第3节 圆周运动的实例分析
核心素养导学
物理观念 (1)了解生活中的各种圆周运动现象。 (2)知道离心运动产生的原因。
科学思维 (1)能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象。 (2)会分析汽车通过拱形桥、旋转秋千和火车转弯等情境中的有关问题。
科学态度与责任 观察生活中的离心现象,了解其在生活中的应用,并知道离心运动所带来的危害;能体会物理学的技术应用对日常生活的影响。
一、汽车通过拱形桥
汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力 分析
向心力 F合= =m F合= =m
对桥的 压力 N'= N'=
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力 汽车对桥的压力大于汽车的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力
二、旋转秋千
1.模型处理:旋转秋千可以简化为 模型。
2.分析方法
(1)重力、拉力的合力F合= 。
(2)半径r= 。
(3)合外力提供向心力F合= 。
(4)可以推导出cos α= 。
三、火车转弯
1.火车车轮的结构特点:火车的车轮由水平的踏面和突出的轮缘组成。轮缘置于铁轨的内侧,其侧面与铁轨接触。
作用:轮缘有导向和防止脱轨的作用。
2.火车在弯道上的运动特点:火车在弯道上运动时做圆周运动,由于其质量巨大,因此需要很大的 。
3.向心力的来源
(1)若铁路弯道的内外轨一样高,则由 提供向心力,这样,铁轨和车轮极易受损。
(2)转弯处的外轨略高于内轨,依据规定的行驶速度行驶,由 和 的合力提供向心力。
四、离心运动
1.定义:做圆周运动的物体 飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2.原因:向心力突然消失或 提供所需的向心力。
3.离心运动的应用和防止
(1)应用:离心干燥器;洗衣机的脱水筒;离心机。
(2)防止:汽车在公路转弯处必须限速行驶;转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
物体做离心运动不是物体受到离心力的作用,而是外力突然消失或外力不足以提供所需的向心力。
1.某次演习中,一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进。
请对以下结论作出判断:
(1)战车在B点和C点时,向心加速度方向都是竖直向上的。 ( )
(2)战车在B点时对路面的压力大于战车的重力。 ( )
(3)战车在C点时对路面的压力小于战车的重力。 ( )
(4)战车在C点时对路面的压力可能为零。 ( )
(5)战车在D处路面加速行驶时,对路面的压力大于战车的重力。 ( )
2.图甲是某主题公园中的苹果树飞椅,其示意图如图乙所示。钢绳一端系着座椅,另一端固定在上面的转盘上,转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,质量相等的A、B座椅与竖直方向的夹角分别为θ、α,A、B恰好在同一水平面上,不计钢绳所受的重力。分析A、B所受的向心力大小之比为多少
3.火车转弯时外轨与内轨的高度一样吗 火车的车轮设计有什么特点
4.如图所示,是一款滚筒洗衣机及其滚筒,请思考洗衣机是如何将衣服甩干的
新知学习(一) 汽车过拱形桥
[活动探究]
如图甲、乙所示为汽车在凸形桥、凹形路面上行驶的示意图,汽车行驶时可以看作圆周运动。
(1)如图甲,汽车行驶到拱形桥的桥顶时:
①什么力提供向心力 汽车对桥面的压力有什么特点
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系 汽车安全通过拱形桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大
(2)当汽车行驶到凹形路面的最低点时,什么力提供向心力 汽车对路面的压力有什么特点
[系统归纳]
1.汽车过凸形桥
汽车经过最高点时,汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。
由牛顿第二定律得:G-N=m,则N=G-m。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力,即N'=N=G-m,因此,汽车对桥的压力小于重力,而且车速越大,压力越小。
①当0≤v<时,0②当v=时,N=0。
③当v>时,汽车做平抛运动飞离桥面,发生危险。
2.汽车过凹形桥
如图乙所示,汽车经过凹形桥面最低点时,受竖直向下的重力和竖直向上的支持力,两个力的合力提供向心力,则N-G=m,故N=G+m。
由牛顿第三定律得:汽车对凹形桥面的压力N'=G+m,方向竖直向下,且大于汽车的重力。可见,汽车行驶的速率越大,汽车对桥面的压力就越大,这也是汽车高速驶过凹形路面时容易爆胎的原因。
[针对训练]
1.在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子,将三合板弯曲成拱形卡入钉子内形成拱形桥,三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦,这样玩具车就可以在桥面上运动。把这套系统放在电子秤上做实验,如图所示,关于实验中电子秤的示数,下列说法正确的是 ( )
A.玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥),示数越小
2.如图所示,质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过过水路面和拱形桥面,两路面的圆弧半径均为20 m。如果路面承受的压力不得超过3.0×105 N,则:(g取10 m/s2)
(1)汽车通过过水路面时,允许的最大速度是多少
(2)若以所求速度行驶,汽车对桥面的最小压力是多少
新知学习(二) 火车转弯问题
[重点释解]
1.轨道分析
火车在转弯过程中,运动轨迹是一段水平圆弧。由于火车转弯过程中重心高度不变,故火车轨迹所在的平面是水平面,而不是斜面;火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2.向心力分析
火车速度合适时,火车受如图所示的重力和支持力作用,火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供,合力沿水平方向,大小F=mgtan θ。
3.规定速度分析
当火车转弯时向心力恰好由重力和支持力的合力提供,此时不受轨道的侧压力。则mgtan θ=m,可得v0=,v0即为转弯处的规定速度(R为弯道半径,θ为轨道所在平面与水平面的夹角)。
4.轨道侧压力分析
[典例体验]
[典例] 某铁路转弯处的圆弧半径是300 m,铁轨的轨距是1 435 mm,火车通过这里的规定速度是72 km/h。
(1)求内外轨的高度差。
(2)保持内外轨的这个高度差,如果列车通过转弯处的速度大于或小于72 km/h,分别会发生什么现象 说明理由。
尝试解答:
[拓展] 如果该弯道的内外轨一样高,火车质量为100 t,仍以规定速度72 km/h通过该弯道,其向心力来源是什么 向心力的大小是多少 会产生什么后果
/方法技巧/
火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向,指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力,方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时,向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供,这还与火车的速度大小有关。
[针对训练]
1.(多选)当火车以规定速度行驶时,内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度,须对铁路进行改造,从理论上讲以下措施可行的是 ( )
A.减小内外轨的高度差
B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径
D.增大弯道半径
2.在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低。如图所示,在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动。设内外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零,则汽车转弯时的车速应等于 ( )
A. B.
C. D.
新知学习(三) 竖直平面圆周运动的两种模型
[典例体验]
[例1·轻绳模型] 如图所示,长度为L=0.4 m的轻绳,系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球的质量为m=0.5 kg,小球半径不计,g取10 m/s2,求:
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小;
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时,绳的拉力大小;
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球速度大小的最大值。
尝试解答:
[例2·轻杆模型] 长L=0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A,A的质量m=2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,如图所示。在A通过最高点时,求下列两种情况下A对轻杆的作用力:(g取10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
尝试解答:
[内化模型]
1.模型建立
在竖直平面内做圆周运动的物体,根据其受力特点可分为两类:
(1)轻绳模型——无支撑
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动,如图甲所示;小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动,如图乙所示,都称为“轻绳”模型。
(2)轻杆模型——有支撑
小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动,如图丙所示;小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动,如图丁所示,都称为“轻杆”模型。
2.两种模型对比
“轻绳”模型 “轻杆”模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下,也可能等于零 弹力可能向下,可能向上,也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg+T=m mg±N=m
临界特征 T=0,即mg=m,得v= v=0,即F向=0,此时N=mg
v=的意义 物体能否过最高点的临界点 N表现为拉力还是支持力的临界点
[针对训练]
1.如图所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,乘客在座椅里面头朝下,人体颠倒,若轨道半径为R,人体受重力为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力,则过山车在最高点时的速度大小为 ( )
A.0 B.
