“科学思维”专练(二) 圆周运动规律的应用
(选择题1～10小题，每小题4分。本检测卷满分70分)
一、选择题
1．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
2．如图所示，在高速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随桶一起转动，在保证衣服不滑动的情况下( )
A．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力不变
B．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力减小
C．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
D．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做向心运动
3．如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)( )
A．1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D．3 rad/s
4．飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为v，则圆弧的最小半径为( )
A. B. C. D.
5．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m(M ＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L(L＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过(两物体均可看作质点，重力加速度为g)( )
A. B．
C. D．
6．(2024·广东高考)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．r B．l C．r D．l
7．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v，其N v2图像如图乙所示，则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
8．(多选)如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则( )
A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
9．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
10．如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个小球A、B在圆锥内壁做匀速圆周运动，距离地面高度分别为hA和hB。两小球运动的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，下列结论正确的是( )
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
二、非选择题
11．(12分)如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
12．(18分)(2024·江西高考)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
“科学思维”专练(二)
1．选B 水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m，解得v ≤，故选项B正确。
2．选C 衣服随桶一起转动，所需向心力由桶壁的支持力提供，转速越大，支持力越大，压力也越大，故选项A、B均错误；当水滴的附着力不足以提供向心力时，水滴做离心运动，故选项C正确，D错误。
3．选B 对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)·ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。
4．选B 当飞机飞到最低点时，由牛顿第二定律得F－mg＝m；由题意得F≤9mg；解得R≥，故B正确。
5．选D 当轻绳中的拉力T＝μMg时，圆盘转动的角速度达到最大。此时，对m：T＋μmg＝mω2L。可解得：ω＝ ，选项D正确。
6．选A 由题意可知，当插销刚卡进固定端盖时，弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，弹簧弹力提供插销做匀速圆周运动的向心力，则F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r 。故选A。
7．选A 由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2＝b，则N＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球的弹力大小等于小球的重力，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m＝，A正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律得F＋mg＝，得杆的拉力大小F＝mg，即F＝a，D错误。
8．选BC 在最高点，若小球对内壁为压力，则mg－N＝，解得N＝mg－；若小球对外壁为压力，则mg＋N′＝，解得N′＝－mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知N－mg＝，解得N＝＋mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误。
9．选D 设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。
10．选A 设倒立圆锥面母线与水平方向间夹角为θ，小球做圆周运动时支持力在水平方向的分力提供向心力，可得mgtan θ＝m＝mω2r。又r＝，可解得v＝，ω＝ 。由此可得＝ ，＝ ，故只有选项A正确。
11．解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ＝mω02lsin θ
解得ω02＝，即ω0＝ ＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω′2lsin α，解得ω′2＝
即ω′＝ ＝2 rad/s。
答案：(1) rad/s (2)2 rad/s
12．解析：(1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示。
设转椅的质量为m，则转椅所需的向心力Fn1＝mω12r1
转椅受到的摩擦力f1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
联立解得tan α＝。
(2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力Fn2＝mω22r2
转椅受到的摩擦力f2＝μN2
根据几何关系有tan β＝
竖直方向上由平衡条件有N2＋Tcos θ＝mg
水平面上有f2＝Tsin θsin β
联立解得ω2＝ 。
答案：(1) (2)
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“科学思维”专练(二)
圆周运动规律的应用
(选择题1~10小题，每小题4分。本检测卷满分70分)
一、选择题
1.冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A.v=k B.v≤
C.v≤ D.v≤
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解析：水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m，解得v ≤，故选项B正确。
2.如图所示，在高速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随桶一起转动，在保证衣服不滑动的情况下 ( )
A.桶转速增大时，衣服对桶壁的压力不变
B.桶转速增大时，衣服对桶壁的压力减小
C.桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
D.桶转速足够大时，衣服上的水滴将做向心运动
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解析：衣服随桶一起转动，所需向心力由桶壁的支持力提供，转速越大，支持力越大，压力也越大，故选项A、B均错误；当水滴的附着力不足以提供向心力时，水滴做离心运动，故选项C正确，D错误。
3.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO'匀速转动，木块A、B与转轴OO'的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2) ( )
A.1 rad/s B. rad/s
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解析：对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA+mB)ω2r≤μ2(mA+mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。
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4.飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为v，则圆弧的最小半径为 ( )
A. B.
C. D.
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解析：当飞机飞到最低点时，由牛顿第二定律得F-mg=m；由题意得F≤9mg；解得R≥，故B正确。
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5.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘
半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m(M >m)，
它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物
体用一根长为L(L1
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A. B.
C. D.
解析：当轻绳中的拉力T=μMg时，圆盘转动的角速度达到最大。此时，对m：T+μmg=mω2L。可解得：ω=，选项D正确。
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6.(2024·广东高考)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
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A.r B.l
C.r D.l
解析：由题意可知，当插销刚卡进固定端盖时，弹簧的伸长量为Δx=，根据胡克定律有F=kΔx=，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，弹簧弹力提供插销做匀速圆周运动的向心力，则F=mlω2，对卷轴有v=rω，联立解得v=r。故选A。
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7.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v，其N v2图像如图乙所示，则 ( )
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A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D.v2=2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
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解析：由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2=b，则N=0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg=，得v2=gR=b，故g=，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2=0时，轻杆对小球的弹力大小等于小球的重力，即a=mg，代入g=得小球的质量m=，A正确；当v2=2b时，由牛顿第二定律得F+mg=，得杆的拉力大小F=mg，即F=a，D错误。
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8.(多选)如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则 ( )
A.小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
B.小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
C.小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
D.小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
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解析：在最高点，若小球对内壁为压力，则mg-N=，解得N=mg-；若小球对外壁为压力，则mg+N'=，解得N'=-mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知N-mg=，解得N=+mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误。
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9.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0=，则物体将( )
A.沿球面下滑至M点
B.沿球面下滑至某一点N，便离开球面
做斜下抛运动
C.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
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解析：设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg-F=m，把v0=代入得F=0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。
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10.如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个小球A、B在圆锥内壁做匀速圆周运动，距离地面高度分别为hA和hB。两小球运动的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，下列结论正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
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解析：设倒立圆锥面母线与水平方向间夹角为θ，小球做圆周运动时支持力在水平方向的分力提供向心力，可得mgtan θ=m=mω2r。又r=，可解得v=，ω=。由此可得==，故只有选项A正确。
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二、非选择题
11.(12分)如图所示，用一根长为l=1 m的细线，一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。(g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，结果可用根式表示)
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(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大
解析：若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ=mlsin θ，解得=，即ω0= = rad/s。
答案： rad/s
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(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大
解析：同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α=mω'2lsin α
解得ω'2=即ω'= =2 rad/s。
答案：2 rad/s
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12.(18分)(2024·江西高考)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
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(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
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解析：对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示。设转椅的质量为m，则转椅所需的向心力Fn1=mr1
转椅受到的摩擦力f1=μmg
根据几何关系有tan α=，联立解得tan α=。
答案：
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(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
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解析：转椅在题图(b)情况下所需的向心力Fn2=mr2
转椅受到的摩擦力f2=μN2，根据几何关系有tan β=
竖直方向上由平衡条件有N2+Tcos θ=mg
水平面上有f2=Tsin θsin β，联立解得ω2=。
答案：
