了》习题
1、要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢( )cm.
A、12 B、16 C、24 D、32
2、若给一个圆柱体加粗，使它的半径为原来的2倍，则体积为原来的( )倍.
A、2 B、1 C、4 D、6
3、用两根长为24cm的铁丝分别围成一个长与宽之比为2:1的长方形和正方形，则长方形和正方形的面积依次为( ).
A、9，8 B、8，9 C、32，36 D、36，32
4、一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( )
A、6cm B、7cm C、8cm D、9cm
5、将一个底面直径是10厘米，高为40厘米的圆柱锻压成底面直径为l5厘米的圆柱，求它的高？若设高为厘米，则所列的方程为_____________.
6、把一个长、宽、高分别9cm、6cm、4cm的长方体铁块和一个棱长为5cm的正方体铁块熔炼成一个底面直径为25cm的圆柱体、原长方体的铁块的体积是______cm3，原正方体铁块的体积是_______cm3，设要熔炼的圆柱体的高为xcm，则圆柱体的体积是______cm3，因此可列方程为：________________.
7、用长为10m的铁丝沿墙围成一个长方形(墙的一面为长形的长，不用铁丝)，长方形的长比宽长1m，求长方形的面积.
《应用一元一次方程—水箱变高了》习题
1、根据图中给出的信息，可得正确的方程是( )
A、
B、
C、
D、
2、要锻造一个半径为8cm，高为10cm的圆柱体，应截取半径为5cm的圆柱形毛柸多少______cm.
3、长方形的长和宽的比是5：3，长比宽长12厘米，求这个长方形的长和宽分别是多少？
4、一个长方体合金底面长80、宽60、高100，现要锻压成新的长方体，其底面为边长40的正方形，求新长方体的高.
5、拓展探究：一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为33米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，且尽可能使鸡场面积最大，请你帮他设计.
《应用一元一次方程—水箱变高了》教案
教学目标
1、了解一元一次方程在解决实际问题中的应用、体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系.
2、学会通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题.
教学重点与难点
重点：(1)寻找图形问题中的等量关系，建立方程；(2)根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法.
难点：寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化.
教学方法
本节课主要使学生领悟形体变化问题中的变与不变，体验解决形变而体积不变这一问题的思路和方法、通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题、本节课的关键是通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化、教学中，注意指导学生审清题意，抓住图形问题中的不变量，所以教学中采用直观——自主探索的方法，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索发现在模型变化过程中的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化
教学准备
多媒体课件、细铁丝、土豆、水杯.
教学过程
一、创新情境，引入新课
教师：(向同学们出示土豆)同学们认识这是什么吗？
学生：土豆！
学生：谁能在最短的时间内测出它的体积是多少？
学生讨论，但找不到好的方法.
教师：如果，我再给大家一个带有容积刻度并且能容下土豆的水杯，你想到办法了吗？
生1：(恍然大悟)把水杯装满水，把土豆放入水杯中，溢出水的体积就是土豆的体积！
生2：先倒入一部分水，记下刻度，把土豆放入杯中，让水淹没土豆，水比刚才上升的体积就是土豆的体积！
(学生通过直观感知、操作等活动，寻找图形问题中的等量关系.)
二、合作探究，展示交流
探究1：等体积问题(多媒体展示)
教师：很好，我这儿有一个问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱、现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？你能帮他吗？
学生：用一元一次方程来解、这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积.
教师：同学们分析得很好，列方程时，关键是找出问题中的等量关系.下面我们如果设新水箱的高为xm，通过填写下表来看一下旧水箱的体积和新水箱的体积、
旧水箱
新水箱
底面半径/m
2
1、6
高/m
4
x
体积/m3
π×22×4
π×1、62×x
(学生计算填表，让一位同学说出自己的结果)
学生：旧水箱的圆柱的底面半径为4÷2=2m，高为4米，所以旧水箱的圆柱的体积为π×22×4m3；新水箱的圆柱的底面半径为3.2÷2=1.6m，高设为xm，所以新水箱的体积为π×1.62×x.由等量关系我们便可得到方程：π×22×4=π×1.62×x.