C. D.
2.如图所示,小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为R的圆周运动,小球过最高点速度为v,则下列说法中正确的是 ( )
A.v的最小值为v=
B.v从减小,受到的管壁弹力也减小
C.小球通过最高点时一定受到向上的支持力
D.小球通过最低点时一定受到外管壁的向上的弹力
新知学习(四) 对离心运动的理解
[任务驱动]
水银体温计是我们日常生活中常用的体温测量工具,它的操作简单,测量准确。那你知道水银体温计使用之前为什么要甩一下吗
[重点释解]
1.对离心运动的理解
(1)离心运动并非沿半径飞出的运动,而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
(2)离心运动的本质是物体惯性的表现,并不是受到了“离心力”的作用。
2.四种运动情况的判断
如图所示,根据物体所受合外力与所需向心力的关系,可做如下判断:
[针对训练]
1.(2023·广东1月学考)下列现象中属于防止离心现象带来危害的是 ( )
A.旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴
B.列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些
C.拖把桶通过旋转使拖把脱水
D.洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水
2.如图所示,光滑的水平面上,小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动,若小球到达P点时F突然发生变化,下列关于小球运动的说法正确的是 ( )
A.F突然消失,小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.F突然变小,小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.F突然变大,小球将沿轨迹Pb做离心运动
D.F突然变小,小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
科学思维——旋转的雨伞边缘雨滴飞落问题
1.(选自鲁科版教材课后练习)一把打开的雨伞半径为r,伞边缘距水平地面的距离为h。当该雨伞绕伞柄以角速度ω水平旋转时,雨点自边缘甩出下落,在地面上形成一个大圆圈。已知重力加速度为g。试求这个大圆圈的半径。
科学探究——探究凹凸桥压力特点
2.(选自鲁科版教材“迷你实验室”)(1)用两根铁丝弯成如图所示的凹凸桥。首先,把一个小球放在凹桥底部A处,调节两轨间的距离,使球刚好不掉下去,但稍加一点儿压力,球就会撑开两轨下落。然后,让球从斜轨滚下。当球经过凹桥底部A处时,你观察到了什么
(2)把凹桥下面的搭钩扣上,并调整凸桥顶端B处两轨间的距离,使小球在B处放置时,刚好能在此处撑开两轨下落。然后,让小球从斜轨滚下。当球经过凸桥顶端B处时,你又观察到了什么
科学态度与责任——田径运动员的弯道跑技术
3.(选自粤教版教材“资料活页”)2017年7月8日,亚洲田径锦标赛上中国队在男子4×100 m决赛中勇夺金牌。随后在7月22日国际田联钻石联赛男子4×100 m决赛中,中国队再次勇夺金牌。中国运动员凭借强劲的弯道跑技术,为中国队赢得了优势。
那么,弯道跑技术涉及哪些物理知识呢
目前,国际性田径比赛使用的是最内圈周长为400 m的标准跑道。跑道通常设8~9条分道,最内圈弯道半径(内径)为37.90 m。由于弯道在4×100 m接力赛中约占全程的,所以弯道跑技术成为制胜的关键。
根据圆周运动的知识,弯道跑中最重要的是有意识地使身体向圆心方向倾斜(如图所示),蹬地与摆动都应与身体向圆心方向倾斜趋于一致。对于不同道次上的运动员来说,跑道半径R不同,即使速率相同,人体的倾斜角度也不同。据估算,在相同的速率下,运动员在最内侧和最外侧跑道上比赛时,所需向心力相差可达20%,人体的倾斜角度相差近3°。这也是运动员重视比赛道次安排的原因。
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
1.如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是 ( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
2.(多选)社会提倡无偿献血行为。现代献血常采用“机采成分血”的方式,就是指把健康人捐献的血液,通过血液分离机分离出其中某一种成分(如血小板、粒细胞或外周干细胞)储存起来,再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置,其工作原理的示意图如图所示,将血液装入离心分离器的封闭试管内,离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境,“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向,其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。初始时试管静止,血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b,其密度分别为ρa和ρb,它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中,下列说法中正确的是 ( )
A.细胞a相对试管向内侧运动,细胞b相对试管向外侧运动
B.细胞a相对试管向外侧运动,细胞b相对试管向内侧运动
C.这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D.这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向各处大小相同
微专题整合——圆周运动中的临界问题
类型(一) 水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题,无非是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要是与绳子的拉力、弹簧的拉力、接触面间的弹力和摩擦力等相关联。解答此类问题的方法是找准临界点,应用圆周运动的动力学规律分析。
[应用体验]
1.(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台,当陶瓷匀速转动时,台面上掉有陶屑,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),则 ( )
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
类型(二) 竖直平面内圆周运动的临界问题
对于竖直平面内的圆周运动,首先要分清是“轻绳”模型还是“轻杆”模型,在最高点时,“轻绳”模型的临界条件是mg=m,即v=是临界速度;“轻杆”模型的临界条件是v=0。另外,对于轻杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假定,然后根据计算结果的正负来确定。
(1)“轻绳”模型和“轻杆”模型中小球在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。
(2)“轻绳”模型和“轻杆”模型在最低点的受力特点是一致的,在最高点“轻杆”模型可以提供竖直向上的支持力,而“轻绳”模型则不能。
[应用体验]
2.质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示,对该时刻,下列说法正确的是 ( )
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零,所受合力为零
D.小明的加速度为零,所受合力为零
3.如图所示,一个半径为R=1.5 m的金属圆环竖直固定放置,环上套有一个质量为m的小球,小球可在环上自由滑动,与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力。重力加速度g取10 m/s2。当小球向右滑动经过环的最高点时:(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零,求此刻小球的速率。
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg,求此刻环对小球的作用力大小。
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg,求此刻小球的速率。
类型(三) 斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素不同,如静摩擦力控制、绳控制、杆控制,物体的受力情况和所遵循的规律也不相同,但是分析方法与水平面内及竖直平面内圆周运动的临界问题类似。
[应用体验]
4.如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2。则ω的最大值是 ( )
A. rad/s B. rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
类型(四) 圆锥面上圆周运动的临界问题
小球在光滑圆锥面上运动时的速率或角速度有一个临界值,低于这个临界值时,小球与圆锥面之间有弹力作用,超出这个临界值时,小球将离开圆锥面,此时细绳与竖直方向间夹角将大于圆锥面母线与竖直方向间夹角,小球此时只受重力和细绳对小球的拉力。
[应用体验]
5.如图所示,在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为30°,小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
(1)当v1= 时,求细线对小球的拉力;
(2)当v2= 时,求细线对小球的拉力。
第3节 圆周运动的实例分析
落实必备知识
[预读教材]
一、
mg－N N－mg mg－m mg＋m 越小 越大
二、
1．圆锥摆 2.(1)mgtan α (2)lsin α (3)mω2r (4)
三、
2．向心力 3.(1)外轨对轮缘的弹力 (2)重力 支持力
四、
1．沿切线方向 2.合力不足以
[情境创设]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．提示：以A为受力对象，受力分析如图所示，重力和拉力的合力提供向心力，
则对于A：F向＝mgtan θ
同理对于B：F向′＝mgtan α
所以向心力之比为：tan θ∶tan α。
3．提示：火车转弯时外轨与内轨高度不一样，外轨高、内轨低。火车的车轮设计有突出的轮缘，车轮的轮缘卡在铁轨之间。
4．提示：当滚筒高速旋转时，衣服紧贴着筒壁随圆筒高速转动，衣服上的水滴的附着力不足以提供随圆筒转动的向心力时，水滴会做离心运动从圆筒的小孔中被甩出。
强化关键能力
新知学习(一)
[活动探究]
提示：(1)①当汽车行驶到拱形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg－N＝m；此时汽车对桥面的压力N′＝mg－m，即汽车对桥面的压力小于汽车的重力。
②由N′＝mg－m可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg＝m，得vm＝，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面。
(2)当汽车行驶到凹形路面的最低点时，重力与支持力的合力提供向心力，即N－mg＝m；此时汽车对路面的压力N′＝mg＋m，即汽车对路面的压力大于汽车的重力。
[针对训练]
1．选D 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－N＝m，即N＝mg－m＜mg，根据牛顿第三定律可知玩具车对桥面的压力大小与N相等，所以玩具车通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小，故D项正确。
2．解析：(1)汽车驶至过水路面的底部时，由牛顿第二定律得N－mg＝m，代入数据解得v＝10 m/s。
(2)汽车驶至拱形桥面的顶部时，由牛顿第二定律得
mg－N′＝m，
代入数据解得N′＝1.0×105 N。
由牛顿第三定律知，汽车对桥面的最小压力等于1.0×105 N。
答案：(1)10 m/s (2)1.0×105 N
新知学习(二)
[典例] 解析： (1)如图所示，h为内外轨的高度差，d为轨距。
72 km/h＝20 m/s，F＝mgtan α＝m，tan α＝。
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以近似地认为tan α≈sin α＝。
代入上式得＝，
所以内外轨的高度差为h＝＝ m≈0.195 m。
(2)①如果车速v>72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力，所差的向心力仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
②如果车速v<72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向里挤压内轨的现象。
答案：(1)0.195 m (2)见解析
[拓展] 解析：由于弯道的内外轨一样高，火车所受重力和支持力平衡，向心力由外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力提供。其大小：F＝m＝105× N≈1.33×105 N
这么大的向心力挤压外轨，可能会造成火车脱轨或翻车事故。
答案：外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力 1.33×105 N 火车脱轨或翻车事故
[针对训练]
1．选AC 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即F＝mgtan θ，而F＝m，故v＝。若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。
2．选B 由题意知，当mgtan θ＝m时，其横向摩擦力等于零，所以v＝＝ 。
新知学习(三)
[例1] 解析：(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有T＋mg＝m，
解得T＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得T′－mg＝，
将T′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s。
答案：(1)2 m/s (2)15 N (3)4 m/s
[例2] 解析：设轻杆转到最高点，轻杆对A的作用力恰好为0时，A的速度为v0，由mg＝m，得v0＝＝ m/s。
(1)当A的速率v1＝1 m/s＜v0时，
轻杆对A有支持力，由牛顿第二定律得
mg－F1＝m
解得F1＝mg－m＝16 N，
由牛顿第三定律得，A对轻杆的压力F1′＝F1＝16 N，方向竖直向下。
(2)当A的速率v2＝4 m/s＞v0时，
轻杆对A有拉力，由牛顿第二定律得
mg＋F2＝m，
解得F2＝m－mg＝44 N，由牛顿第三定律得A对轻杆的拉力F2′＝F2＝44 N，方向竖直向上。
答案：(1)16 N，向下的压力 (2)44 N，向上的拉力
[针对训练]
1．选C 由题意知F＋mg＝m，即2mg＝m，故速度大小v＝，C正确。
2．选D 小球在管道中运动，在最高点的最小速度为零，选项A错误；当管道对小球的弹力为零，重力提供向心力，根据mg＝m，解得v＝，当v由逐渐减小，管道对小球的弹力向上，根据牛顿第二定律得，mg－F＝m，知弹力增大，选项B错误；小球在最高点时由于速度的大小未知，故可能受到向下的弹力，也可能受到向上的弹力，选项C错误；在最低点，因为向心力指向圆心，所以重力和弹力的合力方向竖直向上，知外管壁对小球有向上的弹力作用，选项D正确。
新知学习(四)
[任务驱动]
提示：在体温计的玻璃泡上方有一段很细的缩口，水银收缩时，水银从缩口处断开，管内水银面不能下降，指示的仍然是上次测量的温度。因此使用之前需要使劲甩一下，让水银做离心运动，退回到玻璃泡中。
[针对训练]
1．选B 旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴，拖把桶通过旋转使拖把脱水和洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水，都是利用的离心现象；在修建铁路时，列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些，目的是由重力的分力提供一部分向心力，弥补向心力不足，防止车速过大，火车产生离心现象而发生侧翻，所以该现象属于防止离心现象带来危害。故选B。
2．选A 若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。
浸润学科素养和核心价值
一、
1．解析：雨滴随雨伞做圆周运动的线速度v＝ωr，这个速度也就是雨滴被甩出后做平抛运动的初速度。设雨滴平抛运动的时间为t，则有：h＝gt2，x＝vt
而大圆半径R＝
由以上关系式联立可解得：R＝r。
答案：r
2．提示：(1)小球经过凹桥底部时从两轨间掉了下去，说明运动的小球对凹桥底部的压力大于静止时的压力。
(2)小球运动到凸桥顶端时没有落下，说明运动的小球对凸桥顶端的压力小于静止时的压力。
二、
1．选B 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误。
2．选AC 因为满足ρa<ρ0<ρb，则根据离心原理，细胞a相对试管向内侧运动，细胞b相对试管向外侧运动，选项A正确，B错误；根据a＝ω2r可知，这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大，选项C正确，D错误。
微专题整合——圆周运动中的临界问题
类型一
[应用体验]
1．选D 与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝，因与台面相对静止的陶屑的角速度相同，可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由上述分析可知最大的运动半径为R＝，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R，故D正确。
类型二
[应用体验]
2．选A 在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明沿摆绳方向受力分析有F－mgcos θ＝m，由于小明的速度为0，则有F＝mgcos θ＜mg，沿垂直摆绳方向有mgsin θ＝ma，解得小明在最高点的加速度为a＝gsin θ，所以A正确，B、C、D错误。
3．解析：(1)环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力N＝0，则有mg＝m，解得小球速率v＝ m/s。
(2)滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3mg、μ＝0.75代入得环对小球的弹力N＝＝＝0.4mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5mg。
(3)由(2)可知，环对小球的弹力N＝0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg－N＝m
解得小球的速率v1＝3 m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋N＝m
解得小球的速率v2＝ m/s。
答案：(1) m/s (2)0.5mg (3)3 m/s或 m/s
类型三
[应用体验]
4．选C 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有：μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，求得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
类型四
[应用体验]
5．解析：小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力N＝0，如图1所示，设此时小球的线速度为v0，则F＝ma＝m＝m＝mgtan 30°，解得v0＝ 。
(1)因v1＜v0，N≠0，对小球受力分析，如图2所示，有Tsin 30°－Ncos 30°＝m
Tcos 30°＋Nsin 30°＝mg
解得T＝。
(2)因v2＞v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图3所示，
有T′sin α＝m，T′cos α＝mg
解得T1′＝2mg，T2′＝－mg(舍去)。
答案：(1) (2)2mg
2 / 2(共140张PPT)
圆周运动的实例分析
第 3节
核心素养导学
物理观念 (1)了解生活中的各种圆周运动现象。
(2)知道离心运动产生的原因。
科学思维 (1)能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象。
(2)会分析汽车通过拱形桥、旋转秋千和火车转弯等情境中的有关问题。