教师：列出方程我们只是走完“万里长征”重要的第一步，如何解这个方程呢？
学生：将π换成3.14，算出x的系数π×22，然后将系数化为1就解出了方程.
学生：我认为应先观察方程的特点，左右两边都含有π，可用等式的第二个性质，方程两边同时除以π，可使方程变得简单.
教师：这位同学的想法很好、下面我们共同把这个题的过程写一下.
解：设新水箱圆柱的高为x厘米，
根据题意，列出方程π×22×4=π×1.62×x，
解得x=.
答：高变成了米.
教师：通过本题的解答过程，你能总结一下列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
(学生认真思考后，小组内交流、教师适时引导共同归纳出列一元一次方程解决实际问题的步骤：理解题意、寻找等量关系、设未知数列方程、解方程、作答.)
设计意图：设置丰富的问题情境，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
探究2：周长相等问题
教师：用你手中的铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？
学生：不变，都相等.
教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试.
(学生动手操作，操作完成后让学生汇报结果)
学生：面积发生变化.
教师：下面以小组为单位，借助你手中的铁丝，依据上一题的解题经验，小组内分工合作完成下面问题.
例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
教学建议：小组讨论解题过程中，教师巡视课堂，指导、参与学生的讨论制作，帮助有学习有难的个人或小组.在讨论解答完成后，让小组选代表阐述解题的步骤、思路并展示自己小组所做的长方形(或正方形)，指导学生反思各组的解答过程并讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验、通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律，教师及时引导学生给予评价，表扬鼓励，同时用多媒体展示解题步骤，进一步规范学生的解题格式.
解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m，
根据题意，得x+(x+1.4)=10×，
解这个方程，得x=1.8，
x+1.4=1.8+1.4=3.2，
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m，
根据题意，得x+(x+0.8)=10×、解这个方程，得x=2.1，
x+0.8=2.1+0.8=2.9，
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.1×2.9=6.09m2，(1)中长方形的面积为3、2×1.8=5.76m2，此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33m2.
(3)设正方形的边长为xm，
根据题意，得4x=10×，解这个方程，得x=2.5，
正方形的边长为2.5m，
正方形的面积为2.5×2.5=6.25m2，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16m2.
教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度10米，由此便可建立“等量关系”，但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到最大.
设计意图：通过例题让学生再次感受找到题目中的等量关系是列方程解应用题的关键，让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程、使学生体验“数学化”过程，使学生在实际动手计算、制作中体验合作的愉快及成功的喜悦，进一步理性地感受上一个环节中得出的结论，培养学生数学思考的严谨性，判断推理的科学性，语言表述的准确性.
三、训练反馈，应用提升
1、墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
教师：用实物演示图形的变化过程、引导学生思考：
(1)问题中的已知量和未知量？
(2)在图形的变化过程中哪些量在改变？哪些量没有变？
学生：利用铁丝动手操作，观察图形变化的过程；弄清题意，积极回答老师所提问题；独立思考，解决问题，积极争取发言，阐述自己的解题思路、计算后说出答案.
解：设长方形的长为x厘米，根据题意得，2(x+10)=10×4+6×2，
解这个方程，得x=16.
因此，小颖所钉长方形的长为16厘米，宽为10厘米.
设计意图：通过分析、演示，观察、思考，让学生直观的感受的在图形的变化过程中各个量的变与不变，从而逐步的领悟到寻找等量关系是列方程解决应用问题的关键.
课堂小结
教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？
教学建议：先让学生畅所欲言，着重引导学生总结以下三个方面：
1、通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键，即变的是什么，不变的是什么.
2、遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.
3、解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性.
《应用一元一次方程—水箱变高了》教案
教学目标
1、通过分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题.
2、进一步体会运用方程解决问题的关键是找等量关系，认识方程模型的重要性.
教学重点
找等量关系列出方程；准确地解方程.