科学态度 与责任 观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害；能体会物理学的技术应用对日常生活的影响。
续表
1
四层学习内容1落实必备知识
2
四层学习内容2强化关键能力
3
四层学习内容3·4浸润学科素养和核心价值
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
四层学习内容1落实必备知识
一、汽车通过拱形桥
汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力 分析
向心力 F合=________=m F合=________=m
mg-N
N-mg
汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
对桥的 压力 N'=__________ N'=__________
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力______ 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力______
mg-m
mg+m
越小
越大
二、旋转秋千
1.模型处理：旋转秋千可以简化为___________模型。
圆锥摆
2.分析方法
(1)重力、拉力的合力F合=_____________。
(2)半径__________。
(3)合外力提供向心力F合=__________。
(4)可以推导出cos α=_______。
mgtan α
r=lsin α
mω2r
三、火车转弯
1.火车车轮的结构特点：火车的车轮由水平的踏面和突出的轮缘组成。轮缘置于铁轨的内侧，其侧面与铁轨接触。
作用：轮缘有导向和防止脱轨的作用。
2.火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时做圆周运动，由于其质量巨大，因此需要很大的___________。
3.向心力的来源
(1)若铁路弯道的内外轨一样高，则由__________________提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损。
(2)转弯处的外轨略高于内轨，依据规定的行驶速度行驶，由______和__________的合力提供向心力。
向心力
外轨对轮缘的弹力
重力
支持力
四、离心运动
1.定义：做圆周运动的物体________________飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2.原因：向心力突然消失或_____________提供所需的向心力。
沿切线方向
合力不足以
3.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心机。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
[微点拨]
物体做离心运动不是物体受到离心力的作用，而是外力突然消失或外力不足以提供所需的向心力。
1.某次演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进。
请对以下结论作出判断：
(1)战车在B点和C点时，向心加速度方向都是竖直向上的。( )
(2)战车在B点时对路面的压力大于战车的重力。( )
(3)战车在C点时对路面的压力小于战车的重力。( )
(4)战车在C点时对路面的压力可能为零。( )
(5)战车在D处路面加速行驶时，对路面的压力大于战车的重力。( )
×
×
√
√
√
2.图甲是某主题公园中的苹果树飞椅，其示意图如图乙所示。钢绳一端系着座椅，另一端固定在上面的转盘上，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，质量相等的A、B座椅与竖直方向的夹角分别为θ、α，A、B恰好在同一水平面上，不计钢绳所受的重力。分析A、B所受的向心力大小之比为多少
提示：以A为受力对象，受力分析如图所示，重力和拉力的合力提供向心力，
则对于A：F向=mgtan θ
同理对于B：F向'=mgtan α
所以向心力之比为：tan θ∶tan α。
3.火车转弯时外轨与内轨的高度一样吗 火车的车轮设计有什么特点
提示：火车转弯时外轨与内轨高度不一样，外轨高、内轨低。火车的车轮设计有突出的轮缘，车轮的轮缘卡在铁轨之间。
4.如图所示，是一款滚筒洗衣机及其滚筒，请思考洗衣机是如何将衣服甩干的
提示：当滚筒高速旋转时，衣服紧贴着筒壁随圆筒高速转动，衣服上的水滴的附着力不足以提供随圆筒转动的向心力时，水滴会做离心运动从圆筒的小孔中被甩出。
四层学习内容2强化关键能力
如图甲、乙所示为汽车在凸形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动。
新知学习(一) 汽车过拱形桥
活动探究
(1)如图甲，汽车行驶到拱形桥的桥顶时：
①什么力提供向心力 汽车对桥面的压力有什么特点
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系 汽车安全通过拱形桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大
提示：①当汽车行驶到拱形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg-N=m；此时汽车对桥面的压力N'=mg-m，即汽车对桥面的压力小于汽车的重力。
②由N'=mg-m可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg=m，得vm=，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面。
(2)当汽车行驶到凹形路面的最低点时，什么力提供向心力 汽车对路面的压力有什么特点
提示：当汽车行驶到凹形路面的最低点时，重力与支持力的合力提供向心力，即N-mg=m；此时汽车对路面的压力N'=mg+m，即汽车对路面的压力大于汽车的重力。
1.汽车过凸形桥
汽车经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。
系统归纳
由牛顿第二定律得：G-N=m，则N=G-m。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力，即N'=N=G-m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。
①当0≤v<时，0②当v=时，N=0。
③当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
2.汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则N-G=m，故N=G+m。
由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力N'=G+m，方向竖直向下，且大于汽车的重力。可见，汽车行驶的速率越大，汽车对桥面的压力就越大，这也是汽车高速驶过凹形路面时容易爆胎的原因。
1.在较大的平直木板上相隔一定距离钉几
个钉子，将三合板弯曲成拱形卡入钉子内形成
拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以
增大摩擦，这样玩具车就可以在桥面上运动。把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是 ( )
针对训练
A.玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小
√
解析：玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg-N=m，即N=mg-m2.如图所示，质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过过水路面和拱形桥面，两路面的圆弧半径均为20 m。如果路面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：(g取10 m/s2)
(1)汽车通过过水路面时，允许的最大速度是多少
解析：汽车驶至过水路面的底部时，由牛顿第二定律得N-mg=m，代入数据解得v=10 m/s。
答案：10 m/s
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少
解析：汽车驶至拱形桥面的顶部时，由牛顿第二定律得mg-N'=m，代入数据解得N'=1.0×105 N。
由牛顿第三定律知，汽车对桥面的最小压力等于1.0×105 N。
答案：1.0×105 N
1.轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一段水平圆弧。由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面；火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
新知学习(二) 火车转弯问题
重点释解
2.向心力分析
火车速度合适时，火车受如图所示的重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F=mgtan θ。
3.规定速度分析
当火车转弯时向心力恰好由重力和支持力的合力提供，此时不受轨道的侧压力。则mgtan θ=m，可得v0=，v0即为转弯处的规定速度(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角)。
4.轨道侧压力分析
[典例] 某铁路转弯处的圆弧半径是300 m，铁轨的轨距是1 435 mm，火车通过这里的规定速度是72 km/h。
(1)求内外轨的高度差。
[解析] 如图所示，h为内外轨的高度差，
d为轨距。
典例体验
72 km/h=20 m/s，F=mgtan α=m，tan α=。
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以近似地认为tan α≈sin α=。
代入上式得=，所以内外轨的高度差为h== m≈0.195 m。
[答案] 0.195 m
(2)保持内外轨的这个高度差，如果列车通过转弯处的速度大于或小于72 km/h，分别会发生什么现象 说明理由。
[解析] ①如果车速v>72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力，所差的向心力仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
②如果车速v<72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向里挤压内轨的现象。
[答案] 见解析
[拓展] 如果该弯道的内外轨一样高，火车质量为100 t，仍以规定速度72 km/h通过该弯道，其向心力来源是什么 向心力的大小是多少 会产生什么后果
解析：由于弯道的内外轨一样高，火车所受重力和支持力平衡，向心力由外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力提供。其大小：F=m=105× N≈1.33×105 N
这么大的向心力挤压外轨，可能会造成火车脱轨或翻车事故。
答案：外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力 1.33×105 N 火车脱轨或翻车事故
/方法技巧/
火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这还与火车的速度大小有关。
1.(多选)当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是 ( )
A.减小内外轨的高度差 B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径 D.增大弯道半径
针对训练
√
√
解析：当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即F=mgtan θ，而F=m，故v=。若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。
2.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，当mgtan θ=m时，其横向摩擦力等于零，所以v== 。
√
[例1·轻绳模型] 如图所示，长度为L=0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m=0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
新知学习(三) 竖直平面圆周运动的两种模型
典例体验
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
[解析] 小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg=m，解得v1==2 m/s。
[答案] 2 m/s
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
[解析] 小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有T+mg=m，
解得T=15 N。
[答案] 15 N
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度大小的最大值。
[解析] 分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得T'-mg=，
将T'=45 N代入解得v3=4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s。
[答案] 4 m/s
[例2·轻杆模型] 长L=0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m=2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：(g取10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
[解析] 设轻杆转到最高点，轻杆对A的作用力恰好为0时，A的速度为v0，由mg=m，得v0== m/s。
(1)当A的速率v1=1 m/s由牛顿第二定律得mg-F1=m 解得F1=mg-m=16 N，
由牛顿第三定律得，A对轻杆的压力F1'=F1=16 N，方向竖直向下。
[答案] 16 N，向下的压力
(2)A的速率为4 m/s。
[解析] 当A的速率v2=4 m/s>v0时，轻杆对A有拉力，
由牛顿第二定律得mg+F2=m，
解得F2=m-mg=44 N，由牛顿第三定律得A对轻杆的拉力
F2'=F2=44 N，方向竖直向上。
[答案] 44 N，向上的拉力
1.模型建立
在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类：
内化模型
(1)轻绳模型——无支撑
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳”模型。
(2)轻杆模型——有支撑
小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图丙所示；小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图丁所示，都称为“轻杆”模型。
2.两种模型对比
“轻绳”模型 “轻杆”模型
情景 图示
弹力 特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
“轻绳”模型 “轻杆”模型
受力 示意图
力学方程 mg+T=m mg±N=m
“轻绳”模型 “轻杆”模型
临界 特征 T=0，即mg=m，得v= v=0，即F向=0，此时N=mg
v= 的意义 物体能否过最高点的临界点 N表现为拉力还是支持力的临界点
1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为 ( )
针对训练
A.0 B.
C. D.
解析：由题意知F+mg=m，即2mg=m，故速度大小v=，C正确。
√
2.如图所示，小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为R的圆周运动，小球过最高点速度为v，则下列说法中正确的是 ( )
A.v的最小值为v=
B.v从减小，受到的管壁弹力也减小
C.小球通过最高点时一定受到向上的支持力
D.小球通过最低点时一定受到外管壁的向上的弹力
√
解析：小球在管道中运动，在最高点的最小速度为零，选项A错误；当管道对小球的弹力为零，重力提供向心力，根据mg=m，解得v=，当v由逐渐减小，管道对小球的弹力向上，根据牛顿第二定律得，mg-F=m，知弹力增大，选项B错误；小球在最高点时由于速度的大小未知，故可能受到向下的弹力，也可能受到向上的弹力，选项C错误；在最低点，因为向心力指向圆心，所以重力和弹力的合力方向竖直向上，知外管壁对小球有向上的弹力作用，选项D正确。
水银体温计是我们日常生活中常用的体温测量工具，它的操作简单，测量准确。那你知道水银体温计使用之前为什么要甩一下吗
新知学习(四) 对离心运动的理解
任务驱动
提示：在体温计的玻璃泡上方有一段很细的缩口，水银收缩时，水银从缩口处断开，管内水银面不能下降，指示的仍然是上次测量的温度。因此使用之前需要使劲甩一下，让水银做离心运动，退回到玻璃泡中。
1.对离心运动的理解
(1)离心运动并非沿半径飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
(2)离心运动的本质是物体惯性的表现，并不是受到了“离心力”的作用。
重点释解
2.四种运动情况的判断
如图所示，根据物体所受合外力与所需向心力的关系，可做如下判断：
1.(2023·广东1月学考)下列现象中属于防止离心现象带来危害的是 ( )
A.旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴
B.列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些
C.拖把桶通过旋转使拖把脱水
D.洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水
针对训练
√
解析：旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴，拖把桶通过旋转使拖把脱水和洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水，都是利用的离心现象；在修建铁路时，列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些，目的是由重力的分力提供一部分向心力，弥补向心力不足，防止车速过大，火车产生离心现象而发生侧翻，所以该现象属于防止离心现象带来危害。故选B。
2.如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是 ( )
A.F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D.F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
√
解析：若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。
四层学习内容3·4浸润学科
素养和核心价值
科学思维——旋转的雨伞边缘雨滴飞落问题
1.(选自鲁科版教材课后练习)一把打开的雨伞半径为r，伞边缘距水平地面的距离为h。当该雨伞绕伞柄以角速度ω水平旋转时，雨点自边缘甩出下落，在地面上形成一个大圆圈。已知重力加速度为g。试求这个大圆圈的半径。
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
解析：雨滴随雨伞做圆周运动的线速度v=ωr，这个速度也就是雨滴被甩出后做平抛运动的初速度。设雨滴平抛运动的时间为t，则有：h=gt2，x=vt
而大圆半径R=
由以上关系式联立可解得：R=r。
答案：r
科学探究——探究凹凸桥压力特点
2.(选自鲁科版教材“迷你实验室”)(1)用两根铁丝弯成如图所示的凹凸桥。首先，把一个小球放在凹桥底部A处，调节两轨间的距离，使球刚好不掉下去，但稍加一点儿压力，球就会撑开两轨下落。然后，让球从斜轨滚下。当球经过凹桥底部A处时，你观察到了什么
提示：小球经过凹桥底部时从两轨间掉了下去，说明运动的小球对凹桥底部的压力大于静止时的压力。
(2)把凹桥下面的搭钩扣上，并调整凸桥顶端B处两轨间的距离，使小球在B处放置时，刚好能在此处撑开两轨下落。然后，让小球从斜轨滚下。当球经过凸桥顶端B处时，你又观察到了什么
提示：小球运动到凸桥顶端时没有落下，说明运动的小球对凸桥顶端的压力小于静止时的压力。
科学态度与责任——田径运动员的弯道跑技术
3.(选自粤教版教材“资料活页”)2017年7月8日，亚洲田径锦标赛上中国队在男子4×100 m决赛中勇夺金牌。随后在7月22日国际田联钻石联赛男子4×100 m决赛中，中国队再次勇夺金牌。中国运动员凭借强劲的弯道跑技术，为中国队赢得了优势。