教学难点
找等量关系列出方程.
教学方法
教师引导、自主学习、合作学习.
教学过程
一、复习回顾
1、解一元一次方程的一般步骤是什么？
2、长方形的周长公式________，面积公式________，长方体的体积公式_______.
正方形的周长公式________，面积公式________，正方体的体积公式_______.
圆的周长公式________，面积公式________，圆柱的体积公式_______.
二、进行新课
1、引例：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
分析：相等关系为：旧水箱的容积=新水箱的容积.
解：设新水箱的高为xm，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径(m)
高(m)
体积(立方米)
解：设新水箱的高为xm，根据题意，得
解得x=6.25
答：水箱的高变成了6.25米.
2、思考：
(1)在将较高玻璃杯中的水倒入较矮的玻璃杯的过程中，不变的是_____.
(2)将一块长方形的橡皮泥先捏成一个瘦高的圆柱再捏成一个矮胖的圆柱，在此过程中不变的是___.
总结：等积变形类问题中的相等关系.
(3)将一根12cm长的细绳围成一个长3cm的正方形，再改围成一个长4cm、宽2cm的长方形，在此过程中不变的是_______.
总结：变形前后周长不变.
3、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
(1)使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)如果围成的长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各是多少米？它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
(3)如果围成的长方形长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米，根据题意，得2(x+x+1.4)=10.
解：(2)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+0.8)米，根据题意，得2(x+x+0.8)=10.
解：(3)设正方形的边长为x米，根据题意，得4x=10.
此题第一问教师带领学生一块完成，第二、三问学生分组独立完成.
全部完成后比较其长与宽的变化及面积的变化得出：当周长为定值时围成的正方形面积最大.
三、随堂练习：课本142页.
四、布置作业：
课本144页2、3两题.
课堂小结
1、应用一元一次方程解决一类实际问题：
(1)等积变形类问题；
(2)铁丝围平面图形问题.
2、应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.(学生总结)
课件14张PPT。—水箱变高了5.3应用一元一次方程学习目标1.通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题
2.进一步体会运用方程解决问题的关键是建立等量关系自学指导1阅读课本P141页例题以上的内容，思考：
1、将一个底面直径和高均为4m的圆柱形水箱，将其底面直径减少为3.2m，那么水箱增高多少米？
2、等量关系：
(圆柱的体积= )
3、如何根据等量关系列出方程？旧水箱的容积=新水箱的容积sh=πr2h 2 1.6 4 x π×22×4等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积根据等量关系，列出方程：解得： x=6.256.25因此，高变成了 米 列方程时， 关键是找出问题中的等量关系.点拨：π×1.62× xπ×22×4= π×1.62× x 解：设水箱的高变为 x 米，自学检测1（6分钟）1、一个底面积是 ，高为50cm的“瘦长”型圆柱钢材锻压成底面积为 的“矮胖”型圆柱零件毛坯，高变成了 .
2、某机器加工厂要锻造一个毛坯，上面是一个直径为20mm，高为40mm的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60mm，高为20mm，问需要半径为2cm的圆钢多长？ 32cm自学指导2 阅读课本p141例题，并思考下列问题.