那么，弯道跑技术涉及哪些物理知识呢
目前，国际性田径比赛使用的是最内圈周长
为400 m的标准跑道。跑道通常设8~9条分道，最
内圈弯道半径(内径)为37.90 m。由于弯道在4×
100 m接力赛中约占全程的，所以弯道跑技术成为制胜的关键。
根据圆周运动的知识，弯道跑中最重要的是有意识地使身体向圆心方向倾斜(如图所示)，蹬地与摆动都应与身体向圆心方向倾斜趋于一致。对于不同道次上的运动员来说，跑道半径R不同，即使速率相同，人体的倾斜角度也不同。据估算，在相同的速率下，运动员在最内侧和最外侧跑道上比赛时，所需向心力相差可达20%，人体的倾斜角度相差近3°。这也是运动员重视比赛道次安排的原因。
1.如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是 ( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
√
解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误。
2.(多选)社会提倡无偿献血行为。现代献血常采用“机采成分血”的方式，就是指把健康人捐献的血液，通过血液分离机分离出其中某一种成分(如血小板、粒细胞或外周干细胞)储存起来，再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A.细胞a相对试管向内侧运动，细胞b相对试管向外侧运动
B.细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动
C.这种离心分离器“模拟重力”对应的“重
力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D.这种离心分离器“模拟重力”对应的“重
力加速度”沿转动半径方向各处大小相同
√
√
解析：因为满足ρa<ρ0<ρb，则根据离心原理，细胞a相对试管向内侧运动，细胞b相对试管向外侧运动，选项A正确，B错误；根据a=ω2r可知，这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大，选项C正确，D错误。
微专题整合——圆周运动中的临界问题
类型(一) 水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题，无非是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳子的拉力、弹簧的拉力、接触面间的弹力和摩擦力等相关联。解答此类问题的方法是找准临界点，应用圆周运动的动力学规律分析。
1.(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)，则 ( )
应用体验
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
√
解析：与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，因与台面相对静止的陶屑的角速度相同，可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由上述分析可知最大的运动半径为R=，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R，故D正确。
对于竖直平面内的圆周运动，首先要分清是“轻绳”模型还是“轻杆”模型，在最高点时，“轻绳”模型的临界条件是mg=m，即v=是临界速度；“轻杆”模型的临界条件是v=0。另外，对于轻杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假定，然后根据计算结果的正负来确定。
类型(二) 竖直平面内圆周运动的临界问题
(1)“轻绳”模型和“轻杆”模型中小球在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。
(2)“轻绳”模型和“轻杆”模型在最低点的受力特点是一致的，在最高点“轻杆”模型可以提供竖直向上的支持力，而“轻绳”模型则不能。
2.质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是 ( )
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
应用体验
√
解析：在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明沿摆绳方向受力分析有F-mgcos θ=m，由于小明的速度为0，则有F=mgcos θ3.如图所示，一个半径为R=1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力。重力加速度g取10 m/s2。当小球向右滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率。
解析：环对小球的摩擦力f=0时，环对小球的弹力N=0，则有mg=m，解得小球速率v= m/s。
答案： m/s
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小。
解析：滑动摩擦力f=μN，将f=0.3mg、μ=0.75代入得环对小球的弹力N===0.4mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F==0.5mg。
答案：0.5mg
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
解析：由(2)可知，环对小球的弹力N=0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg-N=m
解得小球的速率v1=3 m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg+N=m
解得小球的速率v2= m/s。
答案：3 m/s或 m/s
类型(三) 斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同，但是分析方法与水平面内及竖直平面内圆周运动的临界问题类似。
4.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是( )
A. rad/s B. rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
应用体验
√
解析：物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有：μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2r，求得ω=1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
小球在光滑圆锥面上运动时的速率或角速度有一个临界值，低于这个临界值时，小球与圆锥面之间有弹力作用，超出这个临界值时，小球将离开圆锥面，此时细绳与竖直方向间夹角将大于圆锥面母线与竖直方向间夹角，小球此时只受重力和细绳对小球的拉力。
类型(四) 圆锥面上圆周运动的临界问题
5.如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
应用体验
(1)当v1= 时，求细线对小球的拉力；
解析：小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力N=0，如图1所示，设此时小球的线速度为v0，则F=ma=m=m=mgtan 30°
解得v0=。
(1)因v1答案：
(2)当v2= 时，求细线对小球的拉力。
解析：因v2>v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图3所示，
有T'sin α=m ， T'cos α=mg
解得T1'=2mg，T2'=-mg(舍去)。
答案：2mg
课时跟踪检测
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(选择题1~8小题，每小题4分；10~11小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级 学考达标
1.建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥，更少有凹形桥，其主要原因是( )
A.为了节省建筑材料，以减少建桥成本
B.汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比对水平或凸形桥压力大，故凹形桥易损坏
C.建造凹形桥的技术特别困难
D.凸形桥更美观些
√
6
7
8
9
10
11
12
解析：汽车通过凹形桥时，桥面的支持力和重力的合力提供汽车的向心力，根据牛顿第二定律得N-mg=m，汽车产生超重现象，汽车对桥面的压力大于重力。而汽车通过凸形桥时，产生失重现象，汽车对桥面的压力小于重力。汽车通过水平桥面时，对桥面的压力等于汽车的重力，这样汽车以同样的速度通过凹形桥时对桥面的压力要比对水平或拱形桥压力大，故凹形桥易损坏。故选项B正确。
1
2
3
4
5
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2.(多选)如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则 ( )
A.衣服受到重力、筒壁的弹力和摩擦力、向心力的作用
B.加快脱水筒转动角速度，筒壁对衣服的摩擦力也变大
C.当衣服对水滴的附着力不足以提供水滴需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动
D.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：衣服受到重力、筒壁的弹力和摩擦力作用，筒壁的弹力提供向心力，向心力是效果力，故A错误；湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，衣服所受摩擦力与重力相互平衡，圆筒转速增大以后，衣服所受摩擦力与重力仍相互平衡，衣服所受摩擦力不会变大，故B错误；脱水筒高速运转时，水滴被甩离，是因为衣服对水滴的附着力不足以提供水滴需要的向心力，所以水滴做离心运动，故C正确；由F=mω2R，知ω增大会使所需要的向心力F增大，而水滴的附着力是一定的，加快脱水筒转动角速度，附着力不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，脱水效果会更好，故D正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
3.如图甲所示，汽车通过半径为r的拱形桥，在最高点处速度达到v时，驾驶员对座椅的压力恰好为零。若把地球看成大“拱形桥”，当另一辆“汽车”速度达到某一值时，驾驶员对座椅的压力也恰好为零，如图乙所示。设地球半径为R，则图乙中的“汽车”速度为 ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A. v B. v C.v D.v
解析：在题图甲中，设汽车质量为m，汽车到达最高点时重力提供向心力，有mg=m，故重力加速度为g=，在题图乙中另一辆“汽车”速度为v'时，座椅对驾驶员的支持力恰好为零，重力提供向心力，有m'g=m'，解得“汽车”的速度v'=v，选项C正确。
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
4.无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两上支撑轮上，支撑轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是 ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D.管状模型转动的角速度ω最大为
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，故A项错误；模型最下部受到铁水的作用力最大，最上部受到铁水的作用力最小，故B项错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg=mω2R，可得ω=，故管状模型转动的角速度ω至少为，故C项正确，D项错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
5.(多选)一个质量为m的物体(体积忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A.若v0=，则物体对半球顶点无压力
B.若v0=，则物体对半球顶点的压力为mg
C.若v0=0，则物体对半球顶点的压力为mg
D.若v0=0，则物体对半球顶点的压力为零
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：设物体受到的支持力为FN，若v0=，则mg-FN=m，得FN=0，则物体对半球顶点无压力，故A项正确；若v0=，则mg-FN=m，得FN=mg，则物体对半球顶点的压力为mg，故B项错误；若v0=0，根据牛顿第二定律mg-FN=m=0，得FN=mg，物体对半球顶点的压力为mg，故C项正确，D项错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
6.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2) ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：水流星在最高点的临界速度v==4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故B项正确。
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
7.(多选)如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当木块A以角速度ω匀速转动时，木块A恰能在转台上做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则 ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A.当木块A的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的a方向运动
B.当木块A的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
C.当木块A的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
D.当木块A的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的c方向运动
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以木块A角速度增大时，木块A需要的向心力大于B所受的重力，木块A做离心运动，故B正确；木块A角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，木块A做近心运动，故D正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
8.分别用两根长度不同的细线悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则在运动过程中，两小球相对位置关系示意图正确的是 ( )
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：设小球质量为m，细线长为L，当细线与竖直方向夹角为θ时，受力分析图如图所示，小球做匀速圆周运动，有mgtan θ=mω2Lsin θ，整理得Lcos θ=是常量，即两小球时刻处于同一高度，故B正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
9.(16分)图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO'转动，设绳长l=10 m，质点的质量m=60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ=37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°=0.6， cos 37°=0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)绳子拉力的大小；
解析：如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：
Fcos 37°-mg=0
解得F==750 N。
答案： 750 N
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)转盘角速度的大小。
解析：人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°=mω2R
R=d+lsin 37°
联立解得ω= = rad/s。
答案： rad/s
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
√
B级 选考进阶
10.(2024·成都高一检测)如图，为防止航天员的肌肉萎缩，中国空间站配备了健身自行车作为健身器材。 某次航天员健身时，脚踏板始终保持水平，当脚踏板从图中的实线处匀速转至虚线处的过程中，关于脚踏板上P、Q两点的说法正确的是( )
A.P做匀速直线运动
B.Q做匀速圆周运动
C.P的线速度大小比Q的大
D.P的向心加速度大小比Q的大
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：过O点作PQ的平行线，使O1O、O2O
的长度等于P、Q两点到脚踏板转轴的距离，脚踏板转
轴绕O点做匀速圆周运动，由几何知识可知P、Q两点
到O1、O2两点的距离不变，P、Q两点绕O1、O2点做匀速圆周运动，且运动半径相等，故A错误，B正确。根据题意可知P、Q两点做圆周运动的角速度大小相等，由v=ωr得，P、Q两点的线速度大小相等，C错误；由an=ω2r得，P、Q两点的向心加速度大小相等，D错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
11.(多选)汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面(漏斗状)，简化为如图所示。测试的汽车质量m=1 t，车道转弯半径R=150 m，路面倾斜角θ=45°，路面与车胎间的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎间的侧向最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，则 ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A.汽车恰好不受路面侧向摩擦力时的速度为19.4 m/s
B.汽车恰好不受路面侧向摩擦力时的速度为38.7 m/s
C.汽车在该车道上所能允许的最小车速为30 m/s
D.汽车在该车道上所能允许的最小车速为38.7 m/s
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：汽车恰好不受路面侧向摩擦力时，由重力和
支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ
=m，解得v== m/s≈38.7 m/s，
A错误，B正确；当车道对车的侧向摩擦力沿车道斜面向上且等于侧向最大静摩擦力时，车速最小，如图所示，根据牛顿第二定律得Nsin θ-fcos θ=m，Ncos θ+fsin θ-mg=0，f=μN，解得vmin=30 m/s，选项C正确，D错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
12.(20分)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30 m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍。(g取10 m/s2)
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少
解析：汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg=m，由速度v=30 m/s，解得弯道的最小半径r=150 m。
答案： 150 m
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少
解析：汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有mg-N=m
为了保证安全，路面对车的支持力N必须大于等于零。有mg≥m，代入数据解得R≥90 m。
答案：90 m
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少