1、例题中等量关系是什么？
2、若长方形的周长不变，其长与宽发生变化，面积是如何变化的？什么时候面积达到最大？长方形的周长始终不变例1 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.（1）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？ 解：设此时长方形的宽为x米，x+x+1.4=10÷22x=3.6x=1.8长方形的长为1.8+1.4=3.2∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米则它的长为(x+1.4)米，根据题意，得例题解析(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比、面积有什么变化？解：设此时长方形的宽为x米，x+x+0.8=10÷22x=4.2x=2.1长方形的长2.1+0.8＝2.9则它的长为（x+0.8）米，根据题意，得∴长方形的长为2.9米，宽为2.1米，S=2.9×2.1＝6.09米2，（1）中的长方形围成的面积：3.2×1.8＝5.76米2比（1）中面积增大6. 09－5.76＝0.33米2例题解析(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？解：设此时正方形的边长为x米，根据
题意，得x+x=10÷2x=2.5比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2正方形的边长为2.5米，S=2.5×2.5＝6.25 米2 同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？例题解析面积：1.8 × 3.2=5.76面积：
2.9 ×2.1=6.09面积：
2.5 × 2.5 =6. 25 围成正方形时面积最大比较 课本P142随堂练习
1、 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？6610101010自学检测2 课本P144问题解决第三题
2、如图所示，小强将一个正方形纸片剪去一个
宽为4厘米的长条后，在从剩下的长方形纸片上
剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长
条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？4厘米5厘米把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）等量关系：水面增高体积=长方体体积当堂训练小结2、锻压前体积 = 锻压后体积.1、列方程的关键是正确找出等量关系.4、长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.3、线段长度一定时，不管围成怎样 的图形，周长不变.课件17张PPT。数 学第五章 一元一次方程5.3 应用一元一次方程—— 水箱变高了我们的目标：1. 通过分析实际问题中的“等量关系”，建立方程解决实际问题.
2.掌握利用方程解决实际问题的一般过程.某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？解：设水箱的高变为 x 米，填写下表：等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积解：设水箱的高为 x m，因此，水箱的高变成了6.25米.旧水箱的容积=新水箱的容积等量关系：思考1、在将较高的玻璃杯中水倒入较矮玻璃杯的过程中，不变的是 .2、将一块橡皮泥由一个瘦高的圆柱捏成一个矮胖的圆柱，其中变的是 ，不变的
是 .3、将一根12cm长的细绳围成一个长3cm的正方形，再改成一个长4cm、宽2cm的长方形，不变的是 .水的体积底面半径和高橡皮泥的体积细绳的长度 例：用一根长为10米的铁线围成一个长方形.例题 （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？(X+1.4 +X) ×2 =10解得：X=1.8 长是：1.8+1.4=3.2（米） 答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米，面积是5.76米2.等量关系：（长+宽）× 2=周长 面积： 3.2 × 1.8=5.76（米2） 例：用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？ 解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.由题意得：(X+0.8 +X) ×2 =10解得：x=2.1 长为：2.1+0.8=2.9（米）面积：2.9 ×2.1=6.09(米2)面积增加：6.09-5.76=0.33（米2）（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？4 x =10解得：x=2.5边长为： 2.5米面积：2.5 × 2.5 =6. 25 (米2)解：设正方形的边长为x米.
由题意得：同样长的铁线围成怎样的四边形面积最大呢？面积增加：6.25-6.09=0.16（米2 ）（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？面积：1.8 × 3.2=5.76面积：
2.9 ×2.1=6.09 面积：
2.5 × 2.5 =6. 25长方形的周长一定时，当且仅当长宽相等时面积最大.（1）（2）（3）你自己来尝试！ 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？1010101066？分析：等量关系是 变形前后周长相等解：设长方形的长是 x 厘米，由题意得：
解得因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米.开拓思维 把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）相等关系：水面增高体积=长方体体积 一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为33米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，且尽可能使鸡场面积最大，请你帮他设计.篱笆墙壁思 考长方形的周长一定时，当且仅当长宽相等时面积最大.小结2、锻压前体积 = 锻压后体积1、列方程的关键是正确找出等量关系.4、长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.3、线段长度一定时，不管围成怎样 的图形，周长不变——讨 论 题—— 在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒内装满水，再将筒内的水到入底面直径为7cm，高为9cm的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度. 若将烧杯中装满水倒入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？答 案解：所以，能装下.设杯内水面的高度为 x 厘米.杯内水面的高度为 4.04 厘米.答 案解：因为所以，不能装下.设杯内还生水高为 x 厘米.因此，杯内还剩水高为 4.96 厘米.课件3张PPT。某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？设维修后水箱的高为x米，填写下表：等量关系：维修前的体积=维修后的体积解：设维修后水箱的高为x米，
由题意可得：解得 答：高变成了 米.