解析：设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有mgtan θ=m，解得tan θ=
故弯道路面的倾斜角度θ=37°。
答案：37°
2
3
4课时跟踪检测(六) 圆周运动的实例分析
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级——学考达标
1．建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥，更少有凹形桥，其主要原因是( )
A．为了节省建筑材料，以减少建桥成本
B．汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比对水平或凸形桥压力大，故凹形桥易损坏
C．建造凹形桥的技术特别困难
D．凸形桥更美观些
2．(多选)如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则( )
A．衣服受到重力、筒壁的弹力和摩擦力、向心力的作用
B．加快脱水筒转动角速度，筒壁对衣服的摩擦力也变大
C．当衣服对水滴的附着力不足以提供水滴需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动
D．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
3．如图甲所示，汽车通过半径为r的拱形桥，在最高点处速度达到v时，驾驶员对座椅的压力恰好为零。若把地球看成大“拱形桥”，当另一辆“汽车”速度达到某一值时，驾驶员对座椅的压力也恰好为零，如图乙所示。设地球半径为R，则图乙中的“汽车”速度为( )
A. v B. v C．v D．v
4．无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两上支撑轮上，支撑轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
5．(多选)一个质量为m的物体(体积忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
6．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
7．(多选)如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当木块A以角速度ω匀速转动时，木块A恰能在转台上做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则( )
A．当木块A的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的a方向运动
B．当木块A的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
C．当木块A的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
D．当木块A的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的c方向运动
8．分别用两根长度不同的细线悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则在运动过程中，两小球相对位置关系示意图正确的是( )
9．(16分)图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
B级——选考进阶
10．(2024·成都高一检测)如图，为防止航天员的肌肉萎缩，中国空间站配备了健身自行车作为健身器材。 某次航天员健身时，脚踏板始终保持水平，当脚踏板从图中的实线处匀速转至虚线处的过程中，关于脚踏板上P、Q两点的说法正确的是( )
A．P做匀速直线运动
B．Q做匀速圆周运动
C．P的线速度大小比Q的大
D．P的向心加速度大小比Q的大
11．(多选)汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面(漏斗状)，简化为如图所示。测试的汽车质量m＝1 t，车道转弯半径R＝150 m，路面倾斜角θ＝45°，路面与车胎间的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎间的侧向最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，则( )
A．汽车恰好不受路面侧向摩擦力时的速度为19.4 m/s
B．汽车恰好不受路面侧向摩擦力时的速度为38.7 m/s
C．汽车在该车道上所能允许的最小车速为30 m/s
D．汽车在该车道上所能允许的最小车速为38.7 m/s
12．(20分)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30 m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍。(g取10 m/s2)
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
课时跟踪检测(六)
1．选B 汽车通过凹形桥时，桥面的支持力和重力的合力提供汽车的向心力，根据牛顿第二定律得N－mg＝m，汽车产生超重现象，汽车对桥面的压力大于重力。而汽车通过凸形桥时，产生失重现象，汽车对桥面的压力小于重力。汽车通过水平桥面时，对桥面的压力等于汽车的重力，这样汽车以同样的速度通过凹形桥时对桥面的压力要比对水平或拱形桥压力大，故凹形桥易损坏。故选项B正确。
2．选CD 衣服受到重力、筒壁的弹力和摩擦力作用，筒壁的弹力提供向心力，向心力是效果力，故A错误；湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，衣服所受摩擦力与重力相互平衡，圆筒转速增大以后，衣服所受摩擦力与重力仍相互平衡，衣服所受摩擦力不会变大，故B错误；脱水筒高速运转时，水滴被甩离，是因为衣服对水滴的附着力不足以提供水滴需要的向心力，所以水滴做离心运动，故C正确；由F＝mω2R，知ω增大会使所需要的向心力F增大，而水滴的附着力是一定的，加快脱水筒转动角速度，附着力不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，脱水效果会更好，故D正确。
3．选C 在题图甲中，设汽车质量为m，汽车到达最高点时重力提供向心力，有mg＝m，故重力加速度为g＝，在题图乙中另一辆“汽车”速度为v′时，座椅对驾驶员的支持力恰好为零，重力提供向心力，有m′g＝m′，解得“汽车”的速度v′＝v ，选项C正确。
4．选C 铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，故A项错误；模型最下部受到铁水的作用力最大，最上部受到铁水的作用力最小，故B项错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mω2R，可得ω＝ ，故管状模型转动的角速度ω至少为 ，故C项正确，D项错误。
5．选AC 设物体受到的支持力为FN，若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝0，则物体对半球顶点无压力，故A项正确；若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝mg，则物体对半球顶点的压力为mg，故B项错误；若v0＝0，根据牛顿第二定律mg－FN＝m＝0，得FN＝mg，物体对半球顶点的压力为mg，故C项正确，D项错误。
6．选B 水流星在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故B项正确。
7．选BD 木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以木块A角速度增大时，木块A需要的向心力大于B所受的重力，木块A做离心运动，故B正确；木块A角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，木块A做近心运动，故D正确。
8．选B 设小球质量为m，细线长为L，当细线与竖直方向夹角为θ时，受力分析图如图所示，小球做匀速圆周运动，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得Lcos θ＝是常量，即两小球时刻处于同一高度，故B正确。
9．解析：(1)如图所示，
对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：
Fcos 37°－mg＝0，解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R，R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝ ＝ rad/s。
答案：(1)750 N (2) rad/s
10．选B 过O点作PQ的平行线，使O1O、O2O的长度等于P、Q两点到脚踏板转轴的距离，脚踏板转轴绕O点做匀速圆周运动，由几何知识可知P、Q两点到O1、O2两点的距离不变，P、Q两点绕O1、O2点做匀速圆周运动，且运动半径相等，故A错误，B正确。根据题意可知P、Q两点做圆周运动的角速度大小相等，由v＝ωr得，P、Q两点的线速度大小相等，C错误；由an＝ω2r得，P、Q两点的向心加速度大小相等，D错误。
11．选BC 汽车恰好不受路面侧向摩擦力时，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得v＝＝ m/s≈38.7 m/s，A错误，B正确；当车道对车的侧向摩擦力沿车道斜面向上且等于侧向最大静摩擦力时，车速最小，如图所示，根据牛顿第二定律得Nsin θ－fcos θ＝m，Ncos θ＋fsin θ－mg＝0，f＝μN，解得vmin＝30 m/s，选项C正确，D错误。
12．解析：(1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg＝m，由速度v＝30 m/s，解得弯道的最小半径r＝150 m。
(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有mg－N＝m
为了保证安全，路面对车的支持力N必须大于等于零。有mg≥m，代入数据解得R≥90 m。
(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，
有mgtan θ＝m，解得tan θ＝
故弯道路面的倾斜角度θ＝37°。
答案：(1)150 m (2)90 m (3)37°
2 / 2
